大学数学课今天怎么教——从数学建模谈数学公共课教学.pdf
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1、第1 2卷 第2期2023年6月数学建模及其应用M a t h e m a t i c a l M o d e l i n g a n d I t s A p p l i c a t i o n sV o l.1 2 N o.2J u n.2 0 2 3对话与争鸣主持人的话 大学生数学建模的宗旨是推动和改进数学教育,推广和普及数学应用。今天,大学生参加数学建模的热情很高。我们在指导学生参与数学建模活动时,普遍感到困惑的一个问题是如何把数学教好。外因通过内因起作用。教学的基本原理是:最大限度地激发学生的内在动力,调动学生的积极性和主动性,因材施教。理论上,数学建模在这方面有独特的价值,但也绝非单
2、方面主观愿望就能奏效的:你可以把牛牵到河边,但你无法强迫牛喝水。今天,高等教育从规模到大学生心态,数学从应用领域到应用方式,事物都发生了很大变化。我们需要思考:大学数学教育为了什么,期望实现什么目标、达到什么要求?我们能够做些什么,应该怎样做?社会需求和价值标准是多元的,这些问题也涉及很多因素,因此很难有统一的标准答案,需要集思广益,百花齐放。“对话与争鸣”栏目从这一期起,设立“大学数学课今天怎么教”这样一个话题,欢迎在数学基础课教学一线的教师,特别是青年教师,来参与讨论,各抒己见,交流经验,把我们共同的事业办得更好。大学数学课今天怎么教 从数学建模谈数学公共课教学陆 军(国防科技大学,湖南
3、长沙 4 1 0 0 7 3)大学数学今天怎么教?这看起来似乎是一个难以回答的问题。数学是客观的,但各人对数学的认知又是主观的。有人认为数学简洁有力,有人认为数学精密复杂,有人认为数学生动有趣,有人认为数学晦涩深奥。这种主观差异导致各人对数学教学的体会很不一样,因而谈论数学怎么教,似乎是一件费力不讨好的事情。若限定“大学数学”和“今天”,这个问题就有了更具体的讨论空间。按照百度百科的解释,“大学数学”是一个特有名词,通常指的是大学本科级别的数学课程。从内容上看,大学数学主要包括微积分、线性代数、概率统计和微分方程等,涉及的都是经典的数学理论与方法。故而讨论“大学数学怎么教”,实际上是讨论这些课
4、程怎么教。而“今天”又限定了该问题的场合与时间。当前人工智能和大数据的研究如火如荼,数学因此也受到了极大关注。因此,我们必须重新审视,在人工智能和大数据受到如此关注的今天,大学数学的教学是否需要作出改变?谈论大学数学今天怎么教,不是一个孤立的问题,需要清晰与之相关的另外两个问题:一是今天为什么要学数学,二是大学数学今天要教什么。前者关乎教学动机,是为根本,牵引着教学内容和教学方法;后者限定了教学内容,贯穿整个教学过程,服务于教学目的。而“怎么教”是关键,决定了教学目的能否达成。下面笔者以数学建模课程为例,尝试对以上问题给出一些抛砖引玉的拙见。1 为什么要学数学这个问题的答案显然因人而异,不唯一
5、。对数学家来说,数学是一种冒险,探索其中是令人着迷的;对工程师来说,数学是一把钥匙,可以破解工程实践中的难题;对大多数普通人来说,数学也许是一种素养,或者是一种爱好;对小朋友来说,数学甚至可能是一种游戏。人们学习数学的初衷五花八门,但概括来讲不外乎两大原因:1)追求理性,更好地认识世界931对话与争鸣大学数学课今天怎么教 从数学建模谈数学公共课教学2 0 2 3年6月菲利克斯克莱因曾说:数学是一种理性精神,使人类的思维得以运用到完善的程度。这话我深表赞同。所谓理性精神,是指人们能够利用理性的眼光分析事物,遵循科学的方法作出结论和决策。作为一种逻辑与抽象的学科,理性是数学思维的底色,寻优、评估、
6、预测、求解、控制等一系列数学活动本就是一种基于理性的思考与探究。在金融投资领域,数学可以帮助人们趋利避害,降低投资风险,提高资产收益;在医学领域,数学可以帮助人们对疾病有更精准的诊断和治疗方案。理性精神不仅有助于推进数学领域的发展,也为我们在生活中的决策提供了更为精确的思考与推断。2)追求实用,更好地改造世界数学的价值无须多言,其应用贯穿现代社会的各个领域,这也是众多人学习数学的驱动力。尤其在今天,人工智能与大数据发展迅猛,数学更是其中的核心基础之一,受到了极高关注。人工智能的本质是建立数学模型,通过对数据的归纳与推理,完成图像识别、自然语言处理等任务,这其中涉及大量线性代数、概率统计等数学知
7、识。在人工智能和大数据时代,数学不仅是认识世界的工具,更成为改造世界的利器。在实践数学教学之前,有必要搞清楚自己的动机,究竟是想通过数学认识世界还是改造世界,亦或是兼而有之。对于大学数学的教学来讲,这两者可以兼顾,但要注意有层次之分。大学数学的教学,首先应注重培养学生的理性思维能力,进而引导他们进行改造世界的探索与实践。在这个过程中,不同的大学数学公共课发挥的作用可能存在差异,如高等数学(微积分)、代数(线性代数)侧重基础理论与计算,对于训练学生的逻辑思维与计算能力具有基础作用;概率论与数理统计强调处理不确定性现象的理论与方法,不仅能帮助学生掌握处理此类问题的方法,更有助于扩展其看待现实世界的
8、思维方式。这其中数学建模扮演着重要角色,它既可以帮助我们深入问题本质,加深对世界的认知,也提供了我们改造世界的方法论。国防科技大学吴孟达教授的数学建模课(爱课程网线上课程)中有个观点让人印象深刻:数学建模是从自然走向理性的一座桥梁。自然代表着直觉和朴素,而理性代表着逻辑与深刻;自然是纷繁复杂的,而理性是严密而有序的。数学建模提供了一条从自然通向理性的康庄大道。一方面,数学建模以线性代数、概率统计、微分方程等课程为先修知识,强调依托数学解释世界;另一方面,也是更重要地,数学建模重在“建”字,侧重依托建模策略解决实际问题。以2 0 2 1年全国大学生数学建模竞赛A题“F A S T主动反射面的形状
9、调节”为例,该题直接来源于世界最大的单口径射电望远镜“中国天眼”的反射面调节问题,需要综合运用线性代数、解析几何、优化等一系列数学工具,并结合真实的数据进行模拟与计算,最终找到理想的工作抛物面,实现电磁波的最佳接收效果。2 大学数学教什么这也是个老生长谈的话题,每个学校都会遵循自己的办学定位和办学目标制定培养方案。按照数学的分支,大学数学基本由微积分、线性代数、概率统计等构成,这些内容一般都是各个高校的公共数学的必修课程,但不是我们讨论的重点。从内容上看,数学又可分为抽象、推理、模型和计算。那这些都要教吗?更具体地讲,数学证明需要教吗?因为定理总是正确,正确的东西还需要证明吗?同样的问题还有很
10、多。例如,模型需要教吗?模型的数量无穷无尽,应该教多少,怎么教?应该侧重教模型还是教建模?计算需要教吗?从数学理论到算法实现,“最后一步”是否是数学课堂上的必要内容?对于这些问题,我想有两个原则需要率先明确。其一是要围绕教学目的构建教学内容。若以培养学生的理性思维为目标,则应聚焦抽象与推理;若注重培养学生的实践能力,则应该侧重建模与计算。当然,两者有时候并不存在明显的分水岭。其二则要“因地制宜、因时制宜、因材施教”,教什么要根据学生的背景、文化特点、心理特点等进行适配,也要依据教学改革、社会变革进行灵活调整,以适应变化的需求。落实到具体的几个关键问题。首先,证明要教吗?笔者的回答是必须的。维特
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