一种求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法.pdf
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1、书书书第 卷 第期 年月地球物理学报 ,金一民,张怀,石耀霖 一种求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法地球物理学报,():,:,犆 犺 犻 狀 犲 狊 犲犑犌 犲 狅 狆 犺 狔 狊(),():,:一种求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法金一民,张怀,石耀霖中国科学院大学地球与行星科学学院,计算地球动力学重点实验室,北京 南方海洋科学与工程广东省实验室(珠海),广东珠海 北京燕山地球关键带国家野外科学观测研究站,中国科学院大学,北京 摘要在岩石圈动力学数值模拟中,现有的黏弹塑性数值模型通常在每个时间步先使用迎风间断 方法对偏应力张量进行旋转,然后使用 ()方法或场方法求解对流方程,所构成的时间离散
2、格式为显格式或半隐格式我们将黏弹塑性介质的经典数值模型和非牛顿流体力学领域的黏弹性流体问题计算方法相结合,提出了一种基于有限单元法的求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法本文通过数值实验将这种全隐格式算法与 方法和半隐格式算法进行了详细的对比,实验结果表明全隐格式算法的数值稳定性优于 方法,而当 数较高时精度优于半隐格式算法同时,我们在应力场引入三阶()限制器,可以在保留数值解精度的同时有效消除应力集中引起的数值振荡关键词隐格式;迎风间断 法;限制器;黏弹塑性介质 :中图分类号 收稿日期 ,收修定稿基金项目国家自然科学基金项目(,),国家重点研发计划项目()和国家重大科技基础设施项目“地球系统数值
3、模拟装置”资助第一作者简介金一民,男,年生,博士研究生,主要从事计算地球动力学数值方法研究 :通讯作者张怀,男,年生,教授,博士生导师,主要从事计算地球动力学研究 :犃犳 狌 犾 犾 狔 犻 犿 狆 犾 犻 犮 犻 狋 狊 犮 犺 犲 犿 犲犪 犾 犵 狅 狉 犻 狋 犺 犿犳 狅 狉 狊 狅 犾 狏 犻 狀 犵狏 犻 狊 犮 狅 犲 犾 犪 狊 狋 犻 犮 狆 犾 犪 狊 狋 犻 犮犿 犲 犱 犻 犪 犳 犾 狅 狑 ,犓 犲 狔犔 犪 犫 狅 狉 犪 狋 狅 狉 狔狅 犳犆 狅 犿 狆 狌 狋 犪 狋 犻 狅 狀 犪 犾犌 犲 狅 犱 狔 狀 犪 犿 犻 犮 狊,犆 狅 犾 犾 犲 犵 犲
4、 狅 犳犈 犪 狉 狋 犺犪 狀 犱犘 犾 犪 狀 犲 狋 犪 狉 狔犛 犮 犻 犲 狀 犮 犲 狊,犝 狀 犻 狏 犲 狉 狊 犻 狋 狔狅 犳犆 犺 犻 狀 犲 狊 犲犃 犮 犪 犱 犲 犿 狔狅 犳犛 犮 犻 犲 狀 犮 犲 狊,犅 犲 犻 犼 犻 狀 犵 ,犆 犺 犻 狀 犪犛 狅 狌 狋 犺 犲 狉 狀犕 犪 狉 犻 狀 犲犛 犮 犻 犲 狀 犮 犲犪 狀 犱犈 狀 犵 犻 狀 犲 犲 狉 犻 狀 犵犌 狌 犪 狀 犵 犱 狅 狀 犵犔 犪 犫 狅 狉 犪 狋 狅 狉 狔(犣 犺 狌 犺 犪 犻),犣 犺 狌 犺 犪 犻犌 狌 犪 狀 犵 犱 狅 狀 犵 ,犆 犺 犻 狀 犪犅 犲
5、犻 犼 犻 狀 犵犢 犪 狀 狊 犺 犪 狀犈 犪 狉 狋 犺犆 狉 犻 狋 犻 犮 犪 犾犣 狅 狀 犲犖 犪 狋 犻 狅 狀 犪 犾犚 犲 狊 犲 犪 狉 犮 犺犛 狋 犪 狋 犻 狅 狀,犝 狀 犻 狏 犲 狉 狊 犻 狋 狔狅 犳犆 犺 犻 狀 犲 狊 犲犃 犮 犪 犱 犲 犿 狔狅 犳犛 犮 犻 犲 狀 犮 犲 狊,犅 犲 犻 犼 犻 狀 犵 ,犆 犺 犻 狀 犪犃 犫 狊 狋 狉 犪 犮 狋 ,()期金一民等:一种求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法犓 犲 狔 狑 狅 狉 犱 狊 ;引言 经典黏弹塑性数值模型对岩石圈构造运动进行数值模拟时,通常使用 黏弹性模型结合塑性来描述岩石圈介质
6、的力学性质(,)黏弹性模型的 本构关 系包含 偏 应力 张 量 的 随 体 导数,在 描述下可分解成对时间的偏导数项、对流项和刚性旋转项,使得本构方程成为带有旋转的对 流 方 程,这 对 数 值 计 算 的 稳 定 性 构 成 了挑战目前,多数遵从 描述的黏弹塑性数值模型使用 ()方 法 求 解 本 构 方 程(,;,;,;,)这种方法的基本思想是在计算区域中遍布粒子,让粒子携带偏应力张量随介质移动,在每个时间步将应力插值到网格节点上(,;,;,)或直接将粒子当作积分点(,)进行计算大量的测试实验证明了这种方法可以正确描述黏弹塑性模型的力学性质(,;,)同时,由于 方法本身在地球动力学数值模拟
7、中应用广泛,因此使用 求解黏弹塑性本构方程具有方法成熟和易于实现的优势另一方面,方法也面临着占用计算资源多、不利于大规模并行的问题数值实验表明,参与计算的粒子 数 量 需 要 比 网 格 数 量 大个 数 量 级(,;,),因此运移粒子需要消耗不小的计算资源和进程间通讯资源同时,在使用网格自适应技术(,)的模型中如何平衡各进程之间的单元数量和粒子数量也是一个尚未解决的课题(,)因此,一些以大规模并行计算为主导的数值模拟软件更倾向于使用场方法代替 方法求解对流方程,如 (,;,)和 (,)在地学领域,首先将场方法应用于 黏弹塑性模型本构方程的求解此方法承袭 等()提出的数值模型,并用熵黏度法()
8、(,)或间断 法(,)(,)代替 方法求解本构方程由于在动量守恒方程和本构方程中偏应力张量的旋转项均使用上一时间步的计算结果显式表达,故这种方法可以看作一种半隐格式算法 的计算程序通过了多种测试实验,并被成功应用于大洋拆离过程的数值模拟(,)非牛顿流体力学领域对黏弹性流体的研究自 世纪 年代至今,不可压缩黏弹性流体的数值模拟一直是非牛顿流体力学领域的重要研究课题,其中许多的关键成果都建立在混合有限单元法的基础上(,;,)非牛顿流体力学领域主要致力于为高 数(无量纲参数,定义为黏弹性材料的松弛时间和物理过程持续时间之比)的黏弹性流体问题寻找稳定和精确的数值解法,因而多数算法将应力、速度和压强看作
9、独立变量进行求解这种处理方式不需要对动量守恒方程做时间离散,但同时使得动量守恒方程失去椭圆性,不利于有限元求解(,)为了克服这个困难,研究者提出了两种有效的求解思路一种思路是在各个变量的离散空间上建立联系,使其满足一定条件以保证问题的适定性(类似 于 求 解 方 程 时需 满足 的 条件)例如,当速度场使用双二次单元离散时,应力场须使用至少三阶 单元或宏单元进行离散(,)这种方法被称为 方法(,;,)另一种更为常用的思路是将动量守恒方程的弱形式变形使其具有显式椭圆性(,;,),这一类算法包括弹性黏性应力分裂法(,)(,)、离散 法()(,)、自适应 法()和自适应 法()(,)等在上述两类算法
10、中,本构方程均使用全隐格式求解最常用的方法是流线迎风扩散法(,)(,)和 方法,分别由 和 ()、和 ()首次应用于黏弹性流体问题地 球 物 理 学 报()卷 求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法非牛顿流体力学领域对黏弹性流体问题研究为黏弹塑性介质流动的数值算法提供了更多的设计思路然而,非牛顿流体力学领域的理论和实验成果大多建立在材料力学参数为常数的基础之上;当力学参数因塑性屈服而发生非均匀弱化时,算法的收敛性质将发生改变例如,我们尝试将 方法应用于黏弹塑性问题,实验结果证明当模型内出现不均匀塑性屈服时算法不收敛到真解另一方面,黏弹(塑)性介质的本构方程可看作对流方程,受物性参数的影响较小,因而
11、黏弹性流体本构方程的求解算法可直接应用于黏弹塑性流体本文结合 等()提出的黏弹塑性介质数值 模型 与隐格 式迎 风 方 法(由 ()首次应用于黏弹性流体问题),提出一种求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法数值实验表明,全隐格式算法的数值精度和稳定性均优于传统的 方法,在 数较高时比 实现的半隐格式算法精度更高除此之外,我们在计算中发现当模型内部出现不均匀塑性屈服时,迎风 方法不足以抑制偏应力 场 的 数 值 振 荡,因此我 们使 用 三阶()限 制 器来削弱数值振荡的幅度 方法是一类用于消除数值振 荡 的 高 阶 精 度 数 值 算 法(,;,),可作为限制器与 方法搭配使用(,;,)此方法已被
12、成功应用于求解多种包含不连续物理场的力学问题,例如可压缩湍流问题和气动声学问题(,)我们发现 限制器同样适用于消除塑性问题中因应力集中而引起的数值振荡,其高阶数值精度可以在保证解的光滑性的同时不使应力集中区域发生弥散本文第节详细介绍求解黏弹塑性介质动力学问题的基本方程和数值方法,第节通过数值实验测试算法的正确性和稳定性,第节通过二维和三维脆性冲断构造的数值模拟展示算法的实际应用效果,第节总结算法的特点和发展潜力在实验环节中,我们将全隐格式算法(简记为 )和三种不同的算法进行了对比:()实现的基于迎风 方法半隐格式算法(简记为 );()传统的 方法(简记为 ),基于 等()提供的 框架实现;()
13、非牛顿流体力学领域的 方法结合迎风 方法(简记为 ),具体算法见附录上述算法全部基于开源软件 实现,并且均使用 预调件 方法作为求解器(,),因此数值实验结果可以客观反映算法本身的特点控制方程和数值方法 犕 犪 狓 狑 犲 犾 犾黏弹塑模型的控制方程在蠕流假设和不可压缩假设下,动量守恒和质量守恒方程可表述为狆犳,()狌,()其中狆 犐为偏应力,狌为速度,狆为压强,犳表示体积力在 黏弹塑性模型中,应变率为黏性应变率、弹性应变率和塑性应变率之和:(狌)犙,()其中(狌)(狌)狌为应变率,为黏度,为弹性剪切模量,为塑性乘子,犙为塑性势这里表示的共旋()导数,在实际计算中用 应力变化率进行近似:狋(狌
14、),()其中表示流场旋度,定义为(狌)狌或犻 犼 狌犻 狓犼 狌犼 狓()犻()为了确定塑性流动方向,我们 采用 屈服准则,它的屈服函数犉和塑性势犙定义为犉 犮狆犮,()犙,()其中 犻 犼犻()犼为偏应力张量第二不变量的平方根,参数犮和犮与内聚力犮和内摩擦角相关在三维情况下,我们取犮 槡()和犮犮 槡()()使 准则的屈服面在平面上的投影为 准则的内切圆将()式代入()式,即得到 准则下黏弹塑性介质的本构关系:(狌)()期金一民等:一种求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法 时间离散如 节所述,我们需要对 应力变化率进行时间离散,从而将动量守恒方程()转化成标准的 方程在传统方法中,由于偏应力张
15、量的旋转依赖于每个时间步中速度场狌的计算结果,因而时间离散可看作显式的一阶差分;在我们的算法中,时间离散采用隐式一阶差分狀狀狀 狋狀(狌狀)狀狀狀狀狀()其中上标狀和狀代表时间步序号,狋狀为第狀个时间步的大小将()式代入()式,得狀 (狌狀)狀狀狀狀狀 (狌狀)狋狀狀,()其中 狋狀狀()()将()式代入()式,并且将对流项和旋转项移到等式右边,得到狀 (狌狀)狆狀犳狀,()其中狀狀 狀 狋狀(狌狀)狀狀狀狀狀()由于右端含有未知项,()式是一个非线性方程,需要通过非线性迭代求解未知量 狌狀,狆狀,狀我们在数值实验中测试了不动点迭代法和非精确牛顿迭代法(,),结果表明两种方法均可收敛(见第 节
16、和第 节)时间离散格式的差异给三种黏弹塑性数值模型 ,和 带 来 的 差别主要体现在三处:本构方程的表达式,弹性附加应力狀的表达式,以及有效应变率 (狌狀)的表达式(见表)值得注意的是模型 和 的有效应变率表达式中均不包含张量旋转项,这是因为在这两个模型中偏应变张量的旋转和 方程的求解是分别独立进行的 空间离散记为计算区域,为区域边界,并令犞,犘和犜分别表示狌,狆和所在的函数空间,则()式和()式对应的变分形式可表示为:寻找(狌狀,狆狀,狀)犞犘犜使得表三种黏弹塑性数值模型犞 犈 犘犘 犐 犆,犞 犈 犘犇 犌 犛 犐和犞 犈 犘犇 犌 犉 犐在时间差分格式上的对比犜 犪 犫 犾 犲犆 狅 犿
17、 狆 犪 狉 犻 狊 狅 狀犫 犲 狋 狑 犲 犲 狀狋 犺 犲 狋 犻 犿 犲犱 犻 犳 犳 犲 狉 犲 狀 犮 犲 狊 犮 犺 犲 犿 犲 狊犪 犱 狅 狆 狋 犲 犱 犻 狀狋 犺 犲犞 犈 犘犘 犐 犆犿 狅 犱 犲 犾,狋 犺 犲犞 犈 犘犇 犌 犛 犐犿 狅 犱 犲 犾,犪 狀 犱狋 犺 犲犞 犈 犘犇 犌 犉 犐犿 狅 犱 犲 犾本构方程 :狀狀 (狌狀)狀 狋狀狀 狀 狀 狀():狀狀 (狌狀)狀 (狌狀)狀 狋狀狀 狀 狀 狀():狀狀 (狌狀)狀狀狀狀狀 (狌狀)狀 狋狀弹性附加应力 :狀狀 狀 狋狀 :狀狀 狀 狋狀 :狀狀 狀 狋狀(狌狀)狀狀狀狀狀有效应变率 :(狌狀
18、)(狌狀)狀 狋狀 :(狌狀)(狌狀)狀 狋狀 :(狌狀)(狌狀)狀 狋狀(狌狀)狀狀狀狀狀注:此表达式等价于 等()的 式此表达式等价于 等()的 式在 等()的工作中,张量旋转项保留在了有效应力表达式中(式)在这里我们去掉张量旋转项以和动量守恒方程保持一致地 球 物 理 学 报()卷狀 (狌狀):(狌)狆狀狌犳狌狀:(狌),()狌狀狆,()狀狀 狋狀(狌狀)狀狀狀狀狀:(狌狀)狀 狋狀狀:,()对任意的(狌,狆,)犞犘犜均成立如 节所述,我们使用迎风 方法求解对流方程()将离散化的速度、偏应力以及它们对应的试探函数分别记为狌狀犺,狌犺,狀犺和犺,则本构方程的全离散弱形式可表述为狀犺狀 狋狀
19、(狌狀犺)狀犺狀犺狀犺狀犺狀犺:犺犉犉犉犻犺犉狀 (狌狀犺狀)(狀犺:,犺)犉 狀 (狌狀)狋狀狀 犺:犺,()其中犉犉犻犺表示内部单元边界的集合,狀犺犺犺表示偏应力在内部单元边界上的跳跃,犺为迎风格式下的试探函数,当狌犺狀时取()犺,反之取()犺目前,对犺的离散空间的选择并没有明确的限制 和 ()尝试使用双线性单元、节点不完全双二次单元和宏单元对偏应力场进行离散(方程使用犙犘元离散),数值实验表明节点不完全双二次单元表现最优,推测的原因是其与应变率的离散空间一致性最好我们在数值实验中使用犙犙单元(又称 元)离散 方程,使用犙或犙单元(上标表示不连续)离散偏应力场实验结果表明犙单元在数值稳定性
20、上表现更好,而犙单元在 数较低的情况下具有更高的数值精度(见第节)犠犈 犖 犗限制器当模型内部由于塑性屈服而出现强烈的应力集中时,和(狌)均在空间上剧烈变化,此时 方法和迎风 方法都不足以抑制偏应力场的数值振荡(见 节)在这种情况下,我们使用 限制器消除数值振荡 方法的基本思想是将每个单元的邻域(即由目标单元和其相邻单元组成的区域)分割成数个次级邻域,在每个次级邻域内对物理场插值,再将插值结果进行加权平均,因此 格式依赖于网格结构(,)我们所使用的网格是基于开源网格分区软件 (,)生成的四叉树八叉树自适应网格,在使用任意 ()方法模拟自由表面的情况下网格线不与坐标轴平行为了发挥自适应网格的优势
21、,我们设计了一种三阶 格式,可应用于二维三维结构化自适应网格上的犙单元简单起见,这里只介绍二维 格式,三维 格式可由二维格式直接推广得到图二维非笛卡尔自适应网格的 邻域示意图红色表示目标单元,黄色表示邻域内包含的其他单元 ,对四边形结构化网格,每个内部节点被个单元共享,因此每个单元的邻域具有相同的样式,如图所示每个内部单元的邻域由个四边形组成,记为犐犻,犻,如果相邻单元比目标单元“粗糙”,则此单元只有被算在邻域内;如果相邻单元包含子单元,则个子单元都被算在邻域内这样,个次级邻域犛犼(犼,)可被定义为犛犐,犐,犐,犐,犛犐,犐,犐,犐,犛犐,犐,犐,犐,犛犐,犐,犐,犐由于单元的邻域包含个四边形
22、,每个次级邻域包含个四边形,因此我们可以在每个次级邻域上找到唯一的双线性多项式狆犼(狓,狔)满足犐犻狆犼(狓,狔)狓狔犐犻狓狔犐犻犛犼,()并且在邻域上找到唯一的双二次多项式犘(狓,狔)满足期金一民等:一种求解黏弹塑性介质流动的全隐格式算法犐犻犘(狓,狔)狓狔犐犻狓狔,犻,()其中为偏应力张量的独立分量(为了简化标记,省略了代表张量分量的下标)接下来,我们寻找个双线性多项式的线性组合犼犼狆犼(狓,狔)使其与犘(狓,狔)在个 积分点上重合,即犼犼狆犼(狓犾,狔犾)犘(狓犾,狔犾),犾,()最后,利用线性组合的系数犼(犼,)求取光滑因子犼和权重犼(犼,):犼犐犻 狆犼(狓,狔)()狓狓狔犐犻 狆犼
23、(狓,狔)()狔狓狔,()犼犼犽犽,犼犼(犽),()即可得到 插值多项式犚(狓,狔):犚(狓,狔)犼狑犼狆犼(狓,狔)()容易证明,我们的三阶 格式在笛卡尔网格下退化成 和 ()设计的经典 格式在实际应用中,限制器的作用方式类似于后处理,在每个时间步结束时为偏应力场消除数值振荡 限制器的实际效果见 节 测试实验地学领域中常用的黏弹(塑)性介质数值模型测试实验包括应力积累实验(,;,;,)、黏弹性板的弯曲实验(,;,)和弯曲梁实验(,)等这些测试实验中应力的空间变化较小,以至于本构方程中的对流项(狌)可以忽略,因而数值算法的稳定性并未受到考验本节展示两组测试实验的结果,一组为上文提到的应力积累实
24、验,另一组为非牛顿流体力学领域常用的圆柱绕流实验(,;,;,;,)在 圆 柱 绕 流 实 验 中,应 力 的 空 间 变 化 随 数的增大而变强,故而对数值算法的稳定性要求更高需要注意的是,非牛顿流体力学领域和地学领域常用的黏弹性介质本构关系稍有不同首先,地学领域使用的偏应力随体导数为共旋导 数(见 节),而非牛顿流体力学领域 使 用 上随 体()导数,其对应的 黏弹性模型为上随体 (,)模型其次,非牛顿流体力学领域研究的黏弹性介质多为工业上的聚合介质,其中最基本的一类黏弹性模型为 模型,它可以看作 模型与牛顿流体的线性组合(,)数值上,牛顿流体的加入使动量守恒方程的椭圆性更强,这使得 模型比
25、 模型更易于得到稳定的数值解,因而大多数圆柱绕流实验都使用 模型作为对象(,;,;,;,)为了方便和前人的成果对比,我们同样使用 模型进行圆柱绕流实验尽管本构方程不同,但控制方程的基本结构并未改变,因此数值实验的 结 果 可 以 反 映 算 法 的 性 质 模 型 和 模型的本构关系见附录 应力积累实验应力积累实验的几何模型为 的正方形,其下边界为流体进口,右边界为流体出口,上边界和左边界为自由滑动边界(见图 左上小图)当流体进出速度恒定时,模型内部产生调和速度场(即无散无旋场),因而应变率在空间上无变化我们选取合适的流体进出速度,使得偏应力的解析解满足形式狋()(狌)()我们将三种黏弹塑性介
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