一类时空离散捕食系统的混沌与斑图转变.pdf
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1、 2 0 2 3年河北大学学报(自然科学版)2 0 2 3第4 3卷 第4期J o u r n a l o f H e b e i U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 3 N o.4D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 0 1 5 6 5.2 0 2 3.0 4.0 0 2一类时空离散捕食系统的混沌与斑图转变类维倩,郭丰路,黄头生(华北电力大学 工程生态学与非线性科学研究中心,北京 1 0 2 2 0 6)摘 要:探讨了一类时空离散L e s l i e-G o
2、 w e r型捕食系统的复杂时空动力学行为.运用分岔定理分析了该系统在不动点附近发生倍周期分岔、N e i m a r k-S a c k e r分岔和图灵分岔的条件.通过分岔图和最大李雅普诺夫指数展示了系统的分岔过程,借助空间振幅和时空发展的变化揭示了由分岔引发混沌路径上的斑图转变规律.结果表明:在倍周期分岔引发的混沌路径上,斑图呈现类似的周期加倍级联过程,系统经历了从冻结混沌到缺陷湍流的变化;在N e i m a r k-S a c k e r分岔引发的混沌路径上,斑图以环状和螺旋波状为主,在周期和拟周期吸引子上经图灵失稳形成的斑图仍会呈现有序的时空带状结构,在混沌吸引子上形成的斑图虽然呈
3、现无序的空间振幅变化,但在时空发展变化中会呈现某种整体有序局部混乱的湍流状态.关键词:时空离散;捕食系统;分岔;混沌路径;斑图自组织 中图分类号:O 1 7 5.1 3 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 0 1 5 6 5(2 0 2 3)0 4 0 3 4 6 1 1C h a o s a n d p a t t e r n t r a n s f o r m a t i o n o f a s p a t i o t e m p o r a l d i s c r e t e p r e d a t o r-p r e y s y s t e mL E I W e i q i a n,
4、G U O F e n g l u,H U A N G T o u s h e n g(R e s e a r c h C e n t e r f o r E n g i n e e r i n g E c o l o g y a n d N o n l i n e a r S c i e n c e,N o r t h C h i n a E l e c t r i c P o w e r U n i v e r s i t y,B e i j i n g 1 0 2 2 0 6,C h i n a)A b s t r a c t:T h e c o m p l e x s p a t i
5、o t e m p o r a l d y n a m i c s o f a k i n d o f s p a t i o t e m p o r a l d i s c r e t e L e s l i e-G o w e r t y p e p r e d a t o r-p r e y s y s t e m i s d i s c u s s e d.T h e b i f u r c a t i o n t h e o r e m i s u s e d t o a n a l y z e t h e c o n d i t i o n s u n d e r w h i c
6、h t h e s y s t e m u n d e r g o e s f l i p b i f u r c a t i o n,N e i m a r k-S a c k e r b i f u r c a t i o n a n d T u r i n g b i f u r c a t i o n n e a r t h e i mm o b i l i t y p o i n t.T h e b i f u r c a t i o n p r o c e s s o f t h e s y s t e m i s d e m o n s t r a t e d b y t h e
7、 b i f u r c a t i o n d i a g r a m a n d t h e m a x i m u m L y a p u n o v e x p o n e n t,t h e p a t t e r n t r a n s i t i o n o n t h e r o u t e c h a o s t r i g g e r e d b y t h e b i f u r c a t i o n i s r e v e a l e d b y t h e c h a n g e s o f s p a t i a l a m p l i t u d e a n d
8、 s p a c e-t i m e d e v e l o p m e n t.T h e r e s u l t s s h o w t h a t t h e p a t t e r n i n d i c a t e a s i m i l a r p e r i o d d o u b l i n g c a s c a d e p r o c e s s o n t h e r o u t e c h a o s c a u s e d b y f l i p b i f u r c a t i o n,a n d t h e s y s t e m g o e s t h r o
9、 u g h a c h a n g e f r o m f r o z e n c h a o s t o d e f e c t t u r b u l e n c e.T h e p a t t e r n i s m a i n l y s h a p e d l i k e a n n u l a r a n d s p i r a l w a v e s o n t h e r o u t e c h a o s c a u s e d b y t h e N e i m a r k-S a c k e r b i f u r c a t i o n,a n d t h e p a
10、 t t e r n f o r m e d b y T u r i n g i n s t a b i l i t y o n t h e p e r i o d i c a n d q u a s i-p e r i o d i c a t t r a c t o r s d i s p l a y s t h e o r d e r e d s p a t i a l a n d t e m p o r a l b a n d e d s t r u c t u r e.T h e p a t t e r n f o r m e d o n t h e c h a o t i c a t
11、 t r a c t o r s h o w s t h e s p a t i a l a m p l i t u d e c h a n g e s 收稿日期:2 0 2 2 1 1 2 8 基金项目:国家自然科学基金青年基金资助项目(1 1 8 0 2 0 9 3);国家水体污染控制与治理科技重大专项(2 0 1 7 Z X 0 7 1 0 1 0 0 2)第一作者:类维倩(1 9 9 7),女,山东泰安人,华北电力大学在读硕士研究生,主要从事非线性动力学方向研究.E-m a i l:1 2 0 2 0 2 2 0 9 0 5 9n c e p u.e d u.c n 通信作者:黄头生(
12、1 9 8 5),男,江西吉水人,华北电力大学副教授,主要从事非线性动力学与斑图动力学方向研究.E-m a i l:t o u s_h u a n g n c e p u.e d u.c n第4期类维倩等:一类时空离散捕食系统的混沌与斑图转变o f d i s o r d e r,h o w e v e r,s o m e t u r b u l e n c e s t a t e w i t h o v e r a l l o r d e r a n d l o c a l c h a o s a p p e a r s i n t h e c h a n g e s o f s p a c
13、 e-t i m e d e v e l o p m e n t d i a g r a m.K e y w o r d s:s p a c e-t i m e d i s c r e t e;p r e d a t o r-p r e y s y s t e m;b i f u r c a t i o n;r o u t e t o c h a o s;s e l f-o r g a n i z a t i o n o f p a t t e r n s捕食系统空间斑图形成是生态系统最基本的非线性特征之一1,捕食系统的时空复杂性2-3通过斑图的多样性来体现.自1 9 5 2年T u r i
14、n g4首次提出斑图研究理论,利用图灵理论研究捕食系统斑图成为捕食系统中的研究热点5-6.近年来,基于捕食系统模型的斑图自组织格局研究越来越多7.文献8 研究具有强A l l e e效应的捕食系统模型的斑图动力学,发现捕食系统可形成点状、条纹状、孔洞状、螺旋状斑图;文献9 研究了存在交叉扩散的捕食模型图灵斑图形成,结果表明交叉扩散可以导致多模式的斑图形成.在捕食系统斑图自组织的研究不断发展的基础上,发现斑图自组织的形成尤其是在通往混沌路径上的斑图转变对于揭示生态系统的基本规律具有重要意义.但目前在混沌路径上的斑图研究较少,对于时空混沌斑图自组织和转变规律认识仍然不足,需进一步探索时空离散捕食系
15、统混沌路径上的斑图特性.本文基于H o l l i n g 和L e s l i e-G o w e r型时空离散捕食模型,探究倍周期分岔、N e i m a r k-S a c k e r分岔与图灵分岔产生的条件,以及分岔引发的混沌行为;通过数值模拟展示了混沌路径上的自组织斑图的转变规律.该研究呈现了在周期、拟周期和混沌吸引子之上由图灵失稳产生的各类混沌斑图以及斑图特性的转变,为时空离散捕食系统复杂动力学和时空复杂性研究提供了新的理解.1 时空离散捕食系统和稳定性分析耦合映像格子是一类时间离散、空间离散和状态连续的动力学模型,可用于刻画时空离散捕食系统的动态演化过程.基于耦合映像格子的时空离
16、散捕食系统可以描述为1 0 x(i,j,t)=x(i,j,t)+h2d12dx(i,j,t),y(i,j,t)=y(i,j,t)+h2d22dy(i,j,t),(1)x(i,j,t+1)=x(i,j,t)+f(x(i,j,t),y(i,j,t),y(i,j,t+1)=y(i,j,t)+g(x(i,j,t),y(i,j,t),(2)其中,和h为时空离散捕食系统动力学演化的时间和空间尺度;x(i,j,t)和y(i,j,t)(i,j1,2,nt N*)表示在t时间段第(i,j)格点上的被捕食者和捕食者密度,nn表示格点数量;x(i,j,t)和y(i,j,t)是捕食系统种群扩散过程和“反应”过程的中间
17、变量;d1和d2是种群扩散系数;2d为离散拉普拉斯算子,且有2dx(i,j,t)=x(i,j+1,t)+x(i,j-1,t)+x(i-1,j,t)+x(i+1,j,t)-4x(i,j,t),2dy(i,j,t)=y(i,j+1,t)+y(i,j-1,t)+y(i-1,j,t)+y(i+1,j,t)-4y(i,j,t).(3)式(2)中f和g是由被捕食者和捕食者种内和种间局部相互作用所确定的函数.本文研究具有A l l e e效应和H o l l i n g 功能反应函数的L e s l i e-G o w e r型捕食模型1 1,如式(4)所示.其中,X和Y分别表示被捕食者和捕食者种群密度;r
18、和K分别表示在无捕食状态下被捕食者的内禀增长率和环境容纳量;S表示捕食者的内禀增长率.为了便于理论分析,对式(4)进行无量纲化处理,得到函数f和g表达式如(5)所示,该处理不会影响时空离散捕食系统的研究结果.F(X,Y)=r X1-X/K (X-M)-n X Y/(B+X2),G(X,Y)=S Y1-Y/h X .(4)f(x,y)=x(1-x)(x-m)-x y/(a+b x2),g(x,y)=c y1-y/x ,(5)其中,x(1-x)(x-m)表示被捕食者的种群增长受A l l e e效应影响;x/(+b x2)表示H o l l i n g 型的功能反应函数;c y/x表示L e s
19、l i e-G o w e r型的数值响应函数;a、b、c、m都是正常数.在生态学意义的要求下,743以上方程中所有参数取值必须为正,且x和y须为非负值.首先进行时空离散捕食系统的局部稳定性分析.不考虑方程(1)-(3)中的空间项,将式(5)f、g的表达式代入式(2),并将所得差分方程写成如下映射表达式xy x+x(1-x)(x-m)-y/(a+b x2)y+c y1-y/x .(6)根据映射不动点的定义,计算得到3个不动点:(1,0),(m,0),(x*,y*),y*=x*,且x*是一个四次方程的正实根:x4-(m+1)x3+ab+m x2+1-a-a mbx+abm=0.利用雅可比矩阵1
20、2分析以上3个不动点的稳定性,映射(6)对应的雅可比矩阵为J(x,y)=1+-3x2+2(m+1)x-m-y(a-b x2)/(a+b x2)2 -x/(a+b x2)c y2/x21+c 1-2y/x .(7)将不动点的值代入雅可比矩阵(7),计算雅可比矩阵的2个特征值1和2.当|1|1和|2|1或者|2|1,则不动点是不稳定的.对于映射(6)3个不动点的局部稳定性分析结果如下:1)J(1,0)的2个特征值为1=1+(m-1)和2=1+c.因21,可知不动点(1,0)是不稳定的.2)J(m,0)的2个特征值为1=1+m(m-1)和2=1+c.因21,可知不动点(m,0)是不稳定的.3)J(x
21、*,y*)的2个特征值为1,2=(-pp2-4q)/2,(8)其中,p=-2+c-3x*2+2(m+1)x*-m-x*(a-b x*2)/(a+b x*2)2 ,(9)q=-3x*2+2(m+1)x*-m-x*(a-b x*2)/(a+b x*2)2 (1-c)+c 2x*/(a+b x*2)+1-c.(1 0)当q1,-(1+q)p(1+q)时,有|1|1,|2|0时,从(x*,y*)处分岔出的周期-2轨道1 0,1 4-1 5是稳定的;若20,则分岔出的周期-2轨道是不稳定的.2.2 N e i m a r k-S a c k e r分岔根据N e i m a r k-S a c k e
22、r分岔定理1 6对时空离散捕食系统的N e i m a r k-S a c k e r分岔进行分析.N e i m a r k-S a c k e r分岔发生的第1个条件要求式(8)中的2个特征值是1对模为1的共轭复数,即p2-4q0且q=1.换言之,2c-3x*2+2(m+1)x*-m-x*(a-b x*2)/(a+b x*2)2 -(4c 2x*)/(a+b x*2)0,(1 9)=0=c+3x*2-2(m+1)x*+m+x*(a-b x*2)/(a+b x*2)2c x*/(a+b x*2)-c-3x*2+2(m+1)x*-m-x*(a-b x*2)/(a+b x*2)2 .(2 0)当
23、参数条件满足式(1 9)、(2 0)时,通过平移变换w=x-x*,z=y-y*将不动点(x*,y*)移至原点,利用泰勒展式将映射(6)转化为以下映射wz a1 1w+a1 2z+a1 3w2/2+a1 4w z+a1 7w3/6+a1 8w2z/2+O(|w|+|z|)4)a2 1w+a2 2z+a2 3w2/2+a2 4z2/2+a2 5w z+a2 8w3/6+a2 9w2z/2+a2 1 0w z2/2+O(|w|+|z|)4),(2 1)其中,系数a1 1,a1 2,a1 3,a1 4,a1 7,a1 8,a2 1,a2 2,a2 3,a2 4,a2 5,a2 8,a2 9,a2 1
24、0均在式(1 4)中给出,需替换*为0.因此,映射(2 1)在不动点(0,0)处雅可比矩阵的2个特征值也是模为1的共轭复数,可以表示为(0),-(0)=-P(0)/2i 4q(0)-p2(0)/2=i.(2 2)其中,i=-1,p()和q()与式(9)、(1 0)中描述一致.将式(2 0)中0值代入式(2 2),得|=q2(0)=1.与此同时,N e i m a r k-S a c k e r分岔的发生还需满足条件d=d|()|d=0=c+3x*2-2(m+1)x*+m+x*(a-b x*2)/(a+b x*2)2/20,(2 3)(0)1,=1,2,3,4.(2 4)由于在N e i m a
25、 r k-S a c k e r分岔的第1个条件(1 9)中已满足p(0)-2,2,因此条件(2 4)等价于p(0)0,1,即0c+3x*2-2(m+1)x*+m+x*(a-b x*2)/(a+b x*2)2 2,3.(2 5)对映射(2 1)应用如下可逆变换053河北大学学报(自然科学版)第4 3卷第4期类维倩等:一类时空离散捕食系统的混沌与斑图转变wz =a1 20-a1 1-wz ,(2 6)则映射(2 1)转化为wz -wz +1a1 2G1(w,z)G2(w,z),(2 7)其中,G1(w,z)=a1 2w2a1 2a1 3/2+a1 4(-a1 1)-a1 2a1 42wz-a21
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