一类含参数的Schr_dinger方程的多解_周琴.pdf
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1、考虑形如-u+a(x)u=f(x,u),x ,u=0,x (1)的一类含参数的Schrdinger方程,其中是Rn中具有光滑边界的有界区域,0,f C1(R,R),a:R连续.Schrdinger方程又称为Schrdinger波动方程,最早由物理学家薛定谔在1926年提出的,是量子力学中最基本的一个方程.Schrdinger方程的一般形式为it=-22m+a(x)-f(x,|).(2)其中:i是虚数单位;表示Planck常数;表示Laplace算子;a(x)表示位势;=(x,t)是一个复值函数;f(x,|)是一个非线性项.Floer等1得到式(2)的驻波解为(x,t)=u(x)e-iEt.将(
2、x,t)代入式(2),则u(x)满足-u+a(x)u=f(x,u),x ,u=0,x .(3)Bartsch 等2给出了方程(3)在多种不同条件下有不同的解,如若有界,2 p 2=2NN-2且|u|2+a(x)u2dx cu2dx时,方 程(3)存 在 1 个 解.若N 3,p 2,RN且 具 有 光 滑 边 界,a(x)0时,方程无解.若N 4,p=2,0 1且a(x)=-时,方程(3)存在1个解等.吴伟力3在正向上下解的条件下得到了方程(3)的 4 个解,并且知道了解的存在区间,另外若f(x,0)=0,0,则4个解中有1个正解,1个负解和1个变号解.Li等4讨论了方程-u=f(x,u)+g
3、(x,u),x ,u=0,x .(4)在满足|0,f C1(R,R),a:R连续.关键词:Schrdinger方程;多解;下降流不变集;上下解中图分类号:O177文献标识码:A文章编号:2095-2481(2023)02-0118-07收稿日期:2022-01-07*通信作者:曾晶(1981-),女,副教授.E-mail:基金项目:国家自然科学基金(11501110);福建省自然科学基金(2018J01656).第 35 卷第 2 期2023 年 6 月宁德师范学院学报(自然科学版)Journal of Ningde Normal University(Natural Science)Vol.
4、35 No.2Jun.2023DOI:10.15911/ki.35-1311/n.2023.02.019第2期周琴,等:一类含参数的Schrdinger方程的多解lim|t|supf(x,t)|t|2-1+的条件下,至少存在3个解,且若supt 0f(x,t)t 0,当 (0,)时,方程(4)至少有1个非平凡解.王金根7讨论了方程(4)在 0时,存在 0,使得对任意,|的条件下,方程(4)至少有3个非平凡解,其中u1是正的,u2是负的,u3是变号的.张鹏8利用下降流不变集,讨论方程-u=f(x,u)+g(x,u),x ,u=0,x (5)在正向上下解的条件下至少存在4个解,其中至少有2个正解.
5、假设如下(H1)存在正的上下解,C20(),0 0和p (2,2),满足|f(x,t)|c1|t|+c2|t|p-1,x ,t R.其中:2=2NN-2.(H4)存在 2,M 0使得0 F(x,t)f(x,t)t,x ,|t|M.其中:F(x,t)=0tf(x,s)ds.(H5)对任意x ,a(x)0,a:R连续.方程(1)对应的泛函为J(u)=12(|u2+a(x)u2)dx-F(x,u)dx.(6)主要结论是定理1设(H1)(H5)成立,并且J在整个空间上下方有界,则方程(1)至少存在6个解,其中至少有3个正解.文献5讨论了方程(4)在上下解的条件下的解,文献8比文献5多了一项非线性项,讨
6、论了在上下解的条件下方程(5)的解,文献3讨论了方程(3)在上下解的条件下的解,在文献3,5,8-9的启发下,推广了文献3的结果,利用下降流不变集方法,证明在正向上下解的条件下方程(1)至少存在6个解,而且至少有3个正解.文中安排如下:第一部分给出与下降流不变集相关的一些定义,泛函取得临界点的相关引理;第二部分利用这些引理证明泛函(6)至少存在6个临界点.1预备知识首先给出一些记号:记X=C10(),X是 Banach 空间,K=u|u X,f(u)=0,X0=XK.其中:f(u)是f在u X处的梯度算子,X是X的对偶空间.S=u H|J(u)=0.-119宁德师范学院学报(自然科学版)202
7、3年6月设1 p ,Lp()为Banach空间,其范数定义为|u|p=(|u|pdx)1p.在Hilbert空间H=u H10():a(x)u2dx 0,u(0)=u?0.(8)由常微分方程可知,方程(8)的解存在且唯一,记为u(t,u?0),其右向最大存在区间为0,T(u?0).由于对任意t 0,T(u?0),有df(u(t,u?0)dt=(f(u(t,u?0),u(t,u?0)=(f(u(t,u?0),-W(u(t,u?0)-12f(u(t,u?0)2 0.故f(u(t,u?0)关于t在0,T(u?0)上是单调递减的,称u(t,u?0)(0 t T(u?0)是f的下降流曲线.定义 210设
8、非空集合M E,称M是f的由W生成的下降流不变集,如果对任意u0 MK,u(t,u0)|0 t T(u0)M成立.定理211设是RN中的有界光滑区域,1 p ,则对任意1 q p=NpN-p,W1,p()嵌入Lq()是紧的.特别地,对任意的1 q 2,H10()嵌入Lq()是紧的.定理312作如下假设1)J(u)=u-Au,J(u):X X是Lipschitz连续的;2)当0 t supt 0,1J(h(t),则J至少有四个临界点.其中:u1 D1 D2,u2 D1DX2,u3 D2DX1及u4 X(DX1 DX2),DXi(i=1,2)表示Di在X中的闭包.注1定理3中对u0 X,考虑如下初
9、值问题|du(t)dt=-u(t)+Au(t),u(0)=u0.(9)u(t,u0),u?(t,u0)分别为式(9)在H和X中的唯一饱和解,其右向最大存在区间分别为0,T(u0),0,T?(u0).由于X嵌入H,得T?(u0)T(u0)且当0 t T?(u0)时,u?(t,u0)=u(t,u0).引理19若假设定理3的条件均满足,且泛函J在整个空间上下方有界,则J至少存在6个临界点,其中:u5 D1DX2且u5 u2,u6 D2DX1且u6 u3.引理2J(u):X X是Lipschitz连续的.证明由(H3)可知,|fu(x,u)|c1+c2p-1|u|p-2.对任意um,un,H,z (0
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