基于轮对系统的激变及多稳态动力学研究.pdf
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1、2023 年第 8 期 第 50 卷 机械 1 收稿日期:2023-01-04 基金项目:国家自然科学基金重点项目非光滑动力系统的全局动力学及其应用研究(11732014);国家自然科学基金面上项目非光滑动力系统的吸引子分岔和多稳态动力学研究(12072291);国家自然科学基金面上项目非光滑动力系统的遍历论和大范围变分方法研究(12172306)作者简介:张凯旋(1998),男,河北沧州人,硕士,主要研究方向为非线性动力学,Email:wenhua_。*通信作者:乐源(1974),男,四川攀枝花人,博士,教授,主要研究方向为非线性动力学,Email:。基于轮对系统的激变及 多稳态动力学研究
2、张凯旋,乐源*(西南交通大学 力学与航空航天学院 应用力学与结构安全四川省重点实验室,四川 成都 610031)摘要:以两自由度铁道机车轮对自治系统为研究对象,得到行进过程中随速度参数变化的横移分岔图进行数值模拟。基于 Floquent 乘子刻画周期解稳定性,利用 Lyapunov 指数刻画混沌运动。将滞后环与多稳态现象联系起来,在滞后环内部,系统存在多稳态共存;在滞后环外部,多稳态共存消失,滞后环边界处产生边界激变现象,边界激变是由于不稳定周期轨道与稳定周期轨道相接触导致分岔图产生的跳跃现象。基于吸引域图,对滞后环内外多稳态共存现象的出现和消失进一步解释并求解了边界处的 Floquent乘子
3、和混沌区域的最大 Lyapunov 指数。关键词:轮对系统;滞后分岔;激变;多稳态;Floquent 乘子 中图分类号:O322;U27 文献标志码:A doi:10.3969/j.issn.1006-0316.2023.08.001 文章编号:1006-0316(2023)08-0001-07 Crisis and Multistability of Railway Wheelset System ZHANG Kaixuan,YUE Yuan(Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province,S
4、chool of Mechanics and Aerospace Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)Abstract:Taking a two-degree-of-freedom railway wheelset autonomous system as the research object,the transverse bifurcation diagram varying with the speed parameter during the traveling process is obtain
5、ed for numerical simulation.The stability of periodic solution is described based on Floquet multipliers,and chaotic motion is described by Lyapunov exponents.The hysteresis loop is connected with the phenomenon of multistability.Inside the hysteresis loop,there is the coexistence of multistability
6、in the system;outside the hysteresis loop,the coexistence of multistability disappears,and the boundary crisis phenomenon occurs at the boundary of the hysteresis loop.The boundary crisis is the jumping phenomenon resulted from the bifurcation diagram,which is caused by the contact between the unsta
7、ble periodic trajectory and the stable periodic trajectory.Based on the basin of attraction,the appearance and disappearance of the multistability coexistence phenomenon inside and outside the hysteresis loop are further explained.The Floquet multipliers at the boundary and the largest Lyapunov expo
8、nents of the chaotic region are solved.Key words:wheelset system;hysteresis bifurcation;crisis;multistability;Floquet multiplier 2 机械 2023 年第 8 期 第 50 卷 列车行进过程中时常会有蛇行运动现象,蛇行运动会导致列车轮对与轨道之间出现碰撞接触,长期的碰撞接触会使轮对和轨道产生磨损消耗,极易发生脱轨、倾覆等安全问题,并且这种不规律的往复横移会极大影响乘坐舒适性。蛇行运动的横移幅值和频率受到很多参数的影响,因此需要对轮对系统进行动力学研究,使在列车设计和安
9、全检测的过程中,有理论根据地进行参数优化,避免很多安全隐患。在国外研究中,Huilgol1对铁道车辆动力学进行了分岔分析,并发现了系统中的非对称运动,但没有进行更加深入的分析和解释。其后,Isaksen2在机车动力学系统中发现了混沌,Meijaard 等3通过对正弦轨道上滚动轮对的研究,得出混沌是由于受迫振动产生的结论。近代对动力学的研究中,Knudsen 等4用延续算法求解了非线性车辆系统的分岔问题。Hoffman5数值模拟出欧洲双轴客车的周期解和混沌吸引子共存的动力学现象。Zboinski 等6研究了车辆系统中的不同参数对列车在曲线轨道上运动的稳定性的影响。在国内研究中,高学军等7提出合成
10、分岔图,将系统在升速和降速时绘制的分岔图合成在一张图中,发现车辆系统在经过拟周期运动后进入混沌。董浩8采用范式法证明了高速动车组在简单轮轨接触关系下均存在亚临界和超临界 Hopf 分岔。杨绍普等9考虑非线性滞后弹簧对转向架系统的 Hopf 分岔现象的影响,表明转向架系统蛇行运动的本质是一种 Hopf 分岔现象。缪鹏程10对含干摩擦阻尼的轮对系统进行全局动力学分析,发现轮对系统存在大量多稳态现象。多稳态共存现象是指,一个参数作为变量、其他参数固定的情况下,赋予动力学微分方程不同初值,会得到不同稳态解。欧阳茹荃等11利用胞映射方法观察到船舶系统的吸引子共存和周期倍化等非线性特性,黄羽等12观察到一
11、个单自由度自治系统在时滞反馈控制的影响下产生多吸引子共存等现象,稳态不同,系统的求解结果会有很大差异,这对研究系统的运动稳定性有很大影响。Erazo 等13为计算 Filippov系统的吸引域,提出一种改进胞映射算法。吴鑫等14使用胞映射方法寻找悬臂梁振动系统的吸引子和吸引域,揭示了系统由周期运动到混沌的过程,同时发现分岔图中出现激变现象。激变现象是指分岔图中稳态解在很小的参数范围内发生激烈变化。分岔图中混沌区域突然变大的现象称为内部激变,对应吸引域图形中混沌吸引子突然变大;混沌区域突然消失的现象称为边界激变,乐源等15在一类碰撞振动系统中发现两个共轭的混沌吸引子与对称不动点接触,导致激变的发
12、生和阵发性。张惠等16在一类分段光滑碰撞系统中发现,吸引子的消失与混沌吸引子和吸引域边界碰撞产生的内部激变有关,一般情况都是由混沌运动突然变为周期运动,对应吸引域图形中混沌吸引子突然消失,有时边界激变会伴随着滞后分岔现象。滞后分岔是平衡点的一种基本分岔,常出现在非线性系统中,在很小的参数范围内,稳定解发生很大改变,在分岔图中表现为跳跃现象,分岔曲线在发生滞后分岔的位置不连续,且会有上下两支,两个滞后分岔点之间会有一条不稳定的周期轨道,两支分岔曲线组成一个类似平行四边形的图形,称为滞后环17。1 单轮对模型运动微分方程 考虑一个铁路车辆单轮对模型,如图 1 所示。模型为刚体模型,几何简化模型为两
13、个车轮固结在一根车轴,车轮和构架之间通过一系悬挂连接,一系悬挂由横向和纵向弹簧组成。为便于计算,对模型的物理属性做出假设:弹簧为线弹性;忽略轨道不平顺;轮对与轨道保持接触;轮轨之间的蠕滑力采用 Kaller 线性蠕滑理论;轮轨之间的轮缘力采用五次多项式来描述18。2023 年第 8 期 第 50 卷 机械 3 由牛顿欧拉方程,得到模型的运动微分方程如式(1)所示。令1yy=,2yy=?,3y=,4y=?,将式(1)变换为范式如式(2)所示。35221221222111111022022()0eyexeWfmyyKyfyyvbf bf bJyK bWbvr+=+=?(1)123522211223
14、1 12123422111141113042()222()eyexeyyWfyKyf yyyvbymyyf bf byyK bWbyryJv=+=+=?(2)式中:m 为轮对系统质量;y 为轮对横移量;为轮对摇头角;v 为轮对前进速度;1yK为一系悬挂横向刚度;W 为轮对轴重;e为踏面等效锥度;b 为一系悬挂横向跨距之半;1、2分别为轮缘力的非线性拟合参数;J 为摇头转动惯量;11f、22f分别为轮轨接触的纵向和横向蠕滑系数;0r为车轮名义滚动圆半径;1xK表示一系悬挂纵向刚度;1b为一系悬挂横向跨距之半。图 1 铁路车辆单轮对模型 2 融合激变与多稳态 取e0.325,m1627 kg,J8
15、30 kgm2,0r0.46 m,b0.7465 m,1b1.02 m,1xK2 kN/m,1yK3.646 kN/m,11f1.5232 MN,22f1.5232 MN,W56.1 kN,1-1.61011 N/m3,21.61015 N/m5,v 为分岔参数。得到系统分岔图如图 2 所示,其中红色和蓝色为采用升降速方法取不同初值绘制的分岔图,虚线 A1C1为不稳定周期轨道。图 2 e0.325 时系统的分岔图 由图 2 可知,系统在 A1点发生音叉分岔,在 B1和 D1点发生周期倍化分岔,进而通向混沌运动状态。音叉分岔和周期倍化分岔都是平面自治系统的常见分岔类型,其性质有所不同,可以通过
16、Floquent 乘子19来对其性质进行验证。图 2 各点的 Floqunet 乘子如表 1 所示。表 1 Floquent 乘子 不动点Floquent 乘子 乘子的模 性质 A1 0.88787503561091000.9453209162021750.9985613071542420.999999995125239单位圆内 单位圆上 单位圆上 单位圆上 音叉分岔临界点B1-1.00921406713136-0.1785739781424130.9999776647968440.490654253665689单位圆上 单位圆内 单位圆上 单位圆内 周期倍化临界点D1-0.996704830
17、1308360.4346355907716360.5550329683146181.00000001936148单位圆上 单位圆内 单位圆内 单位圆上 周期倍化临界点 由 Floquent 乘子的理论可知,在四维系统中,发生音叉分岔的点的乘子应该为两个 1,其中一个 1 是自治系统本身具有的特征乘子,其余的乘子模长应不大于 1,与表中 A1的乘子50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 v/(ms-1)121110987654y1/(10-3 m)A1D1B1C1r0 ZX Y v b b b1 b1 K1x 2 K1y 2 4 机械 2023 年第 8 期 第 50
18、 卷 对应较好,进一步验证 A1点的音叉分岔性质。发生周期倍化分岔的点的乘子应该为一个 1,一个-1,同样的,1 是自治系统本身具有的特征乘子,其余的乘子模长也不大于 1,与表中 B1、D1的乘子对应较好,进一步验证 B1点和 D1点的周期倍化分岔性质。对于图 2 的 C1点,采用 Lyapunov 指数20进行验证。Lyapunov 指数是表征状态空间中相邻轨道的平均指数发散率或收敛率,是数值识别混沌运动的有力工具。计算出 C1点的Lyapunov 指数如图 3 所示。可以看出,C1点的最大 Lyapunov 指数大于 0,对应于此时分岔图中系统的混沌运动。由图 2 可以看出,系统此时具有多
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