分数阶时滞惯性BAM神经网络全局Mittag-Leffler同步稳定.pdf
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1、高校应用数学学报2023,38(2):190-202分数阶时滞惯性BAM神经网络全局Mittag-Lefler同步稳定章月红,李志英*,蒋望东(绍兴文理学院元培学院公共基础教育分院,浙江绍兴31 2 0 0 0)摘要:该文研究一类分数阶时滞惯性BAM神经网络全局Mittag-Leffler同步稳定问题.引入变量替换,将含有二个不同阶分数阶导数的分数阶惯性时滞BAM神经网络模型简化为只含一个同阶分数阶导数的分数阶神经网络模型,利用Riemann-Liouville分数阶微积分性质,给出系统稳定性判定的两个不同的充分条件,通过两个数值模拟例子验证所得理论结果的正确性,同时说明对于给定的两个判定条件
2、各有所长,可以根据系统参数设定情况,合理选取适合的判定定理.关键词:分数阶;惯性BAM神经网络;变量替换;全局Mittag-Lefler同步稳定中图分类号:O175;TP183S1 引 言文献标识码:A近几十年来,许多学者指出了分数阶微积分非常适合描述各种材料和过程的记忆和遗传性质1-3目前,越来越多的学者致力于在许多系统中建立分数阶微分方程模型如4-8,分数阶神经网络的研究已经引起了人们的重视,并取得了一些重要的研究成果,如分数阶神经网络有限时间同步,全局渐近稳定,有限时间稳定,Mittag-Leffler稳定9-2 1,其研究的模型只含同阶分数阶导数的分数阶微分方程。1 9 9 0 年,P
3、ecora和Carroll首次提出“主从系统”(即“驱动与响应系统”)的同步概念2 2,对于一个给定的神经网络(驱动系统或主系统),如果存在一个结构和参数与之相同的受控网络(响应系统或从系统),将这两个系统作差,得到误差动力学系统是稳定的,那么就可以说明主系统和从系统是同步的就同步问题的内涵而言,探讨同步问题实质上也是研究“主从系统”稳定性问题,控制使系统达到同步,进而确保网络有良好性能.对于神经网络同步问题的研究也有不少的成果如文献8,1 4,2 3-2 6.整数阶惯性神经网络其研究模型是二阶微分方程,众所周知,在神经网络中增加惯性项会引起不稳定,自发振荡和混沌等复杂行为.近年来,对整数阶惯
4、收稿日期:2 0 2 2-0 1-2 7*通讯作者,Email:1 40 1 50 9 6 7 4 q q.c o m基金项目:浙江省教育厅一般科研项目(Y202145903);教育部产学合作协同育人项目(2 2 0 6 0 32 8 41 43545;202102034006;2 0 2 1 0 2 2 8 30 47);绍兴文理学院校级科研项目(2 0 2 0 LG1009);绍兴文理学院元培学院院级科研项目(KY2020C01;KY2021C04)文章编号:1 0 0 0-442 4(2 0 2 3)0 2-0 1 9 0-1 3章月红等:分数阶时滞惯性BAM神经网络全局Mittag-L
5、efler同步稳定191性神经网络动力性质也得到了广泛的研究,得到了一些有趣的结果如2 3-2 5,2 7-2 9 所示.分数阶惯性神经网络是由两个不同阶的分数阶导数描述的分数阶微分方程模型,讨论它们的动力学行为就更加复杂和困难.因此,研究分数阶惯性神经网络的动力学行为是有意义和价值的从所查阅到的资料反映,对分数阶惯性神经网络的研究才刚刚起步,除2 6,30-34外尚未查到其它研究成果.本文研究一类分数阶时滞惯性BAM神经网络的全局Mittag-Lefler同步稳定,这是一个新的研究课题.主要特点:1)引入惯性项,首次提出分数阶时滞惯性BAM神经网络模型;2)选取适当变量替换,将含有二个不同阶
6、分数阶导数的分数阶惯性时滞BAM神经网络模型转化为只含一个同阶分数阶导数的分数阶神经网络模型;3)给出了两个判定其系统全局Mittag-Lefler同步稳定充分条件,可根据系统设定参数情况选取适合的判定充分条件,使其两个判定充分条件相互补充完善;4)通过两个数值模拟例子验证所得理论结果的正确性,这对分数阶时滞惯性BAM神经网络的理论研究和实际应用提供新的理论参考依据.考虑一类分数阶时滞惯性BAM神经网络Daai(t)=-cDgai(t)-aiti(t)+2 aij fi(u;(t)+bif(u;(t-Tia)+I(t),D2ayj(t)=-d,Dey;(t)-jy;(t)+gjijf:(ar;
7、(t)+hjif(a;(t-oj)+J(t),其中t0,i,j=1,2,n,D是阶Riemann-Liouville分数阶导数,0 0,d j 0,i0,;0,ai,b i,9 j i,h j i 分别表示神经元之间的连接权重,fi()表示第i个神经元的激励函数,I;(t)和J;(t)表示第i个和第j个神经元在t时刻的外部输入,Ti;和oji表示t时刻第i个神经元和第个神经元的信号传输时滞,且满足0 TiT,00 是任意正实数,对于函数f(t)的q 阶分数阶积分(Riemann-Liourile积分)定义为其中 I()是r函数,即r(r)=J+tr-1e-tdt,r0.定义2.2 35】设q是
8、任意正实数,是大于的最小正整数,即1 0,z 是复数,,I()是Gamma函数.定义2.4对于系统(5)满足初始条件(6)的解ei(t)=(e11(t),(e12(t),,(e 1 n(t)T,e 2(t)=(e21(t),(e22(t),(e2n(t)T,定义le1(t)l+le2(t)l=(le1i(t)I)+(le2;(t)I),若存在正常数入1 0 和入2 0,使得Ile1(t)I/e2(t)Ml/g)-(),/()-)IEa(-it)/2 0,成立,那么称系统(1),(3)在控制输入P;(t),Q,(t)作用下是全局Mittag-Lefler同步稳定.其中=_sup l/(s)-()
9、l/)-=-8 0)上连续可微,0 q1,n-1n,n+,那么有(1)DP Dl(t)=DP+a(t).引理2.2 2 6)如果r(t)可导,且r(t)连续,则D星r2(t)r(t)Dr(t),00和d20,使得u(t)-diDtu(t)+d2,t0,则u(t)d2Eg(-dit),其中0 q1,Ea()表示一个参(5)=1()-0(s),re1()=02(s)2(s),-8 s 0.)-w0(s),Dre2;(s)=282预备知识1Dtf(t)T()(t-r)q-1 f(r)dr,f(s)=1).(2)DtDl(t)=(t).(6)ds.3=1-8 0,使得Ifi(u)-fi(u)|ljlu
10、-vl,u,u E R,j=1,2,.,n.引入变量替换a(t)=Dga;(t)+ia;(t),up:(t)=Dep;(t)+ip;(t),%0,i0,i,j=1,2,.,n.Uy,(t)=Dey;(t)+jy;(t),Vag;(t)=Deq;(t)+jd;(t).由引理2.1,(1)和(3)可变换为Deai(t)=-ic;(t)+ua;(t),Deua;(t)=-(ai+%-ici)ri(t)-(ci-)ua(t)+aijfi(y;(t)+bisf;(yj(t-Tis)+I(t),(7)j=1Dey;(t)=-jy;(t)+Uy,(t),Duy;(t)=-(;+-jd;)yi(t)-(dj-
11、i)uy;(t)+n gifi(ci(t)+hjifi(ri(t-0ji)+J(t).=1Dpi;(t)=-ipi;(t)+up:(t),Deup:(t)=-(i+%-ici)pi(t)-(ci-i)up;(t)+aijf;(q;(t)+bijfi;(q;(t-Tis)+I;(t)+P,(t),nj=1=1j=1Deq;(t)=-iq;(t)+Va,(t),Dea;(t)=-(;+-idi);(t)-(dj-i)va,(t)+n2 gjifi(p;(t)+hjifi(p;(t-oji)+J;(t)+Q,(t).i-1定义e1i(t)=pi;(t)-a;(t),e2;(t)=q;(t)-yj(t
12、),e3i(t)=up:(t)-ua;(t),e4j(t)=Va;(t)-Uy;(t),i,j=1,2,n.那么从(7)和(8)可以得到误差系统Dee1i(t)=-%iei(t)+e3i(t),Dee3i(t)=-(ai+%2-ici)e1i(t)-(c;-%)e3i(t),+ais(fiq;(t)-fi(y;(t)+bi;(fi(i(t-Ti)-fi(yj(t-Ti)+P;(t),j=1Dee2;(t)=-je2;(t)+e4;(t),De4j(t)=-(+g2-jd;)e2;(t)-(dj-i)e4;(t)+Z gji(fip;(t)-fi(a;(t)+hji(fi(p;(t-0ji)-f
13、i(ai(t-oji)+Q;(t).i=1(9)83主要结果j=1(8)=1i=1本节研究分数阶时滞惯性BAM神经网络的全局Mittag-Lefler同步稳定性,并给出其判定的充分条件.194高校应用数学学报第38 卷第2 期定理3.1 对于系统(1),假设(H)成立,设控制输入P;(t)=(i+%2-ci)(p;(t)-;(t),Q;(t)=(;+?-%id;)(;(t)-yi(t),i,j=1,2,n.如果m=minmin(%-(lgji+hjil)li,Ci-i-1),min,(-(lail+bil)lj,dj-1)0,1in那么系统(1)和响应系统(3)是全局Mittag-Lefler
14、同步稳定的.证对于任意连续函数g(a),由定义2.2 知Dlg(t)/sgn(g(t)Dg(t),由定理3.1 条件P;(t),Q,(t)的定义,从(9)可得Dele1i(t)-ile1i(t)I+e3;(t),Dle3i(t)-(c;-a)le3i(t)I+aijlijle2;(t)+bijli;le2;(t-Tis),D|e2;(t)|-ile2;(t)I+e4;(t),Dgle4;(t)-(d;-%)e4;(t)+1gilale1i(t)+/h2由引理2.1 及(1 0)式,可推得le1i(t)-%iDt|e1i(t)|+D-|e3i(t)l,le3;(t)-(c;-)D-le3i(t)
15、I+laisl,;Dte2;(t)+2 bsll;D|e2;(t-Tis),inj=1j=1i=1j=1n=1Thjilile1i(t-0ji)l.n(10)1e2;(t)|-;Dt|e2;(t)I+Dte4;(t),le4j(t)|-(dj-)Dtle4;(t)+2 lgjill;Dtle1i(t)I+2 hjill;Dtle1i(t-0ji)l.当t E 0,Tij时,有t-Tij 0,则D/2;(-Ti)=(a)101at-TijT(t-u-Tij)-1|e2;(u)duTi*(1)at-TiiT()-Tii其中山*(1)sup-TS0Dtle2;(t-Ti):1at-TiiT()(t-
16、u-Tis)-1/e2;(u)duTii1T()*(1)T(+1)从上述二式的结果可得j=1-1i=1(t-s)a-1|le2;(s-Tiji)ds3(1)q.1y(s)l.当t E Tij,+oo)时,有t-Tiji 0,则T()(t-s)-1 le2;(s-Ti)ldsTij(t-u)a-1le2;(u)duiDra/e2;(t-Tis)r(+1)(11)(1)T(+1)1(t-u-Tij)-1|e2;(u)du*(1)*+Dtale2;(t)I.r(+1)36*(1)+Dt|e2;(t)l.(12)章月红等:分数阶时滞惯性BAM神经网络全局Mittag-Lefler同步稳定195其中/*
17、(1)同理可推得其中:()supas0由(1 1)-(1 3)式可得le1i(t)+e3i(t)+e2;(t)I+e4;(t)11nZ-i-(lgjil+hjil)aDe1i(t)-(c;-1)Dt|e3i(t)=1+(-i-(laijl+bi;1)1;Dae2;(t)-(d;-1)D-le4;(t)j=1nni=1 j=1n-m1(ZDa(le1i;(t)I+e3i(t)1)+D-a(le2;(t)I+e4;(t)i=1supTS0.Drale1:(t-0ji)r(+1)nj=1nj=1n=1*(1)*(1)Lir(+1)j=1g%+Dtle1i(t),*(1)(13)(14)其中Ml(1)
18、-l一(1)ynnmin+,min(Thjilli)1jnr(+1)=1ni=min(,min(-(lgil+(hjil)li,Ci-1),1inn10,1jn那么系统(1)和响应系统(3)是全局Mittag-Lefler同步稳定的.j=11i=1n3=1证由引理2.2,从(9)可得Deei;(t)2e1i(t)De1i(t)-2%ei(t)+2le1i(t)le3:(t)-2iei;(t)+ei(t)+e3;(t),Dee3;(t)2e3;(t)De3:(t)-2(c;-%)e3;(t)+2 lailile3i(t)le2;(t)+j=12 bil;le3(t)le2;(t-Tis)j=1-
19、2(c;-%)es;(t)+laisll;(es;(t)+e2;(t)+Ibisll;(es:(t)+e2;(t-Tis),De2;(t)2e2;(t)Dge2;(t)-2%ie2;(t)+2le2;(t)les;(t)/-2ie2,(t)+e2;(t)+ex;(t),Dge;(t)2e4j(t)Dee4j(t)-2(dj-i)e3;(t)+2 lgillale4;(t)le1i(t)+12|hjillile4;(t)le1i(t-Qi5)n=1-2(d;-%)e;(t)+lgil;(es;(t)+ei;(t)+/hajl2;(e;(t)+ei;(t-0i).由引理2.1,从(1 5)可得ne
20、i;(t)+es;(t)+e2,;(t)+ei;(t)=1nZ(2%+1+Zlg=1j=1nn+(2%i+1+aijli)Dtae2,(t)+(1-2d;+2i+(lgji+hja)la)Dae;(t)j=1=1nn+221buly D,ae,(t-Ti)+22hillD,aei(t-0is).i=1 j=1类似于(1 2)的结果推理,可得由(1 6)-(1 8)可得nei;(t)+e3;(t)+e2;(t)+ei;(t)=1i=1nj=1nlgjil)Dtei;(t)+(1-2ci+2%i+(lanj+bis)lj)Dae;(t)i=1 j=1(山(1)2Dtae2;(t-Ti)r(+1)D
21、taeli;(t-0ji)0+Draei;(t).T(+1)nj=1=1nn(15)nj=1n1+Dte2,;(t).(16)(17)(18)章月红等:分数阶时滞惯性BAM神经网络全局Mittag-Lefler同步稳定197n(-2+1+(lgial+hgal)la Draei(t)+i=11-2c;+2i+(laii+bij)l;Dte3;(t)n+(-2%;+1+(lai+bi l)l)De2;(t)+j=11-2d;+2+(lgj+|hji)2 De;(t)n+221;(+1i=1 j=1n-m2Z(ei;(t)+e;(t)+(e2;(t)+e;(t)+no(lle1)-(),l/(1)
22、-),(19)i=1其中m2=min/,min,(2%-1-Z(lgji+hil)l,2ci-2i-1-(lail+bijl)lj),10,1jnnj=1nj=1ni=1ni=1j=1=1nj=1=15=1由引理2.3,从(1 9)可得nei;(t)+e;(t)+e2,(t)+ex;(t)n(ll1)-)l1利用不等式从(2 0)可推得Ile1(t)le2()l=Z(lei(t)+Z(le2;(t)nei;()+n;(t)显然m(.0)=0.0(le 1./m)0 由定义2.4,知,系统(1)和响应系统(3)是全局Mittag-Lefler同步稳定的.附注1 定理3.1 和定理3.2 分别给出
23、了系统稳定性判定的两个不同的充分条件,在不同的参数设定下,可以合理选择判定定理。例如:定理3.1 中条件0 (lai|+bijl)lj和定理3.2 中的条件0(lai|+|bil)l;0 和定理3.2 中的条件2 c-2-1-(lai|+bi;1);0.若选取=,(lai|+ba;1);=0.1,c;=1.15.那么,系统的参数满足定理3.2 的条件但不满足定理3.1 的条件,可以选择判定定理3.2.由此可见,定理3.1 和定理3.2 两者互为补充,可以判定范围更广的系统的稳定性.?j=1a1+a2+.+nn1,/b(1)-(1)E(n2t)(20)a+a2+.+annnj=11=1j=119
24、8高校应用数学学报第38 卷第2 期84数值例子本节通过两个数值模拟例子验证所得理论结果的正确性,同时说明对于定理3.1 和定理3.2 两个判定的充分条件各有所长,可以根据系统参数设定情况选取适合的判定定理,考虑下列分数阶时滞惯性BAM神经网络(21)2D2aa(t)=-c;Dgc:(t)-air;(t)+2aif;(y;(t)+2 bif;(y;(t-Tis)+I(t),D2ay;(t)=-d;Dy;(t)-jy;(t)+2 gjif;(a;(t)+2 hjifi(a;(t-jn)+J(t),1其中t0,i,j=1,2.对应的响应系统为D2ad;(t)=-d,Deg;(t)-;d;(t)+2
25、gj1其中P;(t),Q,(t),j=1,2.为控制输入.例4.1 选取=0.8,f;(aa)=(lci+1)-ci-1),Tij=oij=1,i,j=1,2.Ii(t)=0.02 sin(t),I2(t)=0.05 sin(t),Ji(t)=0.02 cos(t),J2(t)=0.05 cos(t),1=5,2=4,1=4,2=3,Ci=5,C2=4.5,dl=3.2,d2=3.5,1 1 =1,a12=0.5,21=0.5,a 2 2 =0.8,b 1 1 =0.1,b 1 2 =0.5,b 2 1 =0.4,b 2 2 =0.2,9 1 1 =1,9 1 2 =0.5,9 2 1 =0.
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