L−拓扑空间上的L−超算子.pdf
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1、文章编号:1009 444X(2023)01 0083 05L拓扑空间上的L超算子苏淑华1,李琪2(1.上海工程技术大学 数理与统计学院,上海 201620;2.东华理工大学 抚州师范学院,抚州 344000)摘要:基于 L拓扑空间和 L超群胚,定义 L超运算的(强)L伪连续性,并由此构造 L拓扑L超群胚.结果表明,经典的拓扑超群胚是 L拓扑 L超群胚的特例.关键词:L超算子;L超群胚;(强)L伪连续性;L拓扑空间中图分类号:O159 文献标志码:ALhyperoperators on Ltopological spacesSU Shuhua1,LI Qi2(1.School of Mathe
2、matics,Physics and Statistics,Shanghai University of Engineering Science,Shanghai 201620,China;2.Fuzhou Teachers College,East China University of Technology,Fuzhou 344000,China)Abstract:Based on Ltopological spaces and Lhypergroupoids,the (strong)Lpseudocontinuity ofLhyperoperator was defined,and th
3、e Ltopological Lhypergroupoids were constructed.The result showsthat the classical topological hyergroupoids are special cases of Ltopological Lhypergroupoids.Key words:Lhyperoperator;Lhypergroupoid;(strong)Lpseudocontinuity;Ltopological space 自 Rosenfeld1在群论中引入模糊集以来,许多研究者致力于将抽象代数推广到模糊集2的框架上.模糊超结构是该
4、领域中一个有趣的研究课题.模糊超算子是赋予非空集合 S 的每一对元素一个模糊子集的映射.该超算子由 Corsini 等3引入,由 Kehagias 等4 5发展.随后,Sen 等6引入模糊超半群,在此基础上,Chowdhury 等7 9引入并研究了模糊超环、模糊转置超群和模糊超模.由于拓扑结构和代数结构在模糊集中处于关键地位,许多数学学者研究了模糊情形下两种结构之间的联系10 17.通过 Chang10对模糊拓扑空间的定义,Foster11定义了模糊拓扑群.为确定一个经典拓扑群是一个模糊拓扑群的特例,Ma 等12通 过 用 模 糊 点 替 换 分 明 点 重 新 定 义 模 糊 拓 扑群.特别
5、是受到 Ameri13和 HoKovMayerov15的启发,Cristea 等14引入模糊拓扑超群胚及其上的模糊(伪)连续超算子,并关注模糊拓扑空间上分明超算子的性质,而不是模糊超算子.因此,本研究试图研究 L拓扑空间上的 L超算子,希望能够延续这个问题.本研究中对术语“模糊”作如下说明:在模糊集理论中,“模糊”通常表示该理论是建立在单位区间0,1 上;本研究是以完全分配格L 为真值结构,因此用“L”代替“模糊”.例如,用“L超算子”和“L拓扑空间”分别表示“模糊超算子”和“模糊拓扑空间”.1 预备知识首先介绍本研究需要的一些基本概念.完全分 收稿日期:2021 12 02基金项目:国家自然
6、科学基金项目资助(11861006)作者简介:苏淑华(1975 ),女,教授,博士,研究方向为格上拓扑及其应用.E-mail: 第 37 卷 第 1 期上 海 工 程 技 术 大 学 学 报Vol.37 No.12023 年 3 月JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENCEMar.2023(L,0,1)配格是满足下列等式的完备格,定义为jJkK(j)aj,k=fMjJaj,f(j)aj,k:j J,k K(j)LMJf(j)K(j)a,b L,a b=c L|ac b其中为定义在 上,值的 选 择 函 数 集.SA:S LSLLS
7、SLA LS,A 1且A 0设 为 非 空 集,映 射为 的子 集,为 由的 全 体子 集 构 成 的 集 合.显 然,其中0,1:S L,0(x)=0,1(x)=1,x S.A LSxSA(x)=1LSSLA,B LSABsub(A,B)=xSA(x)B(x)而且,称为非空的,如果.为由 的全体非空 子集构成的集合.,在 中的包含度定义为.S:S S LSL(S,)LABSLx S设 为非空集,称为 超算子,称为 超群胚.上述定义中,如果和是 的两个非空 子集,定义(AB)(x)=y,zSA(y)B(z)(yz)(x)xA=xAAx=AxL(S,)Lx,y,z S,x(yz)=(xy)zL(
8、S,)Lx S,x1=1=1xL(S,)LLL和.称 超群胚为超 半 群,若.称超群胚为 拟超群,若.若 超群胚既是 超半群也是 拟超群,则称其为 超群.T LSSL定定义义 110 称是 上的 拓扑,如果满足下列条件:(i)0 T,1 T;(ii)A1,A2 T A1A2 T;(iii)i I,Ai T iIAi T,(S,T)L此时,称为 拓扑空间.(S,T)(Y,U)Lf:S YLLA U,f1(A)Tf1(A)(x)=A(f(x),x S.定定义义 210 设,为 拓扑空间,称映射为 连续,如果子集,其中L定定理理 110 连续映射的复合仍连续.L(S,T)TBTAB定定义义 317
9、拓扑空间的基是的子集,且的每个元素都是中某些元素的并集.SLBBSLT定定理理 217 如果由 的一些 子集构成的集族满足下列条件,则为 的 拓扑的基:(B1)A1,A2 B,A1A2 B;(B2)ABA=1.BTL(S,T)A1A2Ak(Ai B,i=1,2,k)TSLB1SL此外,称为的 拓扑空间的子基.如果由所有有限交 构成的集族是的基,由 的 子集构成的任意集族(其并集为)是 上唯一 拓扑的子基.L(S1,T1),(S2,T2)(S1S2,T1T2)LT1T2L对于两个 拓扑空间,它们的积空间上的 拓扑是由如下结论中的基确定的,而且该结论可以推广到拓扑空间族.(S1,T1),(S2,T
10、2)LS=S1S2LA1A2LA1T1,A2 T2(A1A2)(x1,x2)=A1(x1)A2(x2)定定理理 318 设是 拓扑空间,则积 空 间上 的 积拓 扑 有 一 个 由 形 如的 子集构成的集合作为子基,其中,且.(S1,T1),(S2,T2)LS=S1S2,T=T1T2:(S,T)(S,T)(S1 S1,T1 T1)(S2 S2,T2 T2)(x1,x2),(y1,y2)=(x1,y1),(x2,y2)L定定 理理 419设是拓 扑 空 间,则映射,是 连续.(Si,Ti)iI,(Yi,Ui)iIL(S,T),(Y,U)Li I,fi:(Si,Ti)(Yi,Ui)L(S,T)(Y
11、,U)f=fi:(xi)(f(xi)L定定理理 511 设为两个 拓扑空间族,为它们各自的积 拓扑空间.若是 连续映射,则从到的乘积映射是 连续的.2 L拓扑L超群胚受拓扑超群胚20定义的启发,引入以下概念.(S,)L(S,T)LL定定义义 4 设为 超群胚,为 拓扑空间,则称 超算子 为LO T,S SLOLLO(x,y)=sub(xy,O),(x,y)S S;(i)伪连续或简称为 lp连续,如果的 子集为积 拓扑空间的 开子集,其中LO T,S SLOLLO(x,y)=sS(xy)(s)O(s),(x,y)S S.(ii)强 伪连续或简称为 slp连续,如果的 子集为积 拓扑空间的 开子集
12、,其中(S,)SL=0,1:S S LS注注 1 显然,文献 15 中定义的(强)伪连续的超算子是定义 4 的特例.具体地说,令为超群胚,为 的拓扑,则可定义映射为x,y S,xy=xy,T=O:O SLTSLL易证明 是 上的 超算子,是 的 拓扑.此外,当 是(强)伪连续时,可以检验 是(强)伪连续的.LS SLSSLSL因为 超算子 是从到的映射,所以可以通过给定 和上的 拓扑来讨论 的连续性,具体如下.(S,)L(S,T)LTLSLLLT:S S LSLT T定定义义 5 设为 超群胚,为 拓扑空间,为上的 拓扑.称 超算子 为 连续,如 果 映 射关 于拓 扑与 84 上 海 工 程
13、 技 术 大 学 学 报第 37 卷TL是 连续的.LT注注 2(i)类 似 注 1,文 献 15 中 定 义 的 每 个连续的超算子是 连续的特例.(S,)L=0,1T,USP(S)LS=A:A P(S),U=U:U ULSLU(A)=U(A),A P(S)(ii)令为超群胚,,分别为和的 拓 扑.那 么是的一个 拓扑,其中.而且有U U,(x,y)S S,1(U)(x,y)=U(xy)=U(xy)=U(xy)=1(U)(x,y)UL:(x,y)S S 7 xy=xyLUU从而可得,是文献 14 中定义的模糊连续超算子当且仅当 超算子是连续的.这说明模糊连续超算子是定义 5 的特例.(S,)
14、L(S,T)L例例 1 设为 超群胚,为 拓扑空间.T=0,1LSLLLTA T,A=0A=1A=11(A)(x,y)=A(xy)=1,(x,y)S S1(A)=11 T T.A=01(A)=00 T T.(i)令为上 的 离 散拓 扑,则超算子 是 连续的.事实上,或.当时,从 而,类 似 可 得,若,则TLSLT=LST T=LSSA T,o1(A)T TLT(ii)令为上的 拓扑.若,则.从而,由此可得,是连续的.(S,)L(S,T)LTLSL(S,T)LLLL定定义义 6 设为 超群胚,为 拓扑空间,为上的 拓扑.称为(强)伪拓扑 超群胚,如果 超算子 是(强)伪连续.(S,T)LU=
15、SA LLS:A TLSLTUTULSTLSASA(B)=sub(B,A),B LS引引 理理 1 设为拓 扑 空 间,则 集 族是上的一个 拓扑的基,称该拓扑为的一个由诱导的 上拓扑.其中,定义为.SA1,SA2 U,A1,A2 T,则A1A2 T.B LS,(SA1SA2)(B)=SA1(B)SA2(B)=sub(B,A1)sub(B,A2)sub(B,A1A2)=SA1A2(B)1 T,S1(B)=1,SAUSA(B)=1,证明:证明:令从 而,=.这样,基公理(B1)就实现了.进一步,由于所 以 这 意 味 着 基 公 理(B2)也满足.(S,)L(S,T)L(S,T)LLLLTU定定
16、理理 6 设为 超群胚,为 拓扑空间,则是伪 拓 扑超 群 胚 当 且 仅 当超算子 是 连续的.L:S S LS(x,y)7 xy.LA T,1(SA)(x,y)=SA(xy)=sub(xy,A)=A(x,y).LTU证明:证明:显然,超算子 是映射,对任意 开子集 因 此,是A T,A连续当且仅当是开的.换言之,为 lp连续.通过注 1、注 2 和定理 6 可以检验得出文献15 中定义的伪拓扑超群胚和模糊伪拓扑超群胚都是定义 6 的特例.S(S,)L例例 2 令 为有限非空集,为 超群胚,其中 定义为xx=x,xy=x,y,x,y STSLTULSL(S,T)LLLTUSATUL令为 的拓
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