2022年印度理工学院联合考试%28JEE%29新题赏析.pdf
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1、442023年第7 期数学教学2022年印度理工学院联合考试(JEE)新题赏析钟劲松(湖南教育出版社,湖南长沙410007)1前言印度理工学院联合考试(IITsJEE,即Indian Institutes of Technology Joint EntranceExamination)是印度国内最难的考试之一,是以印度理工学院为首的2 3所理工学院自主组织的入学考试.该考试每年举行一次,,2 0 2 2 年考试于8 月2 6 日举行,考试科目为数学、物理和化学,考试时长为6 个小时,总分36 0 分.上、下午考试时间各为3个小时,上午考数学、物理和化学的试卷I(p a p e r 1),下午考
2、试卷(p a p e r 2).本文选取了数学卷I、中的部分较为新颖、有趣的题目,并提供解答过程.所选取的大部分试题不同于我国现行高中课程标准规定的知识内容,侧重于我国现行教材中没有的知识点,如求极限、定积分、常微分方程、矩阵与行列式等知识,仅供读者参考。2新题赏析2.1函数的极限试题1设为正实数,函数f:RR和(T)g:(,+)R 分别定义为f(x)=sin(122ln(/x-/)和g(x)=则limfLg(x)的值ln(e/为解析:令/x-/=h,xe(,+),则x*时,有h0t,2lnhlimg(x)=lim-0*In(e*.e/a-x-+2lnh=lim-0*n e/+In(eh-1)
3、2(eh-1)=limheh-0+2e=lime+h.=2,h-0+T则有 limfLg(x)=flimg(x)=f(2)=sin612点评:本题主要考查了函数极限的运算和连续函数的性质,即若函数g在点x。处连续,函数f在点uo处连续,且uo=g(x o),则复合函数fg在点x。处连续.注意求复合函数Lg(x)的极限时,函数符号f与极限符号lim交换的条件.在运算过程中连续两次运用了洛必达法则.试题2已知-(1-x)+1+(1-x)-1sinx=limx02xsinx求6 的值.解析:因为当x趋于0 时,即x0时,有323+x3+0(x3),xsinxe11(1-x)3(3),31(1-x2)
4、22因此(1-)+321+x=lim3X5所以6=5.点评:本题考查极限的运算,当x趋于0时,分母的值趋于x,所以,分子中比x3高阶无穷小的项均可以略去,最后得出结果为5.2.2定积分(lnx)试题3关于方程dx=xa-(lnx)j 2图10.50-0.52DC0.5y-g()2.53A足方程的a:2023年第7 期数学教学1,(-8,0)U(1,+),下列叙述正确的有).(B)存在满足方程的整数;(C)存在满足方程的无理数;(D)满足方程的多于一个。解析:令lnx=t,因为E(l,e),则tE(0,1),原方程可变形为dt=1,再3令y=t,则一J。(a-y)2(a-y)dy21三3a011
5、3因此有变形为3a-3a-2=0,a一1a23/33解得=,因此选(C)(D).6点评:本题考查了定积分的基本运算,关键是先要对积分变量作适当的代换,再用微积分基本定理,即牛顿一莱布尼兹公式求出具体的值,发现为一对共轭的无理数,故选(C)(D).试题4求不超过/.log2(x3+1)dx+(2*1)d x 的最大整数的值解析:令(2-1)3=t.59因为xe1,lo g 2 9,所以有(2*1)3dx=tdlog2(t3+1),t 1,2.于是log29log2(x3+1)dx+(2*-1)dx221og2(x3+1)dx+/tdlog2(t3+1)12=xlog2(x3+1)=2 log,9
6、-15.339,所以,所求值为5.点评:本题主要考查分部积分公式的应用,即udv=uw-Judu,u(x)、(x)均可导,关键是通过适当恒等变形后将所求表达式转化为可运用分部积分公式的计算形式.5试题5已知f(x)=x2+g()=1241334设为区域30,43y)ER R:lxl,0yminif(x),g(x)/的面积,则9的值为解析:如图1,在同一平面直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图像,则所求的面积为曲边四边形ABDC的面积,即线段AC、CD、D B和曲边AB所构成区域的面积.因为等腰三角形CDE的面积为SaCDE133X2XX2:242利用定积分求出EAB部分的面积,其面积85
7、5为22(2-(点B的2dx=3126横坐标可以通过求函数f(),g(x)的图像在第一象限的交点得到,通过解方程可以得出点35B的横坐标为),因此9=9=6.226点评:本题关键是要理解题意,画出函7-462023年第7 期数学教学数f(),g(x)的函数图像,理解(,y)所表示区域的形状,通过定积分得出该形状所表示区域的面积.16+5n-3n试题6定义f(n)=n+4n+3n232+n-3n48-3n-3n2+8n+3n12n+3n25n-7n,n 为正整数,则limf(n)=().7n437(A)3+=ln7;(B)4-343473(C)4-1n(D)3+1n 7.一334解析:因为9n-
8、3n+4k(4-n)nf(n)=n+3n+4kn9n+16k4n33n22+4knn3n+4k3n1=4-k=1kn3+4 n当几*时,231趋于=13+4n.1337dx-ln因此limf(n)=4-。3+4x43-+8037ln43故选(B).点评:本题是一道求极限题,要善于观察代数式的特征,再进行合理拆分,最后把求和的极限换成定积分来求,本题考查了观察能力和将求和的极限转化为定积分来求解的能力.2.3常微分方程试题7微分方程xdy-(y?-4y))d x=0,0,y(1)=2,且曲线y=y(x)的斜率恒不为零,求10 y(/2)的值.dydx解析:将方程变形为,x0,2-4y当y-4y0
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