一类二维有界域上稳态热传导方程侧边值问题的计算方法_刘唐伟.pdf
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1、第 卷 第 期 年 月东 华 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)().收稿日期:基金项目:国家自然科学基金项目(,)作者简介:刘唐伟(),男,博士,教授,主要从事应用数学及地热学研究。:一类二维有界域上稳态热传导方程侧边值问题的计算方法刘唐伟,钟小雨,欧阳旺林,唐阿敏(东华理工大学 理学院,江西 南昌)摘 要:为了由二维区域部分边界地温观测数据推算区域内部地温场,建立一类具有非齐次边界条件稳态热传导方程侧边值问题的数学模型并进行数值求解。该数学模型是一类典型的不适定问题。利用齐次化原理,将问题中的非齐次边界条件齐次化。通过分离变量法将非齐次方程转化成第一类 积分方程。利用正则化方法求
2、解不适定积分方程,得到未知边界条件,进一步求得泊松方程侧边值问题的数值解。依据所提出的数值方法,设计了三个数值算例,可由矩形域三条边界上的温度数据及其中一条边上的地温梯度数据,计算矩形区域上的地温场。本成果对地热资源勘探开发和岩石圈热结构研究中地温场的数值模拟具有参考意义。关键词:地温场;热传导方程;侧边值问题;积分方程;正则化方法中图分类号:;文献标志码:文章编号:()刘唐伟,钟小雨,欧阳旺林,等,一类二维有界域上稳态热传导方程侧边值问题的计算方法 东华理工大学学报(自然科学版),():,(),():在地温场的研究中,经常遇到如何由低维观测数据推算高维温度场的问题。例如,已知两个观测点的垂向
3、温度分布数据及两观测点间的地表温度和地温梯度数据,需要推算相应区域的二维地温场的温度分布。在一定条件下,该问题的数学模型为二维泊松方程侧边值模型。假设研究区为矩形域,具有分段光滑边界,(,),具体示意图见图。和 表示垂向边界,表示地表边界,控制方程及定解条件如式(),其中(,)、()、()、()、()均为已知函数,边界条件(,)()未知,需求解未知温度函数(,),此类反问题可看作二维矩形域上第一类边界条件泊松方程侧边值问题。(,)(,),(,)(,)(),(,)(),(,)(),(,)(),|()式中,。广义上来看,二维泊松方程侧边值问题是指在二维区域部分边界数据已知,而另外部分边界数据未知的
4、问题,它包含二维有界域上的问题和无界域上的问题。泊松方程侧边值问题在无损探伤(,;,)、医学成像(,)、地质学(徐有缘等,)等领域都有涉及,是典型的不适定问题,某些边界上观测数据微小的扰动将会引起解发生巨大的改变。前人提出了各种方法去解决各种柯西问题的不适定性。如:正则化方法利用 小波求得半平面中的 方程柯西问题的正则化解(,);利用拟可逆方法构造控制方程图 矩形域示意图 及边界条件,采用卡尔曼估计推导误差估计,再运用有限差分方法得到 方程侧边值问题的数值解(,)。对于二维和三维的 方程柯西问题,矩方法利用格林公式将 方程柯西问题转化为矩问题,通过求解矩问题来获得区域边界上的值,进而获得数值解
5、(王泽文等,),该方法主要适用于方程源项为多项式函数的问题。基本解方法利用边界控制技术进行边界处理后,再结合基本解,用正则化方法获得数值结果(,;曹瑞华,)。变分正则化方法是利用格林函数求解 方程柯西问题,根据“曲线”准则选择最优参数,得到问题结果(,)。正则化方法通过构造正则解解决了在无限条状区域的带有非齐次 条件的 方程柯西问题,给出了近似解和精确解的误差估计,由偏差原理得到近似解的后验误差估计(曹笑笑等,)。人工神经网络方法利用多层网络作为近似,提出了一种非网格离散方法来解决柯西问题,该方法的优势在于更容易扩展到高维(,)。对具有混合边界条件的椭圆方程逆问题,最近有学者构造和验证相应的变
6、分源条件,研究了吉洪诺夫正则化方法的收敛性,基于两种新的对数型稳定性,导出了逆问题求解范数的收敛性和收敛速度(,)。从已有文献可知,有较多学者对不同的泊松方程侧边值问题进行了研究,获得了不少理论研究成果,但二维有界域上侧边值问题的计算方法研究相对较少,简洁易行的数值算法并不多见。考虑数值求解矩形域上侧边值模型,表达式如式(),利用叠加原理和齐次化方法,将非齐次问题的边界条件齐次化,得到具有部分齐次边界的泊松方程侧边值问题;参考张宏武等()方法,利用分离变量法求出齐次边界问题的通解,将所求问题转换成第一类 积分方程问题,再利用 正则化方法求解方程,进行解的存在唯一性分析和误差估计,并开展数值模拟
7、实验。侧边值问题转化为积分方程 边界条件齐次化由泊松方程的边界条件齐次化原理,可设:(,)()()()令(,)(,)(,),则可得反问题模型:(,),(,)(,),(,),(,)()(,),(,)()(,),|()求解式()可得(,)在边界 上的值(,),从而矩形域的四个边界条件均已知,通过正演计算得(,),即可得式()的解(,)。泊松方程转化为积分方程下面对式()进行分析,利用分离变量法,先设(,)()为待定函数,则(,)()(,)未知待定,令:(,)()()将式()代入式()中的稳态方程,在等式左右两边分别乘且对 积分得:()()()()(),()()式中,()(,),()(,),()(,
8、)。根据二阶常系数线性微分方程理论,式()的东 华 理 工 大 学 学 报(自 然 科 学 版)年齐次通解和特解都可以解出。根据()可求得特解,设特解为?(),则:()?()()代入式()中边界条件得?()?()()解式()即可得,从而可得:(,)?()()由(,)()(,),结合式()知?()?()?()?()?()?()()(,)()继而可得()(,)()()()式中,为双曲正弦函数,()()(,)?()?()?()?()()记式()的左端()(,)()关于无穷级数,有如下引理。引理:级数 在,上收敛。证:因()(,)属于空间,故()(,)有上界,则 ()()()()记式()右端的无穷级数
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