在问题探究中构建知识的整体...线中一类定点定值问题”为例_李刚.pdf
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1、 基金项目:本文系江苏省教育科学“十四五”规划2 0 2 1年度课题“基于深度学习的高中数学单元教学设计研究”(课题编号:C-c/2 0 2 1/0 2/2 1)阶段性研究成果.在问题探究中构建知识的整体关联 以“圆锥曲线中一类定点定值问题”为例李 刚(江苏省木渎高级中学 2 1 5 1 0 0)1 问题提出 普通高中数学课程标准(2 0 1 7年版2 0 2 0年修订)(以下简称“新课标”)指出:要在日常教学中通过创设合适的数学情境和数学问题,引导学生运用数学思维方式提出问题、分析问题并解决问题,从而形成和发展数学学科核心素养.中国高考评价体系 分别从基础性、综合性、应用性、创新性四个角度对
2、考查目标进行评价.基于情境或情境活动的探究,要求学生能够在正确思想观念的引领下,综合运用多种知识或技能来解决问题,实现在复杂的情境活动中培养学生应对探索问题情境的综合素质.在问题探究过程中促使学生主动思考,发现新问题、找到新规律、得出新结论1.以高考题为载体,通过问题设计,从不同角度对高考题进行分析探究,层层深入,引导学生对知识与方法进行归纳总结,站在整体高度理解内容,形成体系.2 案例探究例题:(2 0 2 2新课程1卷2 1)已知点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上,直线l交C于P,Q两点,直线A P,A Q的斜率之和为0.(1)求l的斜率;(2)若t a n P
3、 A Q=2 2,求P A Q的面积.本题第1问属于圆锥曲线中一类定点定值问题,题面简洁,内涵丰富,解法多样,注重对学生基础知识与基本技能以及综合运用知识解决问题能力的考查,对教育教学有重要的指导意义.在教学中,教师要充分利用好试题资源,创设合适的问题情境,从通性通法出发,层层递进,引导学生进行深度探究,建立知识与方法的整体关联.下面谈谈在第1问问题解决过程中通过创设问题,引导探究的一些做法.2.1 通法探究,合理设参,建立知识与方法的横向关联解决一类问题有其通性通法,注重对通性通法的探究,有助于夯实基础知识与基本技能.解决上述例题的常用方法为“设而不求”以及“设而可求”.问题1 如何引入直线
4、l的方程?设计意图:直线方程有5种形式,在拓展内容中,还有参数形式.每种形式有其特征以及运用的情境,选择不同的方程,会有不同的解法,合理选择直线l的方程形式是进行后续探究的前提条件.问题2 设直线的斜截式方程,如何由条件kA P+kA Q=0求得k的值?问题3 直线的两点式方程需要已知直线上的两点坐标,你能求出点P,Q的坐标吗?追问 已知直线A P,A Q过点A(2,1)且斜率之和为0,如何设两条直线方程?设计意图:直线的确定,需要两个条件:一点一方向或两个点.问题2和3,主要是明确直线方程选择方向,确定解题路径,熟悉“设而不求”与“设而可求”方法的区别与联系.追问进一步让学生体会点斜式方程与
5、参数方程之间的联系与在解决问题过程中的优劣.通过对上述问题探究,第1问的解答主要有61数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期以下三种方法.解法1:可求得双曲线C:x22-y2=1.设直线l:y=k x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立方程消去y得(1-2k2)x2-4k m x-2m2-2=0,由题设知1-2k20且=(-4k m)2-4(1-2k2)(-2m2-2)0,整理得k22且m2+1-2k20,所以x1+x2=4k m1-2k2,x1x2=2m2+22k2-1.由条件kA P+kA Q=0,整理得 x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0.将y
6、1=k x1+m,y2=k x2+m代入上式得 2k x1x2-(m-1-2k)(x1+x2)+4-4m=0,进而可得2k2+(m+1)k+m-1=0,所以(2k+m-1)(k+1)=0,所以k=-1或m=1-2k.当m=1-2k时,直线l方程为y=k(x-1)+1,过点A(2,1),不符合,所以k=-1.解题感悟:“设而不求”是解析几何的一种基本方法,利用此方法解决问题可以有效回避求交点坐标,化繁为简,具有事半功倍的效果.解法2:设直线A P,A Q的方程分别为y-1=k(x-2)(k0,k22),y-1=-k(x-2),联立双曲线与直线A P方程消去y可得(1-2k2)x2-4k(1-2k
7、)x-(8k2-8k+4)=0,所以xAxP=8k-8k2-41-2k2,所以xP=4k-4k2-21-2k2,yP=2k2-4k+11-2k2,即P4k-4k2-21-2k2,2k2-4k+11-2k2();同理可得Q-4k-4k2-21-2k2,2k2+4k+11-2k2().所以kP Q=2k2+4k+11-2k2-2k2-4k+11-2k2-4k-4k2-21-2k2-4k-4k2-21-2k2=-8k8k=-1.解法3:设直线A P:x=2+tc o s,y=1+ts i n(t为参数),则直线A Q:x=2-tc o s,y=1+ts i n(t为参数).将直线A P方程代入双曲线
8、方程整理可得(1-3 s i n2)t2+4(c o s-s i n)t=0,所以tP=4(s i n-c o s)1-3 s i n2;同理可得tQ=4(s i n+c o s)1-3 s i n2.所以k=(1+tPs i n)-(1+tQs i n)(2+tPc o s)-(2-tQc o s)=(tP-tQ)s i n(tP+tQ)c o s=-1.解题感悟:要求直线P Q的斜率,考虑到点P,Q是由直线A P,A Q分别与双曲线相交所得,利用条件kA P+kA Q=0,设直线A P,A Q的点斜式方程或直线的参数方程,利用“设而可求”的方法,联立直线A P,A Q的方程与双曲线的方程,
9、求出P,Q坐标,自然可得直线P Q的斜率.此解法思路自然,但运算量较大.问题4 在解法1中,为何会求出有直线过点A的这种不符合条件的情况?对最后式子的因式分解有何启发?设计意图:从y1-1x1-2+y2-1x2-2=0到x1y2+x2y1-(x1+x2)-2(y1+y2)+4=0,两个式子是不等价的,后面的式子会比前面的式子多出x1=2或x2=2的增根,此时正是直线过已知点A这一情况,可以体会充要条件转化的要求.另外可以发现,对于此类问题,一般情况会出现直线过已知点的增解,对于最后复杂式子因式分解可以提 供 必 要 的 方 向,也 就 是 必 有 一 个 因 式 是A x0+B y0+C.上述
10、三种解法是解答直线与曲线位置关系的基本方法,亦即通性通法,三种解法间建立了横向关联,如图1.图1712 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报2.2 拓展思维,简化运算,建立知识与方法的纵向关联问题5 如果将kA P,kA Q看成关于k的两个不同的值,由条件kA P+kA Q=0,能否建立关于k的二次方程求解?设计意图:可以认为kA P=y1-1x1-2与kA Q=y2-1x2-2是形如k=y-1x-2的同构式,借助两条直线的斜率之和为定值,构造关于斜率的一元二次方程.难点是需要将直线方程与双曲线方程都构造成含有x-2和y-1的式子,将直线方程与曲线方程联立方程组,通过消元构造齐次式,结合
11、韦达定理求得结果.解法4:设直线P Q:y=k x+b,令P(x1,y1),Q(x2,y2),则kA P=y1-1x1-2,kA Q=y2-1x2-2.将y=k x+b变形为y-1-k(x-2)=b+2k-1.因为P Q不过点A,所以b+2k-10,换元得m(x-2)+n(y-1)=1.因为x2-2y2=2,所以(x-2)+22-2(y-1)+12=2,整理得(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)=0(*).构造齐次式:(x-2)2-2(y-1)2+4(x-2)-4(y-1)m(x-2)+n(y-1)=0,整理得(1+4m)(x-2)2-(2+4n)(y-1)2+4(n-m)
12、(x-2)(y-1)=0,所以(2+4n)(y-1x-2)2-4(n-m)y-1x-2-(1+4m)=0.显然2+4n0,kA P,kA Q为上述方程的两个不同的实数解,因为kA P+kA Q=0,所以4(n-m)2+4n=0,所以n=m,所以P Q方程为m(x+y-3)=1,所以kP Q=-1.解题感悟:齐次化体现了数学中的对称美与和谐美.从形的角度认识,圆锥曲线是对称图形,从数的角度处理,可以从同构式(斜率、坐标、截距等)特点出发,构造关于A P,A Q斜率的一元二次方程,从而实现kA P+kA Q的直接构造.解法4的本质仍是将直线与曲线方程联立方程组求解,但齐次化合理避免了求点坐标的繁杂
13、运算.当然,解法中的 难 点 是 直 线 与 曲 线 方 程 的 变 形 以 及 对(*)式的处理,可以通过追问的方式帮助学生突破难点.另解:设kA P=k1,kA Q=k2,由解法2得P4k1-4k12-21-2k12,2k12-4k1+11-2k12(),Q4k2-4k22-21-2k22,2k22-4k2+11-2k22().设直线l:y=k x+m,由点P、Q在直线l上可得(2-4k+2m)k12-(4+4k)k1+1+2k-m=0,(2-4k+2m)k22-(4+4k)k2+1+2k-m=0,所以k1,k2为方程(2-4k+2m)K2-(4+4k)K+1+2k-m=0的两个不同的实数
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