图C_n的angle矩阵和...矩阵及图C_noC_m的谱_蔡永.pdf
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1、图Cn的a n g l e矩阵和m a i na n g l e矩阵及图Cno Cm的谱蔡 永 1,俞 颖2(1景德镇学院 信息工程学院,江西 景德镇 3 3 3 4 0 0;2景德镇市第二小学,江西 景德镇 3 3 3 0 0 0)摘 要:一个图的谱定义为它的邻接矩阵的所有特征值的集合。本文假定Cn和圈Cm为不相交的两个圈,构造新图c o r o n aCno Cm,应用矩阵分块和K r o n e c k e r矩阵乘法运算得到其谱。同时计算出圈Cn的a n g l e矩阵B(Cn)和m a i na n g l e矩阵b(Cn)。关键词:Cn;Cno Cm;a n g l e矩阵;m a
2、 i na n g l e矩阵;谱中图分类号:O1 5 1.2 文献标志码:A 文章编号:2 0 9 5 9 6 9 9(2 0 2 2)0 6 0 0 0 5 0 40 引言Cn是由n个顶点和n条边构成的一个圈。在图论的研究领域中,Cn是一类非常特殊的图,具有重要的 价 值 和 意 义,如H a m i l t o nc y c l e问 题、c y c l ec o v e r i n g问题一直是数学研究的前沿课题。在本文中,令Cn的顶点集合V=1,2,n,边集E=e1,e2,en,Cn的 邻 接 矩 阵 记 为A(Cn)=(ai j)nn。根据定义显然有矩阵A(Cn)为实对称矩阵,其中
3、ai j=1 ij,0 其他,其中ij表示顶点i与顶点j相邻。设图Cn的邻接矩阵有m个不同的特征值,图Cn的谱记为S p e c(Cn)=1(Cn)2(Cn)m(Cn)n1n2nm 其中i(Cn)为图Cn的邻接矩阵的特征值(i=1,2,m),ni表示特征值i(Cn)的重数,且n1+n2+nm=n。根据实对称矩阵的性质和矩阵A(Cn)是实对称矩阵,故存在n阶正交矩阵U,满足UTA(Cn)U=,其中=d i a g1(Cn),2(Cn),n(Cn)。矩阵P的列向量恰好为矩阵A(Cn)相应的特征向量且构成n维空间的一组标准正交基,且矩阵A(Cn)的谱分解为13A(Cn)=1P1+2P2+mPm,其中
4、Pi=UTEiU,P=1E1+2E2+mEm,Ei=d i a g0,0,0,1,0,0。为了研究的方便,本文规定符号0n、1n、0m n、1m n分别表示长为n的(零元素构成)列向量、长为n的(单位1构成)列向量、mn的零矩阵、mn的(单位1构成)矩阵。In表示n阶单位矩阵,矩阵AB表示矩阵A和矩阵B的张量积。数值Piej表示向量ej=(0,0,1,0,0)T在特征空间(i)上的正交投影,称为图Cn的一个a n g l e,记作i j(i=1,2,m;j=1,2,n).数值Pi1nn表示向量1n=(1,1,1)T在特征空间(i)上的正交投影,称为图Cn的一个m a i na n g l e,
5、记作i(i=1,2,m)。对图Cn的谱的E A重构,主要研究的内容就是其a n g l e和m a i na n g l e,为了 研 究 方 便,本 文 将Cn的a n g l e矩 阵 记 为B(Cn),Cn的m a i na n g l e矩阵记为b(Cn)。定义1 已知两个圈Cn和Cm,取一个样本Cn且顶点依次标号为1,2,n,再取n个样本Cm,依次标号为C1m,C2m,Cnm,将样本Cn的顶点i与样第3 7卷 第6期2 0 2 2年1 2月 景德镇学院学报J o u r n a l o f J i n g D e Z h e nU n i v e r s i t y V o l.3
6、7N o.6D c e.2 0 2 2收稿日期:2 0 2 2 0 6 2 0基金项目:景德镇市软科学指导计划项目(景科字2 0 2 16 2号2 0 2 1 1 R K X 0 0 8)作者简介:蔡 永(1 9 8 4),男,江西省景德镇人。职称:讲师,硕士,从事组合图论研究。本图Cim所有顶点连边(i=1,2,n),得到的新图称为c o r o n a图,记Cno Cm。例1 下图给出图C3、图C4和图C3o C4。图1 C3图2 C4图3 C3C4由定义1得到Cno Cm的顶点数为n+n m,边数为n+2n m,将Cno Cm的 顶 点 适 当 排 列,得 到Cno Cm的 一 种 邻
7、接 矩 阵 为A(Cno Cm)=A(Cn)1HmIn1mInA(Cm)In,其中A(Cn)和A(Cm)分别为Cn和Cm的邻接矩阵,In为n阶单位矩阵.在文献1、5首次研究由一般图和正则图构成的c o r o n a图的图谱和图的可逆性。在本文第2部分中,针对文献4中关于图Cn的a n g l e矩阵和m a i na n g l e矩阵的结论的不完善,给出图Cn的a n g l e矩阵B(Cn)和m a i na n g l e矩阵b(Cn)的完整结论,同时给出了特殊图Cno Cm的谱a n g l e。1 基本结论引理1 S p e c(Cn)=2 c o s2n2 c o s4n2 c
8、o s(n-2)n-2 222211,n为偶数2 c o s2n2 c o s4n2 c o s(n-1)n22221,n为奇数。证明:A(Cn)=011100100=010000100+001100000,设A1=010000100,故A(Cn)=A1+AT1,且A1AT1=In。设k=ei2 kn,k=(1,k,2k,(n-1)k)T,k=1,2,n,其中=ei2n,则A1k=kk。所以A(Cn)k=2 c o s2 knk,(k=1,2,n)。设k(Cn)=2 c o s2 kn,(k=1,2,n)下面分两种情况讨论Cn的谱:当n为偶数时,n(Cn)=2,n2(Cn)=-2,且对1kn2
9、-1时,n-k(Cn)=2 c o s2(n-k)n=2 c o s2 kn=k(Cn),(k=1,2,n)。当n为奇数时,n(Cn)=2,且对1kn-12时,n-k(Cn)=2 c o s2(n-k)n=2 c o s2 kn=k(Cn),(k=1,2,n),得证。引用引理1证明中的符号,得到下列引理2:引理2 Hij=n,i=j,0,ij,(i,j=1,2,n),其中Hi为i的共轭转置。证明:当1kn2,Hn-kk=(1,-(n-k),-2(n-k),-(n-1)(n-k)(1,k,2k,(n-1)k)T=1+-(n-k)k+-2(n-k)2k+-(n-1)(n-k)(n-1)k=0,当1
10、i,jn2,且ij时,由于A(Cn)为实对称矩阵,故Hij=0;Hkk=(1,-k,-2k,-(n-1)k)(1,k,2k,(n-1)k)T=1+-kk+-2k2k+-(n-1)k(n-1)k=n,得证。由引理2得到下列引理3:引理3 k=n,k=1,2,n。2 主要结论基于上述结论,导推Cn的a n g l e矩阵B(Cn)和m a i na n g l e矩阵b(Cn)如下:6 景德镇学院学报 2 0 2 2年第6期定理1 当n为 偶 数 时,Cn的a n g l e矩 阵B(Cn)是n+22n矩阵,且B(Cn)=2n2n2n2n2n2n2n2n1n1n1n1n1n1n1n1n Cn的m
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