基于有限时间对偶神经网络的冗余机械臂重复运动规划_孔颖.pdf
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1、第 40 卷第 1 期2023 年 1 月控 制 理 论 与 应 用Control Theory&ApplicationsVol.40 No.1Jan.2023基基基于于于有有有限限限时时时间间间对对对偶偶偶神神神经经经网网网络络络的的的冗冗冗余余余机机机械械械臂臂臂重重重复复复运运运动动动规规规划划划孔颖,吴佳佳,雷景生,胡汤珑(浙江科技学院 信息与电子工程学院,浙江 杭州 310000)摘要:在考虑关节物理极限的情况下,将冗余机械臂的逆运动学解析问题抽象为带约束的重复运动规划(RMP)方案.针对速度层的带约束RMP方案,本文提出了一种新型的递归神经网络,即有限时间对偶神经网络(FTDNN)
2、,用以求解该类带约束RMP方案.相比于传统的递归神经网络,该FTDNN模型具有有限时间收敛特性,不仅能够改进收敛的速度,并且能够获得较高的收敛精度.通过李雅普诺夫稳定性定理验证了FTDNN模型的渐近稳定性,并进一步计算出FTDNN模型求解带约束RMP方案最优解的时间上界.基于冗余机械臂PA10的计算仿真结果验证了FTD-NN模型求解带约束RMP方案的有效性和可行性.最后在Dobot Magician实物机械臂上的实验结果表明本文提出的有限时间对偶神经网络方法可以有效实现机械臂各关节角的重复运动.关键词:对偶神经网络;有限时间;冗余机械臂;关节物理限制;重复运动规划引用格式:孔颖,吴佳佳,雷景生
3、,等.基于有限时间对偶神经网络的冗余机械臂重复运动规划.控制理论与应用,2023,40(1):139 148DOI:10.7641/CTA.2022.11214Finite-time dual neural network for solving repetitive motion planningof redundant manipulatorKONG Ying,WU Jia-jia,LEI Jing-sheng,HU Tang-long(Department of Information and Electronic Engineering,Zhejiang University of S
4、cience and Technology,Hangzhou Zhejiang 310000,China)Abstract:Resolution of the inverse-kinematics redundancy problem for redundant manipulators can be transformedinto a repetitive motion planning(RMP)problem by incorporating joint-angle limits and joint-velocity limits.In this paper,a new recurrent
5、 neural network,finite-time dual neural network(FTDNN),is proposed for solving this type of constrainedRMP problem in velocity layer.Compared with the traditional recurrent neural networks,the FTDNN model has finite-timeconvergence characteristics,which not only improves the convergent speed but als
6、o achieves higher convergent accuracy.Furthermore,asymptotic stability of the FTDNN model is verified by the Lyapunovs stability theorem,and the time upperboundfortheoptimalsolutionoftheFTDNNmodelwithconstrainedRMPproblemispresented.Computationalsimulationresults based on the redundant manipulator P
7、A10 demonstrate the validity and feasibility of the FTDNN model for solvingthe constrained RMP problem.Finally,experimental results on the Dobot Magician manipulator show that the proposedFTDNN model can effectively realize the repetitive kinematics of each joint angle.Key words:dual neural network;
8、finite-time;redundant manipulator;joints limitation;repetitive motion planningCitation:KONG Ying,WU Jiajia,LEI Jingsheng,et al.Finite-time dual neural network for solving repetitive motionplanning of redundant manipulator.Control Theory&Applications,2023,40(1):139 1481引引引言言言机械臂是由多个转动关节角组成的一个末端能动的机械装
9、置,其末端任务包括搬运、焊接、油漆和组装等,目前已广泛应用于工业制造、医学治疗、娱乐服务、消防、军事和太空探索等领域15.冗余机械臂是指所拥有的自由度(degrees-of-freedom,DOF)多于完成给定末端任务所需的DOF的机械臂.冗余度解析问题(又称为逆运动学解析)是机械臂运动规划和控制中收稿日期:20211213;录用日期:20220414.通信作者.E-mail:kongying-;Tel.:+86 13858049801.本文责任编委:孙长银.国家自然科学基金项目(61803338,61972357),浙江省重点研发计划(2019C03135),浙江省自然科学基金项目(LZY2
10、2E050002)资助.Supported by the National Natural Science Foundation of China(61803338,61972357),the Key Research&Development Project of ZhejiangProvince(2019C03135)and the Zhejiang Provincial Natural Science Foundation Project(LZY22E050002).140控 制 理 论 与 应 用第 40 卷一个基本问题,具体指当给定冗余机械臂的末端执行器的期望轨迹,如何实时生成其对应的
11、关节轨迹.由于冗余机械臂存在多个关节角自由度,其逆运动学解析的解可能会存在多个甚至无穷解.因此,有效求得冗余度解析问题的解已经受到了学者的广泛关注.近年来,递归神经网络(recurrent neural network,RNN)被广泛应用于时变问题的求解68.Hopfield在文献6中提出了一种经典的网络模型(Hopfield neur-al network,HNN)用以求解优化计算和代数运算的问题.文献7中给出了一种基于递归神经网络的飞行器最优轨迹跟踪方法,采用最优技术使得跟踪误差一致有界.文献8中提出了一种神经网络参数更新律估计方法,考虑了未知时变参数和外部干扰,解决了水下机器人多角度跟踪
12、的稳定性问题.为更好的求解时变问题,Zhang等人911提出了一种特殊的递归神经网络(Zhang neural network,ZNN),通过定义误差函数,建立相应的ZNN模型.文献11给出了ZNN求解时变线性方程问题的具体步骤,通过利用导数信息,建立最小化范数函数,使得动态误差全局收敛于方程的理论解.基于ZNN的设计思想,文献12提出了一类新型神经网络(novel neural net-works,NNNs),该类神经网络在ZNN的基础上增加了一项扩展项用以求解伪逆矩阵,从理论上验证了在设定相同参数的情形下,NNNs相比于ZNN和GNN有着更快的全局指数收敛速度,通过3个数值仿真进一步验证了
13、NNNs在收敛性能上的优越性,并应用于三连杆平面冗余机械臂中.Chen等人13提出了一种基于ZNN的多目标最小优化方案用于修复冗余度机械臂运动过程中的关节角漂移问题,有效阻止关节角突加度运动过程中的异位现象.文献14中针对冗余度机械臂重复运动过程中内部噪声干扰问题,通过一种变化后的ZNN方法,将运动过程中的干扰因素融入在神经网络模型求解的参数中,并在六自由度平面机械臂平台上验证了该模型的有效性.文献15中Xiao等人提出一种鲁棒非线性归零神经网络(robust nonlinearzeroing neural networks,RNZNN),建立了相应的RN-ZNN模型,通过添加两个新的非线性激
14、活函数来求解不同噪声下的李雅普诺夫方程.然而,虽然能够实现有限时间收敛,但并未考虑冗余机械臂运动中关节角位置的重复性问题.正确的初始关节角位置是冗余机械臂完成重复任务的前提条件.当冗余机械臂的末端执行器跟踪闭合路径时,各关节角的最终位置偏移初始期望位置时,则会导致机械臂无法完成重复任务.因此,引入一种最小化性能指标,将冗余机械臂的重复运动规划问题转化为一类带等式约束的时变二次规划(quadraticprogramming,QP)问题1623.文献16通过拉格朗日乘数法,将该类带等式约束的时变QP问题转化为时变等式问题,通过ZNN模型进行求解,该方法成功应用于冗余机械臂的运动规划中,实现了重复任
15、务.值得注意的是,在实际应用中,几乎所有机械臂都有其自身的关节物理限制,即关节角度限制和关节运动速度限制.然而,上述提出的冗余机械臂重复运动规划解决方案并未考虑其关节物理限制,这可能会导致冗余机械臂在运动过程造成关节损伤.因此,将带有关节物理限制的冗余机械臂重复运动规划问题转化为带约束的时变QP问题,具有一定的实际应用价值.针对带约束的时变QP问题,通常将其转化为一个对偶问题来进行求解1723.文献17利用拉格朗日乘子法提出了一种Lagrange神经网络模型,但该神经网络模型的计算复杂度高.文献18提出了一种原对偶神经网络(primal dual neural network,PDNN)用以同
16、时求解原QP问题和其对偶问题,然而,该动力学方程含有高阶的非线性项,且计算复杂,为了减轻高维复杂向量带来的巨大计算量,文献1920提出了一种基于LVI的原对偶神经网络(LVI-based primal dual neur-al network,LVI-PDNN)用以求解QP问题;文献21在LVI-PDNN的基础上提出了一种简化的LVI-PDNN(simplified LVI-PDNN,SLVI-PDNN);文献22提出了一种对偶神经网络(standard dual neural network,S-DNN).虽然,上述神经网络模型都考虑到了冗余机械臂的关节物理极限,能够实现重复运动,但是依旧无
17、法在有限的时间内收敛到最优解.因此通过对偶神经网络来解决带约束的时变QP问题还不是最优的方法.为了克服现有的对偶神经网络无法在有限的时间内实现冗余机械臂轨迹规划问题,本文提出了一种有限时间对偶神经网络(finite-time dual nerual network,FTDNN)模型用以解决带关节物理限制的冗余机械臂重复运动规划问题.结合有限时间和对偶神经网络两种特性,到达FTDNN模型的最优状态.此外,为了说明FTDNN对比鲁棒非线性归零神经网络和对偶神经网络存在优越性,表1对上述RNZNN,SDNN,LVI-PDNN,SLVI-PDNN和FTDNN 5种模型的主要特征进行了比较总结.由表中对
18、比结果可知,在相同条件下,FTDNN的性能较好.本文根据李雅普诺夫稳定性定理,构造对应的李雅普诺夫函数,证明了FTDNN模型的渐近稳定性,并进一步计算出FTDNN模型收敛至问题最优解的收敛时间上界,证明了模型的有限时间收敛性.最后,通过计算机仿真,将本文提出的FT-DNN模型用以控制PA10机械臂的轨迹跟踪任务,验证模型的有效性和适用性.同时,将FTDNN模型的仿真结果与现有的RNZNN,SDNN,LVI-PDNN和SLVI-PDNN模型进行对比,进一步验证了FTDNN模型的优越性.第 1 期孔颖等:基于有限时间对偶神经网络的冗余机械臂重复运动规划141表 1 FTDNN模型与RNZNN,SD
19、NN,LVI-PDNN和SLVI-PDNN模型比较Table 1 Comparison table between FTDNN model andRNZNN,SDNN,LVI-PDNN and SLVI-PDNNmodels神经网络是否考虑关节限制收敛时间FTDNN考虑有限RNZNN不考虑有限SDNN考虑无限LVI-PDNN考虑无限SLVI-PDNN考虑无限2问问问题题题描描描述述述基于冗余机械臂的正运动学问题,末端执行器位置和方向向量r(t)Rn与关节角向量(t)Rm之间的关系可以描述为g(t)=r(t),(1)其中g():RmRn是一个非线性连续函数映射.对式(1)进行微分,可以得到关节速
20、度向量(t)Rm与末端执行器速度向量 r(t)Rn之间的关系,具体为J(t)(t)=r(t),(2)其中:J(t)Rnm为雅可比矩阵且m n,具体形式为J(t)=g(t);(t)Rm是(t)关于时间的导数;r(t)Rn为r(t)关于时间的导数.为方便后续描述,本文将J(t)简化为J,(t)简化为,(t)简化为,r(t)简化为 r,r(t)简化为r.为实现重复运动目标,本文通过最小化关节当前位置与初始位置之间的位移量来消除关节角偏差.所得到的速度层优化性能指标描述如下:12(+a)T(+a),a=(0),(3)其中:(0)Rm是关节角变量的初始值,0是用来调节关节位移幅值的设计参数.由于在式(3
21、)中,为决定变量,则a相对于是个常量.因此,所需优化的性能指标可进一步转化为12T(t)(t)+aT(t)(t).在实际应用中,还需要考虑冗余机械臂自身的关节物理极限,即66+,(4)66+,(5)其中和分别为关节角向量(t)和关节速度向量(t)的上下界.由于式(2)(5)都是基于速度层所建立的,所以需要将式(4)转化速度层上的约束,即()6(t)6(+),(6)其中 0是用来调节关节速度的可行域.将式(5)(6)相结合,针对的不等式约束可进一步转化为66+,(7)其中和+的第i个元素分别表示为i=maxi,(i i),+i=min+i,(+i i).(8)基于上述分析,带有关节物理限制的冗余
22、机械臂重复运动规划问题可描述为如下带约束的时变QP问题:min12T+aT,s.t.J=r,66+.(9)3模模模型型型描描描述述述令式(9)中的x=,c=r,带约束重复运动规划(repetitive motion planning,RMP)方案可定义如下:min12xTMx+aTx,(10)s.t.Jx=c,(11)6x6+,(12)其中M=I,I为m维单位矩阵.需要注意的是,本文中假设J是行满秩矩阵,即rank(J)=n.根据Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件可知,带约束RMP方案(10)(12)的最优解也应当满足下述情况:Mx+a+JT+=0,(13)Jx=c,(14)|
23、x=+,0,6x6+,=0,x=,+i,yi,i6yi6+i,i,yi 0,:RmRm为激活函数,具体定义为(z)=1(z1)2(z2)i(zi)T,z Rm,i(zi)代表每个元素的处理函数,与(z)具有相同属性i(zi)=|zi|psgn(zi),(23)其中:p R且0 p 1,sgn()为符号函数.4理理理论论论分分分析析析本节针对所提出的FTDNN模型(22)的稳定性和有限时间收敛性进行分析,并计算出FTDNN模型收敛至带约束RMP方案(10)(12)的时间上界,从而验证了FTDNN模型(22)的有效性和可行性.在分析稳定性与有限时间收敛性之前,先给出以下引理:引引引理理理 124设
24、M Rmm,J Rnm,其中n m,rank(J)=n,则K=M1 M1JT(JM1JT)1JM1 0.引引引理理理 225设H为矩阵W的n 1阶子矩阵,W为n阶Hermitian矩阵.当W的n个特征值,即n,满足n6n166261,H的n 1个特征值,即n,满足n6n166362时,则n6n6n16n16626261.引引引理理理 326首先,假设1和b分别是矩阵K的最小特征值和最大特征值,其中K=KT.其次,假设N=D(IK)+K;I为m阶单位矩阵;D Rmm,D=diag1,2,m,0 i1zTz,z Rm.进一步,当Kz=0时,可得zT(N+NT)z=0.4.1稳稳稳定定定性性性定定定
25、理理理 1设1和b分别是矩阵K的最小特征值和最大特征值.给定矩阵J,向量a,c以及,当 0,0 p 1时,本文所提出的FTDNN模型(22)在平衡点=是渐近稳定的.证首先,定义一个李雅普诺夫函数V(,t)=f(IK)+d)+Kd)p+1p+1p+1,(24)其中p+1为(p+1)范数,具体形式为zp+1=(mi=1|zi|p+1)1p+1,z Rm.其次,根据上述定义,V(,t)的时间导数V可表示为V=T(S(I K)+K)T(f(I K)+d)+K d)=1(f(I K)+d)+K d)T(S(I K)+K)T(f(I K)+d)+K d),(25)其中 是关于时间的导数;S=diag1,2
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