采用K-SVD字典训练稀疏...缩感知叶尖间隙数据重构方法_吴军.pdf

2023 年第 42 卷7 月第 7 期机 械 科 学 与 技 术Mechanical Science and Technology for Aerospace EngineeringJulyVol422023No7http:/journalsnwpueducn/收稿日期:20210730基金项目:国家自然科学基金项目(52005500)与中央高校基本科研业务费高水平成果培育专项(3122023PY06)作者简介:吴军(1986)，副教授，博士研究生，研究方向为视觉测量技术，发动机故障诊断与监测，jwu cauceducn吴军，冯成斌，宋丰成，等采用K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法 J 机械科学与技术，2023，42(7):1158-1164采用 KSVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法吴军1，2，冯成斌1，宋丰成1，袁少博3，于之靖3(1 中国民航大学 航空工程学院，天津300300;2 天津大学 精密测试技术及仪器国家重点实验室，天津300072;3 中国民航大学 电子信息与自动化学院，天津300300)摘要:航空发动机叶尖间隙是监控其运行状态的有效参数，现有间隙测量方法很难满足超高转速下间隙距离的奈奎斯特采样率，因此无法有效提取精确的叶尖间隙值。本文基于压缩感知原理，针对间隙距离数据特征提出一种采用 K-SVD(K-singular value decomposition)字典训练稀疏基的数据重构方法，该方法首先构建出 K-SVD 字典稀疏基对数据进行稀疏化表示，然后使用 m 序列高斯随机矩阵对数据进行压缩观测，最后基于压缩欠采样观测值使用正交匹配追踪算法对数据进行重构，进而精确提取叶尖间隙值。实验结果表明，在欠采样条件下间隙距离数据可精确恢复重构，与高采样率下的间隙数据相比，重构误差不超过 002 mm。关键词:叶尖间隙;欠采样;压缩感知;K-SVD 字典稀疏基;正交匹配追踪算法中图分类号:TH822文献标志码:ADOI:1013433/jcnki1003-872820220068文章编号:1003-8728(2023)07-1158-07A Sparse Basis Compressed Sensing Tip Clearance Data econstructionMethod was Trained with KSVD DictionaryWU Jun1，2，FENG Chengbin1，SONG Fengcheng1，YUAN Shaobo3，YU Zhijing3(1 Aeronautical Engineering College，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China;2 State Key Laboratory of Precision Measuring Technology and Instruments，Tianjin University，Tianjin 300072，China;3 Electronic Information and Automation College，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China)Abstract:The measurement of blade tip clearance is an effective parameter to monitor the running state ofaeroengine The existing clearance measurement methods are difficult to meet the Nyquist sampling rate of clearancedistance under ultra-high rotating speed，so the accurate tip clearance value cannot be effectively extracted Interms of the principle of compressed sensing，a data reconstruction method by using K-SVD(K-singular valuedecomposition)dictionary to train the sparse base according to the gap distance data features is proposed In thismethod，the sparse base of K-SVD dictionary is firstly constructed to perform the sparse representation of the dataThen，the m-sequence Gaussian random matrix was used to compress the data Finally，the orthogonal matchingpursuit algorithm was used to reconstruct the data based on the compressed observations，and then the tip clearancevalues were accurately extracted The experimental results show that the gap distance data can be accuratelyreconstructed under the condition of under-sampling，and the reconstruction error is below 002 mm comparing withthe gap data under the condition of high sampling rateKeywords:tip clearance;under sampling;compressed sensing;K-SVD dictionary sparse base;orthogonalmatching pursuit algorithm涡轮叶片作为航空发动机运行的核心部件，其运行状态参数直接反映出发动机的工作性能1-4。定义涡轮叶片与航空发动机机匣内壁之间距离称为叶尖间隙，其值的大小可直接显示发动机运行效率，第 7 期吴军，等:采用 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法http:/journalsnwpueducn/并为运行安全提供参考的数据5-6。在航空发动机运行过程中，高温热变形、高转速离心变形、转子不平衡响应等因素都会导致叶尖间隙发生变化7-8。航空发动机涡轮叶片的叶尖间隙值通常在 3 mm 以内9，且叶尖间隙每减小 0.025 4 mm，燃油消耗率降低 0.1%，排气温度下降 1 10，不过，当叶尖间隙过小时，叶片与机匣发生碰撞的概率也会增加，这严重危害运行安全11。因此亟待需要找到一种能实时监测叶尖间隙值的测量方法，这对发动机高效安全运行具有重要参考意义12-13。目前接触测量法和非接触测量法是两种主要的航空发动机涡轮叶片间隙测量方法，其特点是适用于测量各种材料的叶片，精度高、频响快、耐高温、成本低廉、体积较小、易安装。相关研究学者对非接触测量方法进行了深入研究，使用了不同类型的传感器进行相关实验，但目前普遍遇到的一个问题就是传感器采样频率远低于发动机转速，导致采样数据较少，难以实现实时采样，因而不能得到叶尖间隙的变化曲线。而在数字信号 处 理 领 域，近 年 来 提 出 的 压 缩 感 知 技 术(Compressed sensing，CS)是一种针对欠采样数据的有效恢复重构方法。压缩感知理论14-15 表明，如果待处理数据能够被稀疏表示，那么使用合适的采样方法就可以实现以较少的数据重构满足一定精度的原始数据。压缩感知技术主要分为:稀疏矩阵、采样矩阵、重构算法16。其中，合适的稀疏矩阵能得到数据最佳稀疏表示，能提高数据恢复重构质量。然而，传统的压缩感知技术的稀疏表示较为固定，且处理数据并不具有稀疏性，因此稀疏基的变换首先会选择一些正交变换对数据进行稀疏表示，常用的变换有傅里叶变换、离散余弦变换、小波变换等，但这些变换一旦选定就不能根据数据本身的特点而变换，所以稀疏表示的结果并不理想，从而也降低了重构质量。同时这些正交变换也不适合不具备稀疏性的叶尖间隙数据，叶尖间隙数据是一种包含直线和曲线波动两种类型的复杂曲线，上述较为固定的稀疏表示并不能很好的满足要求，因此如果根据叶尖间隙数据特点找到合适的稀疏表示方法，那将较好地提高重构质量。基于上述思路，本文将 K-SVD 技术17-18 引入到叶尖间隙数据处理中，解决叶尖间隙数据稀疏性表示的问题。综上所述，为解决传感器在叶尖间隙测量过程中的欠采样问题和压缩感知技术对叶尖间隙数据的稀疏表示问题，本文提出了基于 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法，构建了K-SVD训练后的字典稀疏基，新生成了一种采样矩阵，重构了叶尖间隙实验数据，成功提取了叶尖间隙值，并分析评价了重构数据的误差，对减小数据处理过程中的随机误差，实现叶尖间隙参数的高精度动态测量，具有可参考的工程意义。1基于 K-SVD 字典训练的叶尖间隙数据压缩测量重构方法本文提出了使用 K-SVD 字典训练的叶尖间隙数据恢复重构方法，使用大量样本数据进行训练得到过完备字典，该过完备字典的稀疏表示能力较强，能根据样本数据的特点进行自适应调整，因此将此字典作为稀疏矩阵，同时构建 m 序列高斯随机矩阵作为采样矩阵，以正交匹配追踪算法(Orthogonal matchingpursuit，OMP)作为重构算法对叶尖间隙数据进行恢复重构，最后对重构的数据和高频全采样条件下的实验数据进行分析，证明了该方法的有效性。基于 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法流程图如图 1 所示。图 1基于 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法流程图Fig 1Flowchart of the compressed sensing reconstructionmethod for evaluating blade tip clearance data based onK-SVD dictionary training with sparse bases9511机 械 科 学 与 技 术第 42 卷http:/journalsnwpueducn/整个重构方法分为 3 个步骤:1)获得稀疏矩阵，以 K-SVD 算法训练的过完备字典 D 作为稀疏矩阵;2)由 m 序列高斯随机矩阵构建采样矩阵;3)由欠采样观测值 y、稀疏矩阵 A、采样矩阵、重构算法恢复重构得到叶尖间隙数据。2字典稀疏基、采样矩阵与叶尖间隙重构模型21K-SVD 字典稀疏基K-SVD 是一种稀疏表示字典学习算法，其名字的由来是该算法要经过 K 次迭代，且迭代一次都 要 使 用 奇 异 值SVD(Singularvaluedecomposition)进行分解。其具体分解过程如下:令矩阵 DnK表示训练的过完备字典，矢量 sn表示待训练的样本数据，S=siNi表示 N 个训练样本数据的集合，X=iNi表示对应的稀疏系数，K为 N 个稀疏系数的集合。则字典训练学习可以表示为minD XS DX2Fst i0 T0(1)式中 T0表示稀疏系数非零分量数目的最大值。式(1)是一个求解最值优化问题。K-SVD 算法主要分 3 步实现:1)初始化字典。初始字典的选择有两种方法:在数据样本集中随机选择 K 个;使用已知的常用字典。本文使用第一种方法。2)使用 K-SVD 算法训练得到过完备字典，同时得到稀疏系数矩阵。3)更新过完备字典矩阵，由迭代次数或误差要求训练，直到满足要求为止。具体算法步骤如下:1)将叶尖间隙数据集分为两部分，随机选取K 个数据组成初始字典，选取 N 个原子形成叶尖间隙数据样本集;2)确定初始字典的原子长度 n，线性组合原子数 L，算法迭代次数 J 和样本数据集的原子数N，由初始字典的原子长度 n，对所选叶尖间隙数据进行分割，使每个原子具有 2 范数;3)使用 K-SVD 算法对叶尖间隙数据进行训练得到过完备字典;4)固定稀疏系数，训练得到新的过完备字典，直到误差最小，就得到了最优稀疏系数矩阵和最优过完备字典。K-SVD 字典稀疏基训练流程图如图 2 所示。图 2K-SVD 字典稀疏基训练流程图Fig 2Flowchart of the K-SVD dictionary trainingprocess for sparse bases根据航空发动机涡轮叶尖间隙数据本身的特点，通过上述 K-SVD 算法自适应地训练出适合稀疏化表示叶尖间隙数据的过完备字典，就可以实现数据的定制处理。22采样矩阵构建采样矩阵是压缩感知技术的关键组成部分。合适的采样矩阵19 能得到易于恢复重构的欠采样观测值，但在选择采样矩阵时要满足一定的条件。CANDES 证明14，20 独立且均匀分布的高斯随机矩阵组成的采样矩阵与任意正交变换相关性不强，说明压缩观测数据的恢复重构是可行的。本文实验过程中使用欠采样方式对叶尖间隙数据进行采样，所以该欠采样叶尖间隙数据是低频、不完整的。传统压缩感知使用高斯随机矩阵或伯努利矩阵作为采样矩阵，但由于该采样矩阵并不易于硬件实现且自适应性不高，故此种采样矩阵并不适合本文所述叶尖间隙实验，因此本文将 m 序列引入到采样矩阵的构建中。m 序列是一种伪随机序列，是最长线性反馈移位寄存器序列的简称，它的幅值随机跳变为 1 或1。伪随机序列是一种可以人为设置的具有近似随机统计特性的序列。为满足实验要求，本文对 m序列进行了改进，使其幅值随机跳变为 0 或 1。m 序列矩阵产生方式为0611第 7 期吴军，等:采用 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法http:/journalsnwpueducn/diag(m)=1000 NN(2)diag(m)为一对角矩阵，其对角线上的元素随机选取 m 个位置置为1，其余位置置0。这样设计 m序列矩阵的目的是随机对数据进行欠采样，以得到缺失的叶尖间隙数据。由压缩感知理论可知，在稀疏矩阵与采样矩阵满足约束等距条件时，恢复重构才有可能。因此将采样矩阵构建，将高斯随机矩阵与 m 序列矩阵相乘，得到改进的 m 序列高斯随机矩阵，即=rand n(M N)diag(m)(3)式(3)得到的采样矩阵 将同时满足欠采样和有限等距性质(estricted isometry property，IP)要求。为使用 OMP 算法重构得到较好的结果，由压缩感知理论，任意 K-稀疏矢量 及约束等距常数 k(0，1)，感知矩阵 A=D 应满足(1 k)2 A2(1+k)2(4)由于式(4)难以真正用于实际计算，Baraniuk21 给出了 IP 的等价条件。若稀疏矩阵与采样矩阵不相关，则感知矩阵满足 IP 条件，但重构过程中又要求感知矩阵具有一定的相关性22。定义感知矩阵 A的互相干23(Mutual coherence，MC)为u(A)=maxij|i，j|i2j2i，j=1，2，K(5)在文献 22，24 中给出了重构性能的定理形式，当稀疏度满足 K=0，K 121+1u(A)时，重构结果优劣检验式为 22(+1)21 u(A)(2K 1)(6)式中:为重构后的稀疏向量;为原始稀疏向量;为误差矩阵的全部非零奇异值，误差矩阵定义为从采集数据中抽取的字典矩阵 D 与原数据的误差构成的矩阵;1为一非常小的数;u(A)为互相干系数;K 为稀疏度。23叶尖间隙数据重构模型建立欠采样叶尖间隙数据恢复重构模型为y=f(7)式中:f 为实验得到的 N1 阶高频采样叶尖间隙数据;为 MN 阶的 m 序列高斯随机矩阵;y 为 M1阶叶尖间隙数据的欠采样观测值。式(7)为一个未知量多于方程个数的欠定方程，结合压缩感知理论，若稀疏变换 f=D 成立，则式(7)可写为 y=D=A。由于矢量 具有稀疏性，则重构问题可以等价转化为求解最小 l0范数问题，即min0y=D(8)由于实验允许一定的误差，则式(8)的优化问题可以用一个简单的近似解代替，即min0y D 2(9)式中:2为一个特别小的常数。式(9)中 l0范数最小可以求得最优解，但由于 KMN，故求解 l0范数问题有 CKN种可能，所以一般使用 1 范数25-27 进行等价转换求解。3实验与分析31叶尖间隙数据压缩观测重构实验总体设计为实验测量航空发动机叶尖间隙精确值，本文对整个实验过程进行了总体设计:航空发动机涡轮叶片叶尖间隙欠采样是以低于涡轮叶片转速的采样频率采集叶尖间隙数据，在欠采样条件下，为实现叶尖间隙数据的精确测量，提出了基于 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法。如图 3 所示，叶尖间隙数据测量重构整体分为:叶尖间隙数据采集、叶尖间隙数据重构和叶尖间隙数据对比分析。图 3叶尖间隙数据重构总体流程图Fig 3Overall flowchart of blade tip clearance data reconstruction1611机 械 科 学 与 技 术第 42 卷http:/journalsnwpueducn/数据采集部分主要使用激光位移传感器对搭建起的叶尖间隙测量实验平台进行采样，然后使用构建的采样矩阵 对数据进行采样得到欠采样观测值 y。数据重构部分主要是使用 K-SVD 字典训练后的稀疏字典 D 对实验数据集进行稀疏表示，然后把稀疏矩阵 D 与采样矩阵 相乘得到传感矩阵 A，由欠采样观测值 y 和正交匹配追踪算法(OMP)恢复重构叶尖间隙数据。数据分析分为:一是验证叶尖间隙测量精度;二是分别从高频采样实验数据、欠采样数据和重构数据中提取叶尖间隙值，进行误差分析对比，通过分析结果得到结论。32叶尖间隙数据压缩观测重构可行性为验证叶尖间隙数据压缩观测可行性与观测数M 对恢复重构结果的影响，在硬件设备上进行仿真分析，以奥泰斯工业自动化公司生产的超高线性精度CDX-30A 系列激光位移传感器(漫反射模式下量程305 mm，线性精度3 m，分辨率 0.25 m，采样周期25 s)高频测量叶尖间隙实验数据为原始数据，其中，数据长度 N=240，稀疏基采用 K-SVD 字典训练稀疏基，采样矩阵为 m 序列高斯随机矩阵，不同欠采样观测数 M 下 OMP 算法恢复重构结果如图 4所示。从以上重构结果可得，使用压缩感知技术重构原始数据是可行的，而且在 K-SVD 字典稀疏基下压缩感知叶尖间隙数据能重构成功，且误差较小。图 4使用 K-SVD 字典稀疏基的压缩感知 OMP算法的叶尖间隙数据重构结果Fig 4econstruction results for blade tip clearance datausing the compressed sensing OMP algorithm withK-SVD dictionary sparse bases以下为不同欠采样观测数 M 值，重构平均误差 随 M 变化情况如表 1 所示。表 1不同 M 值时重构平均误差表Tab1The average error table is reconstructed for different M values欠采样观测数 M304050607080重构误差/mm0.290.230.150.010.01e12从表 1 中可以看出，随着 M 的增大，得到的采样数据越多，恢复重构误差逐渐变小，即采样数据越多时，叶尖间隙恢复重构效果越好。综合考虑测量精度及欠采样频率，选择 M=60 进行下述实验。33叶尖间隙测量精度验证为保证叶尖间隙测量的准确性，本文设计了精度验证实验。为获得叶尖间隙数据，在实验室搭建了叶尖间隙测量实验平台，由叶片部分、电机部分和传感器部分组成，如图 5 所示。图 5叶尖间隙数据测量实验平台Fig 5Experimental platform for blade tip clearancedata measurement其中，叶片部分包括叶片、传动轴、联轴器、支撑台;电机部分包括步进电机、闭环驱动器、调速器、稳压开关电源;传感器部分包括传感器夹具、激光位移传感器、螺旋测微仪滑移台。在上述实验平台上，使用激光位移传感器对旋转叶片进行叶尖间隙测量，实验过程如下:使用螺旋测微仪滑移台驱动激光位移传感器移动 6 个位置，首先由激光位移传感器对叶尖间隙进行高频采样，从中提取的位移最小值即为叶尖间隙，然后降低采样频率，在欠采样条件下采集数据，从中提取欠采样状态下的叶尖间隙值，最后通过本文方法，使用压缩感知算法重构高频采样数据，从而验证叶尖间隙测量精度。精度验证实验分为 3 个部分:激光位移传感器每次移动 0.5 mm，移动 6 个位置进行高频采样得到叶尖间隙值，将 0 mm 处叶尖间隙值作为基准值;欠采样方法提取叶尖间隙值，使用欠采样算法，分别得到不同位置提取的叶尖间隙值;使用压缩感知 OMP 算法分别得到不同位置重构提取的叶尖间隙值。将以上 3 种方法的叶尖间隙值进行分析比对，验证叶尖间隙测量精度。实验过程中要注意调整激光位移传感器入射光线与叶轮半径在同一直线上，叶尖间隙实验测量示意图如图 6 所示。2611第 7 期吴军，等:采用 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法http:/journalsnwpueducn/图 6叶尖间隙实验测量示意图Fig 6Schematic diagram of the blade tip clearancemeasurement experiment在对数据结果分析处理时，以螺旋测微仪滑移台位置为自变量，分别对激光位移传感器高频采样数据的叶尖间隙值、欠采样方法提取的叶尖间隙值及其误差、压缩感知重构提取的叶尖间隙值及其误差进行列表分析。多次试验后得到的叶尖间隙数据对比如表 2 所示。表 2各方法提取叶尖间隙数据对比表Tab 2Comparison of blade tip clearance data extraction methods滑移台位置叶尖间隙值欠采样间隙值欠采样间隙值误差重构间隙值重构间隙值误差10.408 50.291 80.116 70.388 70.019 820.909 60.803 60.10600.890 00.019 631.412 31.301 90.110 41.392 00.020 341.899 61.803 70.095 91.879 70.019 952.396 52.299 60.096 92.376 50.020 062.897 22.837 30.059 92.877 10.020 1从表 2 中数据可以得到如下结论:1)欠采样间隙值误差计算方法为叶尖间隙值减去欠采样叶尖间隙值。使用欠采样算法提取叶尖间隙值，欠采样间隙值误差在 0.12 mm 范围内，与重构间隙值误差范围 0.02 mm 相比，此误差较大;2)重构间隙值误差计算方法为叶尖间隙值减去重构间隙值。表中重构间隙值误差范围在 0.02 mm左右，说明基于 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据恢复重构成功，且误差满足测量精度。3)影响重构结果的因素有稀疏度 K、m 序列矩阵中 m 的数值、迭代次数 J 以及欠采样观测数 M。理论上，稀疏度 K 越小时数据被表示的越稀疏，重构效果越好;m 序列矩阵 m 数值、迭代次数 J 以及欠采样观测数 M 越大，采样数据越多，迭代次数越多，重构效果越好。4结论本文为解决高速旋转航空发动机涡轮叶片叶尖间隙欠采样测量问题，提出了适用于欠采样条件下的基于 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知叶尖间隙数据重构方法，并主要做了以下工作，由理论分析得到了压缩感知可应用于叶尖间隙数据重构的结论;构建了 m 序列高斯随机矩阵;使用 K-SVD 算法训练了适合叶尖间隙数据的稀疏矩阵;使用 OMP 算法恢复重构叶尖间隙数据;对重构数据和实验数据进行了对比分析。实验结果表明，基于 K-SVD 字典训练稀疏基的压缩感知重构方法恢复重构叶尖间隙数据效果能较好满足实验误差要求，且该方法具有易于硬件实现、耗时短的优点。不过实验过程中并没有研究各参数对重构结果的影响，如 OMP 算法中稀疏度 K 取值及 K-SVD 算法中迭代次数 J 的取值，下一步的研究还需对各参数进行单一变量研究，找到各参数的最优取值。参考文献 1 许敬晖，乔百杰，滕光蓉，等基于压缩感知的叶端定时信号参数辨识方法 J 航空学报，2021，42(5):524229XU J H，QIAO B J，TENG G，et al Parameteridentification of blade tip timing signal using compressedsensingJ Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2021，42(5):524229(in Chinese)2 罗佳奇，陈泽帅，曾先考虑几何设计参数不确定性影响的涡轮叶栅稳健性气动设计优化J 航空学报，2020，41(10):123826LUO J Q，CHEN Z S，ZENG X obust aerodynamicdesignoptimizationofturbinecascadesconsideringuncertainty of geometric design parametersJ ActaAeronautica et Astronautica Sinica，2020，41(10):123826(in Chinese)3 ZHAO F T，JING X D，YANG M S，et al Experimentalstudy of rotor blades vibration and noise in 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