空间直线拟合新方法_秦锋.pdf
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1、空间直线拟合新方法摘要:首先证明了正交距离最小二乘准则下拟合的空间直线必经过数据中心点,再以此为基础提出了一种空间直线拟合新算法。该方法不用迭代,计算简便。证明了正交距离最小二乘准则和整体最小二乘准则在拟合空间直线上的等价性;为增强算法的抗粗差能力,增加了RANSAC策略识别粗差;结合案例,分别采用BFGS、SQP优化算法以及整体最小二乘法对该方法进行验证,从而证明其准确性和有效性。关键词:空间直线;拟合;正交距离;中心点;奇异值分解中图分类号:P258文献标志码:B文章编号:1672-4623(2023)03-0021-04Spatial Straight Line Fitting New
2、MethodQIN Feng1,WANG Tao2,ZHANG Zhenhu3(1.CNNC Sanmen Nuclear Power Co.,Ltd.,Taizhou 317112,China;2.Wuhan Geotechnical Engineering and Surveying Co.,Ltd.,Wuhan 430030,China;3.Shanghai Research Institute of Survey and Design(Group)Co.,Ltd.,Shanghai 200093,China)Abstract:In this paper,we proved that t
3、he spatial straight line fitted under the orthogonal distance least squares criterion must passed throughthe center point of data at first.On the basis of this,we proposed a new spatial straight line fitting method.This method did not require iterationand was easy to calculate.We also proved the equ
4、ivalence of orthogonal distance least squares criterion and the total least squares criterion in thespatial straight line fitting.At the same time,in order to enhance the algorithm ability to resist gross errors,we added the RANSAC strategy inthe method to identify gross errors.Finally,combining wit
5、h the case,we used BFGS,SQP optimization algorithm and the total least squares meth-od to verify the method proposed in this paper,which could prove the accuracy and effectiveness of this method.Key words:spatial straight line,fitting,orthogonal distance,center point,singular value decomposition收稿日期
6、:2021-12-10;修回日期:2022-03-18。项目来源:上海市科学技术委员会科研计划资助项目(19DZ1201700)。第一作者简介:秦锋(1985),高级工程师,主要研究方向为核电工程测量及激光跟踪测量数据处理,E-mail:。引文格式:秦锋,王涛,张振虎.空间直线拟合新方法J.地理空间信息,2023,21(3):21-24.doi:10.3969/j.issn.1672-4623.2023.03.005Mar.,2023Vol.21,No.3地 理 空 间 信 息GEOSPATIAL INFORMATION2023 年 3 月第21卷第 3 期(1.中国核工业集团三门核电有限公司
7、,浙江 台州 317112;2.武汉市勘察设计有限公司,湖北 武汉 430030;3.上海勘察设计研究院(集团)有限公司,上海 200093)秦锋1,王涛2,张振虎3工程应用中经常遇到直线拟合问题。平面直线拟合通常采用最小二乘(LS)、整体最小二乘1-2(TLS)、正交距离拟合3以及奇异值分解法4。工程应用中不仅涉及平面直线拟合问题,还会遇到空间直线拟合问题。空间直线拟合比平面直线拟合复杂,目前的主要方法为 TLS 法和正交距离拟合法。采用 TLS 法拟合空间直线的研究较多,如杜明芳5基于TLS准则采用牛顿梯度算法进行空间直线拟合;姚宜斌6等先对空间直线方程进行适当变换,再采用TLS法拟合空间
8、直线;邓小渊7、汪奇生8等采用基于PEIV模型的结构总体最小二乘法(STLS)拟合空间直线。采用正交距离法拟合空间直线的研究较少,如曹慧荣9等基于正交距离最小二乘法和最小一乘法,分别采用主成分分析法和单纯形算法求解拟合空间直线参数;潘国荣10等则采用基于正交距离的以加权全最小二乘(WFLS)为准则的特征分解与选权迭代法拟合空间直线。上述方法大多需进行迭代,计算较复杂。本文基于正交距离最小二乘准则提出了一种空间直线拟合新算法。该方法无需迭代,计算简便。同时,为探讨正交距离最小二乘法和TLS法在空间直线拟合上的联系,本文利用拉格朗日乘子法证明了两种方法在空间直线拟合上是等价的。为准确识别并剔除粗差
9、,本文在新算法的基础上添加了基于随机采样一致性算法(RANSAC)11的粗差处理策略。结合案例,本文分别采用数值优化算法和STLS法验证了本文算法的准确性和有效性。地理空间信息第21卷第3期1新方法模型与理论推导1.1空间直线的表现形式空间直线一般可表示为:x-X0A=y-Y0B=z-Z0C(1)由式(1)可知,确定一条空间直线需要空间直线的向量A B C和直线上一点(X0,Y0,Z0)。对式(1)进行适当变换,并令a=AC,b=BC,x0=X0-aZ0,y0=Y0-bZ0,则空间直线方程可表示为:x-x0a=y-y0b=z(2)设拟合空间直线的三维点为(xi,yi,zi),1in,(xi,y
10、i,zi)到待拟合空间直线的几何距离为di,即点到直线的正交距离。结合式(2),di的计算公式为:di=b(xi-x0)-a(yi-y0)2+(xi-x0)-azi2+(yi-y0)-bzi2a2+b2+1(3)1.2正交距离最小二乘准则下拟合的空间直线经过数据中心点证明以正交距离最小二乘为准则,构造空间直线拟合优化函数:fod=i=1ndi2(4)在fod取得最小值时得到的空间直线参数为最佳参数,即求解无约束最小二乘优化问题minfod。根据极值条件可知,fod取极小值时其对参数x0、y0的偏导数应等于0,则有:|fodx0=i=1n-2(b2+1)(xi-x0)+2ab(yi-y0)+2a
11、zia2+b2+1=0fody0=i=1n-2(a2+1)(yi-y0)+2ab(xi-x0)+2bzia2+b2+1=0(5)x0=i=1nxin-ai=1nziny0=i=1nyin-bi=1nzin(6)由式(6)可知,正交距离最小二乘准则下拟合的空间直线经过点(i=1nxin-ai=1nzin,i=1nyin-bi=1nzin,0),将该点在经过该点且向量为a b 1的空间直线上移动,使Z坐标为i=1nzin,此时得到的X、Y坐标分别为i=1nxin、i=1nyin,表明正交距离最小二乘准则下拟合的空间直线必经过数据中心点(i=1nxin,i=1nyin,i=1nzin)。1.3空间直
12、线拟合新方法1.2节已证明了正交距离最小二乘准则下拟合的空间直线必过数据中心点。中心点坐标(xg,yg,zg)可表示为:xg=i=1nxin,yg=i=1nyin,zg=i=1nzin(7)式(1)的空间直线方程可变为:x-xgA=y-ygB=z-zgC(8)将式(8)同乘以A2+B2+C2,并对数据进行中心化处理,令AA2+B2+C2=j,BA2+B2+C2=k,CA2+B2+C2=l,x=x-xg,y=y-yg,z=z-zg,则空间直线方程变为:-xj=-yk=-zls.t.j2+k2+l2=1(9)式中,(x,y,z)为中心化后的坐标;j k l为空间直线单位向量;s.t.为subjec
13、t to的缩写,表示受限制于某条件。中心化处理后点到空间直线的距离可表示为:-di=(k-xi-j-yi)2+(l-xi-j-zi)2+(l-yi-k-zi)2s.t.j2+k2+l2=1(10)点到空间直线的距离平方和可表示为:fg=i=1n-di2s.t.j2+k2+l2=1(11)fg在满足限制条件取最小值时得到的参数j、k、l为最佳参数,即求解以下约束优化问题:minfgs.t.j2+k2+l2=1(12)fg分别对j、k、l求偏导数并置0,则有:|fgj=2ji=1n-yi2-2ki=1n-xi-yi+2ji=1n-zi2-2li=1n-xi-zi=0fgk=2ki=1n-xi2-2
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