基于无单元Galerkin...—非饱和土石坝渗流正演模拟_戴前伟.pdf
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1、第 卷 第 期 年 月水 资 源 与 水 工 程 学 报 ,收稿日期:;修回日期:基金项目:国家自然科学基金项目();国家重点研发计划项目()作者简介:戴前伟(),男,湖南娄底人,博士,教授,博士生导师,主要从事电磁法方法及理论、工程地球物理勘探等方向的研究。通讯作者:雷 轶(),男,湖南邵阳人,博士后,主要从事电磁法和工程地球物理勘探方向研究。:基于无单元 法的饱和非饱和土石坝渗流正演模拟戴前伟,朱泽龙,韩行进,刘 杰,雷 轶(中南大学 地球科学与信息物理学院,湖南 长沙;中南大学 有色金属成矿预测与地质环境监测教育部重点实验室,湖南 长沙;五凌电力有限公司,湖南 长沙;中南大学 土木工程学
2、院,湖南 长沙)摘 要:在土石坝渗流正演模拟中,仅研究饱和区域的渗流场并不能全面真实地反映出土石坝地下渗流状态,非饱和渗流区域的研究同样至关重要,利用无单元 法对饱和非饱和渗流域进行求解。首先从达西定律出发,推导了渗流方程及边界条件,其中详细推导了无单元 法 通过滑动最小二乘法构造形函数,同时利用罚函数的方法计算边界条件。然后,通过与 软件计算出的仅饱和渗流场以及饱和非饱和渗流场进行比较,证明了该方法的准确性及有效性。最后,通过不同的均质和非均质模型,研究了坝体中零压力线、水头值、孔隙压力、含水率的分布。无单元 法只需要通过节点来实现对全域渗流场的精确逼近,解决了对网格单元的依赖问题,与其他数
3、值方法相比,其具有前期处理数据简单和精度高的优点,更适合稳定饱和非饱和渗流场这种复杂情况的正演模拟。关键词:饱和非饱和渗流;无单元 法;滑动最小二乘法;罚函数;土石坝中图分类号:文献标识码:文章编号:(),(,;,;,;,):,:;研究背景饱和非饱和渗流分析对于岩土工程、地下水水文、水文地球物理以及高土石坝的稳定性等许多应用都具有重要意义。在渗流分析领域中,精确确定零压力面和溢出点的位置仍然是一项棘手的任务,事实上,在渗流问题的迭代求解过程中,零压力面的位置和溢出点的位置是不断变化的。目前,在渗流问题的研究中,很多学者仅将研究区域限定在饱和区,而非饱和区内的渗流问题对工程也有重要影响。非饱和区
4、的渗透系数会随着孔隙压力的变化而变化,从而影响零压力面与溢出点的位置。因此,在求解土石坝渗流问题时仅考虑饱和区内的渗流并不全面,可能造成计算结果与实际情况偏差较大的问题。不同的数值模拟方法已经被国内外水文地质学者们应用于渗流研究中。在饱和非饱和渗流分析中,数值模拟方法主要分为有限元法(,)和有限差分法(,)两大类。在有限元计算中,网格离散化是必不可少的,但该方法存在一些缺点:()有限元法不太适合于涉及几何变化、严重畸变、内部边界、裂纹扩展、地形起伏、近场源、形状设计优化等问题的应用。()虽然区域划分的思想非常巧妙,但是分析区域的网格划分可能非常费力和耗时。()通常很难提高局部精度。()在模型中
5、加入新节点时,需要重新网格化。()对于不同类型的单元网格,由于有限元法中形函数的约束条件复杂,使形函数的确定较为困难。无单元 法(,)具有不受网格限制的优势,被广泛应用于各种工程和地球科学模拟中。最初由 等提出,用于解决弹性问题,而后在计算电磁学、计算力学、地球物理学、渗流场 等多个领域被越来越多的学者关注。在 中,节点和背景单元相互独立,消除了有限元法中严格要求的网格离散化所带来的局限性。不依赖网格使该方法变得更加灵活,其形函数的构造采用局部领域中可自动生成的滑动最小二乘法(,),形函数对于任意不规则的节点分布具有灵活性。等运用变分多尺度插值方法改进了 中无插值滑动最小二乘法构造具有插值性质
6、的形函数,使渗流场数值模拟能够达到更高的精度和稳定性。曹阳等在运用 中对目前已提出的数十种关于如何方便准确地处理边界条件的方法进行了归纳总结,比较了这些方法的优缺点,最后提出了展望。王成华等总结分析了大量的全域渗流数值模型,介绍了饱和非饱和渗流数值分析的研究现状,讨论了现有分析方法存在的问题。通过提出合理的边界条件提高了饱和非饱和渗流数值分析的准确性。本文运用 来解决饱和非饱和渗流场问题。减少了对网格单元的依赖,提高了求解精度,其求解过程通过滑动最小二乘法构造水头场函数的形函数,再利用罚函数的方法求解边界条件,最后通过求解控制方程,得到场节点的水头值分布情况,然后利用边界流量控制和水头值更新溢
7、出点。在迭代过程中修正边界溢出点的位置,规定各节点与高程的容差,直至达到收敛标准,得到最终稳态的零孔隙水压力面(即零压力面)和溢出点。饱和非饱和渗流场的数学描述 达西定律达西定律可以用来表示饱和土中水的渗透状态,达西认为土体中水的流速受其水力梯度的影响,二者之间成正比关系:()式中:为渗流速度,;为渗透系数,;为渗流水头值,;为垂直方向坐标,。由公式()可得出饱和域内的渗流速度为:|()式中:为水平方向渗流速度,;为垂直方向渗流速度,;为水平方向渗透系数,;为垂直方向渗透系数,。饱和域中的流体连续性方程为:()水 资 源 与 水 工 程 学 报 年在这种渗透条件下,将公式()代入公式()可以得
8、到二维稳定渗流控制方程:()()()达西定律最初仅针对饱和渗流,但经过大量的研究发现,其同样适用于饱和非饱和渗流,唯一的区别在于非饱和区渗透系数与孔隙压力相关。边界条件为了方便描述饱和非饱和渗流问题,以图 为例,其中 为零压力面,零压力面以上的部分 为非饱和域,以下的部分 为饱和域。图 土石坝中的饱和非饱和渗流示意图如图 所示,饱和非饱和定解问题一般分为以下 类边界条件:()图 中、段,为已知水头边界,需满足:()()式中:、分别为已知上、下游水位高度,。()图 中 段,为不透水边界,需满足:(,)()式中:为不透水边界 的外法线方向;为 的水流单宽流量,;边界 为 段;为高程,。()图 中
9、段,为溢出面边界,此边界为疑似边界,在求解溢出点以下位置时,其渗流量,水头值 。反之,溢出点以上位置的渗流量,。()图 中 段,为零压力面,需满足 。无单元 法的数学基础 建立在 的数学基础之上,的基本原理为利用加权最小二乘法对构造的近似场函数进行加权离散处理。因此无单元 法具有局部函数紧支性的特点。基本原理如图 所示,将二维渗流场模型分成 个节点(实心点)。假定二维渗流场场函数为(),在二维空间内,坐标函数为场节点,给定场函数()在个实心点的值为:()(,)()式中:为每个场节点的场函数。图 滑动最小二乘法近似示意图通过可以将二维渗流场模型分成个节点场值,于是可以得到一个近似场函数():()
10、()()()()()式中:()为维基函数矢量;()为维系数矢量。对于二维情况,()有以下 种选取方案:()(,)(线性基,)()(,)(二次基,)()(,)(三次基,)|()式中:,为高斯积分点位置坐标,。本方法中的()是一个需要求解的变量,为空间场节点 的函数,即:()(),(),()()()的求解需要构建一个加权的离散范数:()()()()式中:()为点的权函数;为点一个有限范围内的场节点;为权函数影响的节点个数。将 取极小值求解()得:()公式()通过公式()展开可得:()()()()其中:()()(),()()()(),()(),()(),|()第 期 戴前伟,等:基于无单元 法的饱和
11、非饱和土石坝渗流正演模拟由公式()可导出:()()()()式中:为二维渗流场的各节点场函数的矢量矩阵。将公式()代入近似场函数式()可得:()()()()()()式中:()为节点 的形函数。将公式()代入由式()可得()的表达式为:()()()()()上式可简化为:()()()()()式中:、均为矢量形式。上述这种构建形函数的方法称为滑动最小二乘法()。权函数的选择由于选取的权函数不同,的精度及其计算复杂程度会发生相应变化,所以如何选取权函数是运用 的重点。权函数选取方式应该遵循以下规律:()权函数的值必须为非负数。()权函数的最大值应该取在每一个场节点上,并且离场节点越远其值越小,而在场节点
12、的影响半径外其值为。()权函数应是一个连续可导的函数。因此,可将权函数表示为两点之间的距离:()()()式中:()为 与 的距离,。权函数的选择是随机的,但需满足以上条件。本文将选取指数函数作为权函数:()()()()()()|()式中:为节点 的影响域半径,;,其中 为相连两节点的距离,值范围为,本文取;为非负的整数,本文取 。在均匀分布的节点上 取值为:()式中:根据节点分布的密度取值;由()基函数确定;为常数,一般取 ,本文取 。无单元 法在渗流场中的数值模拟 基本方程由第 部分理论可知,水头场函数的数学表达式为:()式中:为节点水头值,;为每个高斯积分点需要求解的节点个数;为节点形函数
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