高考数学第四章三角形三角函数.pdf
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1、第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1.给出下列四个命题:3冗 4瓦一 4是第二象限角:3是第三象限角:一4000是第四象限角:一 315。是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个3亢 4兀 冗 4冗解析-4是第三象限角,故错误.3=兀+三,从而3是第三象限角,正确.-4000=-360。-40。,从而正确.-315。=-360。+45。,从而 正确.答案C2.已知点P(t ana,c o s a)在第三象限,则角a的终边在第 象限()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析由题意知t ana0,c o s a0,二。是第二象限角.答案B
2、33.(2017宜春模拟)已知角19的终边经过点P(4,,且sin 6=5,则机等于()16A.-3 B.3 C.3 D.3m 3解析 s in=J16+*J,解得 m=3.答案B2n4.点P从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动不弧长到达。点,则。点的坐 标为)aH 目 b.(4 4)cH-7)-与2冗 1解析 由三角函数定义可知。点的坐标(x,y)满足x=c o s 3=-2,y=sin2兀由T-T答案A例 o ec o s-5.设。是第三象限角,且 2=-c o s2t则2是()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角0解析 由。是第三象限角,知5为第二或第四象限角
3、,doo eCOS ,/2=-c o s2,.c o s2W0,综上知2为第二象限角.答案B6.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角aW(0,冗)的弧度数为D 由C n-2B 冗-3解析设圆半径为八()2则其内接正三角形的边长为折,所以小r=a答案C7.给出下列命题:第二象限角大于第一象限角:三角形的内角是第一象限角或第二象眼用:不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与网形的半径的大小无关:若sin a=sin B,则a与8的终边相同:若c o s 00,则0是第二或第三2象限的角.其中正确命题的个数是A.1 B.2 C.3 D.4解析举反例:第一象限角370。不小于第二
4、象限角100。,故错;当三角 形的内角为90。时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故错;兀 5兀 兀 5兀正确;由于sin6=s in 6,但6与6的终边不相同,故错;当c o s。=兀时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故错.综上可 知只有正确.答案A8.(2016合肥模拟)已知角6的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终 边在直线y=2x上,则c o s 20=()4 3 3 4A.-5 B.-5 c.5 D.5解析 由题意知,t an。=2,即sin 6=2c o s 9,将其代入sinW+c o s?”1中1 3可得 c o s?。=5,故 c o s 20=2c o s2
5、。-1=-5.答案B 二、填空题9.已知角a的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界),则角a用集合可表示为_解析 在0,2n)内,终边落在阴影部分角的集合为E厂),3(7t.5 2hr d,2knA-7C|4 6 雇 Z).(it 5 2ht H-,2hc d-7t|4 6)(Jt eZ)10.设尸是角a终边上一点,且|OP|=1,若点P关于原点的对称点为。,则。点的坐标是.解析 由已知 P(c o s a,sin a),则 Q(-c o s a,-sin a).答案(一c o s a,sin a)7t nii.已知扇形的圆心角为余 面枳为则扇形的孤长等于.解析设扇形半径为/,孤长为/,
6、则 Er r o r!解得 Er r o r!丸答案312.(2017衡水中学月考)已知角a的终边经过点(3。-9,a+2),且c o sa0,角a的终边落在第二象限或y轴的正半轴上.,Er r o r!*,-2aW3.答案(-2313.已知圆O:N+V=4与y轴正半轴的交点为点M沿圆O顺时针运动715弧长到达点M以ON为终边的角记为a,则t ana=()A.-1 B.1C.-2 D.2Ji n解析 圆的半径为2,5的孤长对应的圆心角为4,故以ON为终边的角为Er r o r!*故 t ana=L答案B14.(2016郑州一模)设a是第二象限角,尸(乂4)为其终边上的一点,且c o s4a=5
7、x,则t an a等于)解析因为a是第二象限角,1所以 c o s a=50,即 xo,且a W),sin a0.sin2a14t an2a 1.-十/.sin%=sin2a+c o s2a=t an2a+1=41w,73 Jl-2sin(7r+2)c o s(兀-2)=A.sin 2-c o s 2C.(sin 2c o s 2)解析 1-2sin(H+2)c o s(r c-2)=sin 2-c o s 2)2,|sin 2-c o s 2|答案Ag t ai4.(2017甘肃省质检)向量0=13JH=1 1 y/2A.一3 B.3 c.-3 D.-(r,t an a解析 Va=U/,b(
8、c o s1a=0,.sina=3,F+a)1c o s2/-sin a -3.答案AD 15.(2016,芜湖二测)c o sU2 J=3,1a3iC.-3()B.sin 24-c o s 2D.c o s 2-sin 21-2s in 2c o s 2=sin 2-c o s 2.n a)/ft=(c o s a,1),且 0b,则()21a,1),且 X 1-t an ac o s则 sinU2/=()生B.32亚D.-38答案A14-2sin ac o s a6.(2017孝感模拟)已知t an a=3,则sin2a-c o s2a的值是()1 1A?B.2 C.-2 d.-2sin2
9、a+c o s2a+2sin ac o s a解析原式=sin2a-c o s2a(sin a+c o s a)2 sin a+c o s a l ana+1 3+19二(sin a+c o s a)(sin a-c o s a)=sin a-c o s a=t an a-1=3-1=2.答案BI7.已知 sin a=5,则 sin%c o s4。的值为()1 3 1 3A.-5 B.-5 C.5 D.52 3解析 sin4a-c o s4a=sin%-c o s%=2sin*I 2a-1 5-1 -5.答案B8.(2017西安模拟)已知函数於)=心皿心:+a)+反05(兀1+6,且c os(
10、47t+p)=asina+反o s 夕=3,017)=asin(2 017k+a)+bcos(2 017n+/7)=asin(7t+a)+Zc os(j r+fi)=-asin a-bcos p-3.答案D 二、填空题9.(2016四川卷)sin 750。=1解析 sin 750 sin(720+30)=sin 30。-21答案210.已知a为钝角,sin34,则 sin解析 因为a为钝角,所以-7,所以 si),-(2)Lc o s(H.在答案一 4t an(Jt+a)-sin(-a-2)sin2(a+7t)-c o s(7r+a)-c o s(-a2几)11.化简:sin2a(-c o s
11、 a)c o sa sin2ac o s2a 解析 原式=t an a c o s3a(-sin a)=sin2ac o s2a=1.答案112.(2016全国I卷)已知。是第四象限角,且sinl 4/=5,则解析由题意,得c o s HU,.*般.f=t an吁式一峭 J.4答案-3n13.已知sin(7t+0)=-由c o s(2几一分 网2,则口等于n n 7t nA.-6 B.-5 cl d3解析 sin(7t+G)=一 Vc o s(27t-G),-sin-小cos 9,()7t nt anJ=8 阚2,.*.19-3.答案D14.若sinac o s 6是方程4.r2+2/n.r
12、4-m=0的两根,则/n的值为()A.1+B.1-PC.1土4 D.一 1 一4m m解析 由题意知 sin6+c o s6=-2,sinJ c o s6=4 又(sin 6+c o s 即=1+2sin 0cos a m2 m*-4-1+2,解得 m=l6又/=4胆2-16/n20,./()或加24,/=1-4.答案B 15.sin2l+sin224-+sin290=.解析 sin2l +sin22+sin2900-sin2l +sin22+sin244+sin245+c o s244+c o sMS0+c o s2l +sin2900 (sin2l +c o s2l)+(sin220+c
13、o s22)1 91+(sin244+c o s244)+sin245+sin290=44+2+=2.91答案1一0 伫+a佟一同16.已知 c o s、6)=a,则 c o s16/4-sin)=_.ii第3讲三角函数的图像与性质一、选择题1.在函数y=c o s|2x|,y=|c o s 4 y=co w,y=t an到中,最小正周期为兀的所有函数为A.B.C.D.(D解析 y c o s|2x|c o s 2x,最小正周期为兀;由图像知|c o sx|的最小正周期为n;y=c o sl 6J的最小正周期丁=2=兀;yl an l”3的最小正周期7=2,因此选A.答案A2.(2017石家庄
14、模拟)函数/(x)=t an3的单调递增区间是()()kn n kn 57r l5 一正+司(*z)(kn 虱 kn 5r5一?T+HVez)n 5 亢kn-,kn-12 12(asz)/.it.2n(And-.knTID.6 3/(j t GZ)n n it/7t 2x|解析当E-22x-3履+2(4 Z)时,函数y=t an l 3一单调递增,解kn it kn/n得5_Hx故其最小正周期为瓦,故A正确;易知 函数4)是偶函数,B正确;由函数./(x)=-c o s 2r的图像可知,函数/(x)的13n图像不关于直线x=4对称,c错误;由函数危)的图像易知,函数;(x)在o.-1L 2上是
15、增函数,d正确.答案C|(uo,M-36.(2017郑州调研)若函数Hx)=c o sl 3伙)卬/是奇函数,则夕=_解析 因为危)为奇函数,所以3-3=2+履,9=6+而,AZ.又因为5兀0k兀,故9=6.57t答案工7.(2016哈尔滨、长春、沈阳、大连四市联考)函数y=2sin x+2 c o s x卜e 0,4)的单调递增区间是.1立 依解析j=2出 x+2 c o s x=sin 3/,n n 7C由 2H-20)在卜4上单调递增,在区间H上单调递减,则/=.解析 法一 由于函数危)=sin,仪30)的图像经过坐标原点,由已知并结 7t 1 2n 4n 3合正弦函数的图像可知,3为函
16、数.心)的1周期,故京=5,解得必=5.法二由题意,得人幻ansin36y=1.it n 3由已知并结合正弦函数图像可知,三3=5,解得少=5153答案2 三、解答题9.(2015安徽卷)已知函数/(x)=(sinx+c o sx)2+c o s 2x.(1)求火外的最小正周期:r Jt i0,-(2)求Hx)在区间L 2上的最大值和最小值.解(1)因为/(x)=sin2 x+c o s2 x+2sin xc o s x+c o s 2r=14-sin 2x+c o sr(2r+-l 2x=V2sin 4/+1,2n所以函数7(x)的最小正周期为7=万=兀(2)由的计算结果知,加尸&in F+
17、3+1.0.当xeL7t,2r+4e由正弦函数y=sin x在&V上的图像知,n n n当2x+4=2,即x=C时,)取最大值M+1:n 5n n当Zr+4=4,即x=2时,x)取最小值0.综上,在F之1上的最大值为+1,最小值为0.10.(2017昆明调研)设函数Hx)=sin(1)求人工)的最小正周期:nx2c o s2 8+1.若函数尸则与的图像关于直线E对称,求当/吟时,y=g(x)的最大值.1ali nx n nx4解(l)/(x)=sin 4 c o s 6-c o s 4 sin 6-c o s小 nx 3 me 严 it=2 sin 4 2COS 4 4 3),2n n故4)的
18、最小正周期为T=4=8.(2)法一 在=以外的图像上任取一点(x,g(.r),它关于x=l的对称点(2-戈,其0).由题设条件,知点(2 x,於)在y=/(x)的图像上,E 兀.3 nr 兀xTC 27t当 0&W3时,3.4+3W3,因此夕=式0在区间L 3上的最大值为 n由g(X)max=VCOS3=2.r 4i2法二区间10 1关于x=i的对称区间为b2 且尸式0与y=/(x)的图像关于直线X=1对称,故产=口0在L 3J上的最大值为料上的最大值.由(1)知.Ax)=2j c n当34W2时,-6W4-3点.因此f)在同上的最大值为17g(x)ma x=V3sin 6=2.11.已知函数
19、/(x)=2sin CWQX)在区间I 3d上的最小值是一2,则少的最小 值等于2 3a3 B.2C.2 D.37C 71 M con解析,*t u0,-3x&4,.一 3&a)x4 4.gwc n 3由已知条件知-34-2,.22.答案B12.(2015安徽卷)已知函数x)=/fsin(3x+o)(a 必0均为正的常数)的最小正 27t周期为兀,当x=3时,函数;(X)取得最小值,则下列结论正确的是()A.火29一2/(0)B.火0f2讨一2)C.火一2内(0/(2)D.火2用0%-2)解析 由于Ax)的最小正周期为兀,,心=2,即./(x)=/sin(2x+0),又当x=2n 4冗 n 1
20、1兀3 时,2x+中=3+中=2kit-2(k Z),伊=2kn-6(A Z),又71少0,二叫,n n故/(x)=4sin(2x+6).于是0)=/sin 6,(4+白/(2)=/sinl 6/=/sin18J sinn 5n In n k 又T-Zv 6-44-6 6=5或a=3-3,b=8.kK nB.x=2+&AWZ)kn nD.x=2+12(&c z)兀第4讲 函数y=4s in(x+O)的图像及应用 一、选择题K1.(2016全国n卷)若将函数y=2sin 2x的图像向左平移12个单位长度,则平 移后图像的对称轴为h r冗A.x=2-6()t ez)kit 冗C.x=2-12(as
21、z)解析由题意将函数(Z的解析式为y=2sin1 6),由2x+6=h+2得函数的对称轴为kn nx-2+6(a(z),故选 B.答案B 2.(2017衡水中学金卷)若函数了=$抽(3:9)(30,|尹|2)在区间L 2 J上的 图像如图所示,则。,9的值分别是())2r的图像向左平移12个单位长度后得到函数 jc n2sin20解析由困可知,7=2mi.27r所以 0)个单位后的图像关于夕轴对称,则a的最小值是(n 兀A.%b37C 2kC.2 D,3解析依题意得/(x)=2sinl 6),因为函数/(x-a)=2sin遍像关于y轴对称,所以sinn n*1。+6=而+2,kWZ、即兀 n。
22、6+3,AWZ,因此正数。的最小值是3,选B.答案B北 14.(2016长沙模拟)函数/(x)=3sin2xl o g 2x的零点的个数是21A.2 B.3 C.4 D.52n解析 函数y=3sin2x的周期7=2=%由o g 2x=3,可得.-8.由1 nl o g 2x=-3,可得x=8.在同一平面直角坐标系中,作出函数y=3sin2x和1j,=Io g 5x的图像(如图所示),易知有5个交点,故函数而)有5个零点.答案D5.(2017宜春调研)如图是函数./(x)=sin 2K和函数g(x)的部分图像,则鼠无)的 图像可能是由凡0的图像2尤A.向右平移3个单位得到的nB.向右平移3个单位
23、得到的InC.向右平移五个单位得到的7TD.向右平移%个单位得到的解析 由函数1x)=sin 2r和函数g(x)的部分图像,可得盛x)的图像位于y17jt n n In轴右侧的第一个最高点的横坐标为m,则有五-lZ-G,解得胆=工,22lit n n故把函数./(x)=sin 2r的图像向右平移12-1=5个单位,即可得到函数g fx)的图像,故选B.答案B二、填空题6.(2016龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地 R-6)用函数y=a+4c o sl 6 J(x=123,,12)来表示,已知6月份的月平 均气温最高为28 C,12月份的月平均气温最低为18,C,则1
24、0月份的平 均气温为 r.解析 因为当x=6时,y=a+/=28;当 x=12 时,y=a-4=18,所以 a=23,4=5,x 命-6)所以 y=7(x)=23+5c osL6 J,X 4)所以当 x=10 时,/(10)-23+5c o s6)1-23-5x2=20.5.答案20.5(30,-W q w?7.已知函数儿r)=sinx+0)l 2 2/的图像上的两个相邻的最 伍)高点和最低点的距离为2啦,且过点I 2人则函数烈)的解析式为 修2+(1+1)2解析据已知两个相邻最高和最低点距离为2的,可得。2J=22瓦 n企,解得7=4,故(y=7=2,即危)=sin(?+”.又函数图像过点一
25、协X 2+d-故/(2)=S inl 2/=-sin 9=-2,23n n又-2w/0),无最大值,则=.,且儿r)在区间将加有最小值,解析依题意,x=2=4时,y有最小值,pc 肌 n n 3加I-c wd-一I ,sin 4 3)=,.4(o+3 2kn+2(AEZ).14/个.3=84+5(kEZ),因为火x)在区间bS上有最小值,无最大值,所以3-43,即0W12,令4=0,14得S=3.14答案3三、解答题(t o xd-19.已知函数/(x)=sin c ar+c o sl 6),其中 xR,a)0.(1)当=1时,求/)的值;o,-1(2)当人r)的最小正周期为7T时,求人x)在
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