量子力学 习题(计算题)解答 - 电气工程学院.pdf
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1、习题(计算题)解答第一章绪论1.解根据普朗克的黑体辐射公式以及有,S/r hv06=一C eAv=c,小,万一1(1)(2)pvd v=pd X,(3)d vPLPfd=哗,_ 87 r he 1二一1这里的是黑体内波长介于人与入+d入之间的辐射能量密度。本题关注的是入取何值时,历取得极大值,因此,就得要求必 对人的一阶导数为零,由此可求得相应的人的值,记作4n。但要注意的是,还需要验证0对人的二阶导数在,处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的4就是题目所要求的。具体如下:_ 8 就c 1Pa heeAkT_ he-5 H-及T-1 1h=0n_ he-5 H-AkT=0 1一)而=h
2、e -he5(1-e r)=AkT如果令户善,则上述方程为5(i-e-x)=x这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:%=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有XK把以及三个物理常量代入到上式便知4/=2.9x10-3m这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰 值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定 温度的高低。2.解根据德布罗意关系,可知E=hv如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(线片.胚 cos0 c o s=h它 2E/W cos2 0
3、d O=-h=,k 2其中方=2。2万B=2E-M si r?即 62 V k这样,便有A+B=2E#2E%。(A-B=2E-c o s26t i0=喉 cos2%(26)=需c o s阳3,这里夕=2。,这样,就有A B=(Ed sin/=0(2)根据式(1)和(2),便有A=E出这样,便有口口九E7 V.=hk 2=n I k I kE=hi=nnl-2乃飞 丫 最后,对此解作一点讨论。首先,注意到谐振子的能量被量子化了;其次,这量子化的能量是等间隔分布的。这里也可采用更为简便的方法:将E=+工H2改写为2 22 2一 1 一一(7)2(v w)2该式表明,在相平面中,其轨迹为一椭圆。于是
4、qpd x=兀12a J2E/2=nh 从而得E=注九,(2)当电子在均匀磁场中作圆周运动时,有喙=q uB=p=juu=q BR这时,玻尔一一索末菲的量子化条件就为q BRd RO)=nhn q BR2-27 T=nhq BR2=nh又因为动能E=,所以有2q BR)1 q2B2R22 2=阴802 2nBM B,其中,”8=处是玻尔磁子,这样,发现量子化的能量也是等间隔的,而且 2AE=BM r D具体到本题,有AE=10 x9xl0-24J=9xl0-23Jr根据动能与温度的关系式3 E=kT 2以及lk-K=10-3eV=1.6xl()-22J可知,当温度T=4K时,5=1.5x4x1
5、.6x10-22,=9 6x10-22 j当温度T=100K时,E=1.5x100 x1.6x10-22/=2.4x10-2 J显然,两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。5.解关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程,如两个光子以怎样 的概率转化为正负电子对的问题,严格来说,需要用到相对性量子场论的知识去 计算,修正当涉及到这个过程的运动学方面,如能量守恒,动量守恒等,我们不 需要用那么高深的知识去计算,具体到本题,两个光子能量相等,因此当对心碰 撞时,转化为正负电子对反需的能量最小,因而所对应的波长也就最长,而且,有E=hv=4/此外,还有于是,有疗1.24x10-
6、6=-0.51X106=2.4x10-12 加=2.4x10-3 八加尽管这是光子转化为电子的最大波长,但从数值上看,也是相当小的。我们 知道,电子是自然界中最轻的有质量的粒子,如果是光子转化为像正反质子对之 类的更大质量的粒子,那么所对应的光子的最大波长将会更小,这从某种意义上 告诉我们,当涉及到粒子的衰变,产生,转化等问题,一般所需的能量是很大的。能量越大,粒子间的转化等现象就越丰富,这样,也许就能发现新粒子,这便是 世界上在造越来越高能的加速器的原因。期待发现新现象,新粒子,新物理。第二章波函数和薛定谓方程1.证:对于定态,可令中(不,/)=材(尸)/“)=(尸)6力J=(V*-乎*V乎
7、)2m1 方 Et Et Et Ei=(尸)e h V(y/(f)e h)一(尸)e 力 V(y/(r)e h)2m=兽(尸)?*(尸)一*(尸)(尸)2m可见了与t无关。2.解:Z和5只有分量在球坐标中 V=)+e-+e .d r 0 r 50 rsi n。丽(1)%=兽(%咳;一出*少J 2m=-eikr-e-ikr)-e-ikr(-eikr)rQ2m r d r r r d r rih 1,1.1.1.1.71Vl一-(一r次)(_r+水 _)偏2m r r r r r rhk _ hk _)=r mr mrr与亍同向。表示向外传播的球面波。(2)/2=妙(%*-%*Q2m访1 八一如1
8、 c ikr、1 ikr1-ikr-i=e(e)一一 k(一)“2m r o r r r o r rih A 1 L 1 1 1、l=-(T+很)(T 一 次 一)居2m r r r r r rhk _ hk-=-r%=-rrmr mr可见,:2与7反向。表示向内(即向原点)传播的球面波。3.解:U(%)与/无关,是定态问题。其定态S方程(%)+U(%)叶(%)=E 夕(%)2m d x2在各区域的具体形式为力2 d2I:x0%(%)+U(%)%(%)=Ey/(%)(1)r/n W-v-0 x a-y/3(x)+U(x)y/3(x)=Ei/3(x)(3)2m d x由于(1)、(3)方程中,由
9、于U(%)=8,要等式成立,必须少 1(%)=0匕(%)=0即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为储2(%)+2mE“2(无)二d)2(%)+上2少2(%)=0 ax其解为叶 2(%)=Asin kx+B cos kx根据波函数的标准条件确定系数A、Bo由连续性条件,得2(0)=心(0)(5)=B=0(6)=A si n 版=0A w 0si n ka=0=ka=n 兀Asi n由归一化条件得.mr c由|si n-13 a.2 2mE:k=力2f P/%2 2 n En=-Tn2ma2=120 2八乃j 1A sm xax=1J a.几兀 i ac*sm xd x=-8mna 2
10、=A=,、12.mi-2(%)=Jsmx V a a(n=1,2,3,)可见E是量子化的o-a对应于纥的归一化的定态波函数为2.nr c-Ent,、Jsi n xe h,匕(%)=例。a0,Asin(x+a),4.uh:y/n=2a0,由归一化条件,得1=帆办=4=42*l.cos 手相“相=-X-CC0 xax aM a2 2 z isi n(x+a)ax2a(x+a)d xYl7 t z、7)s(x+a)ax.l2 A,2 a.n7 t.=A a-si n(x+a)2 mr a=A,2a-a归一化常数4 Na5.解:弘(%)=2a也8=/2%-2a 2/e-2 d x 飞兀令也9=0,得
11、d xx=0 x=-x=oo a由6y1(%)的表达式可知,=0,尤=8时,6yA%)=0。显然不是最大几率的位置。而 d 叱%)=-6(z2x2)-2a2x(2x-2a2x3)ea2x2d x N兀-5a2x2-2a4x4)e-a2x2d2CDxx d x20 4a3 1=-2-t-%反演,可得(1),反演步骤与上完全相同,即是完全等价的。=y/(x)=c y/(-x)(4)乘(5),得夕(x)以一 x)=cV(x)(-x)可见,c2=1C=1当c=+l时,(-x)=/(x),=少(%)具有偶宇称,当 C=一1 时,w(x)=(%),=具有奇宇称,故当势场满足U(-%)=(%)时,粒子的定态
12、波函数具有确定的宇称。7.解法一:粒子所满足的S-方程为“(%)+U*)“()=Ey/(x)-按势能U(x)的形式分区域的具体形式为2 dx-oo x-aT T 力 2 d2=Ei/2(x)-a xa(2)11:c.2 r iX)2/7 d x力2 d2a x A=0%3)有限=E=0因此5=Bekx收 3=Fe-k|X由波函数的连续性,有=i/2(-a),=Beka=-Csi nk2a+Dcosk2a(10)=必(一),n kBeka=k2C cos k2a+k2D si n k2a(11)-2(a)=匕(a),n C si n k2a+D cos k2a=Feka(12)=必(a),=k2
13、ccosk2a-k2Dsi n k2a=-kxFeka(13)整理(10)、(n)、(12)、(13)式,并合并成方程组,得e-kaB+si nk2a C-cosk2a D+0=0k1e-kaB-k2 cosk2a C-k2 si nk2a D+0=00+si n k2a C+cosk2a D-e-k,aF=00+k2 cosk2a C-k2 si nk2a D+k1e-k,aF=0解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式,要方程组有非零解,必须e-kasi n k2a-cos k2a0-k2 cos k2a-k2 si n k2a0=00si n k2acos k2a一丁也0
14、k2 cos k2a-k2 si n k2akxe-ka%cos/a0=eka sin 或-sinA/z 0 c o s ka-ekaA2 cos sin A2a 及即sin 22a-kxeka sin%2a&cos%2a一 cos 女2a 0 cos%2a eka-k2sink2a kxeka=e%-秘2e cos2 k2a+keka si n k2a cos k2a+kxk2eka si n2 k2a+keka si n k2a cos k2a-kxekxa kxeka si n k2a cos k2a+k2eka cos2 k2a+kieka si n k2a cos k2a-k2ek,
15、a si n2 k2a=e2ka-2k1k2 cos 2k2a+k;si n 2k2a-k;si n 2k2a=e2ka(kl 一女;)si n 2k2a-2kxk2 cos 2k2a e2ka w 0.(%;k;)si n 2k2a-2kk2 cos 2k2a=0即(心-犬)氏2攵2。-2攵1七=0为所求束缚态能级所满足的方程。解法二:接(13)式k k-Csi nk7a+Dcosk?a=-Ccosk.a H-Dsi nk?aI 2.k kCsi nk2a+Dcosk2a=-Ccosk2a Hsi nk2a ki Kcos k2a+si n k2a si n k2a-cos k2a ki 一
16、cos k2a+si n k2a-(-si n k2a-cos k2a)=0k k-(cos k2a+si n k2a)(si n k2a-cos k2a)ki kik k-(cos k2a+si n k2a)(si n k2a-cos k2a)=0ki ki(cos k2a+si n k2a)(si n k2a-cos k2a)=0k kx2 k k-si n 左 2 cos 左 2。+si n?k2a-cos2 k2a-si n k2a c o sk2a=0k kx k(-1+2ksi n 2k2a-cos 2k2a=0 ki(反一&:)si n 2攵2。一 2k/2 cos 2%2a=0
17、解法三:(n)-(13)=2履。Si n 左2。=ke-ka(B+F)(10)+(12)n 2Dcosk2a=e-ka(B+F)(11)-(13)7,-=k7t gk7a=k.(10)+(12)2 2 1(11)+(13)n 2k2Cc o sk2a=-kF-B)e-ika(12)-do)2Csi nk2a=(F-B)e-i ka(11)+(13),-=k7c t gk7a=-k.(10)-(12)2 23)令=k2a,7=kxa,则J eg=一(d)片+2=(片+后)=红浮(f)自火J 二 或合并(a)、(b):利用tg2k2a=上孽一,得 l-tgk2a2k#?t g2k2a=-(2解法四
18、:(最简方法-平移坐标轴法)t 力2I:一丁夕i+。0 夕i=石1 2U0)力2II:一取(0 x 2a)h25=0=E=0因此5=Aekx“3=Fe-kx由波函数的连续性,有%(0)=%(0),n A=)(4)%(0)=必(0),=kxA=k2C(5)H(2a)=(2a),n k2C cos 2k2a-k2D si n 2k2a=-kFelka(6)收 2(2。)=匕(2a),n C si n 2k2a+D cos 2k2a=Fe2ka(7)代入C si n 2k2a+D cos 2k2a=-C cos 2k2a+Dsi n 2k2a k k、利用(4)、(5),得A si n 2k2a+A
19、 cos 2k2a=-A cos 2k2a+Dsin 2k2a&2 占A(-)si n 2k2a+2 cos 2k2a=0k2 kA。0k k(-)si n 2k2a+2 cos 2k2a=0左2左i从而得(k;一 k;)si n 2k2。-2kxk2 cos 2k2a=08.解:势能曲线如图示,分成四个区域求解。定态S-方程为h2 d22 d x2以%)+U(%)()=对各区域的具体形式为I:-叫+U(x)W=Ei/】(x 0)2II:-叶;+。02=后,2(0 X )24 一 力III:-四一U必=E5(axb)24 0(%)U。a bAX力IV:-+0=E w4 3%)2对于区域I,U(
20、%)=8,粒子不可能到达此区域,故h (Un-E)八而 收2-Ti-犷2=0n 2W+E)r 3十夕3=力24=n对于束缚态来说,有-q Ak(*+)=Ck2 cos k2a-Dk2 si n k2a(8)叶3 3)=%(b)=C si n k2b+D cos k2b=Fekyb(9)3)=M(。)n Ck2 cos k2b-Dk2 si n k2b=-Fk3ek?,b(10)由、(8),得仆 eka+eka _ C cos k2a-D si n k2a k2 eka-eka C si n k2a+D cos k2a(H)由(9)、(10)W(k2 cos k2b)C-(k2 si n k2b
21、)D=(k3 si n k2b)C-(k3 cos k2b)Dcos k2b+si n k2b)C+(-si n k2b+cos k2b)D=0(12)令”工9则)式变为(/3 si n k2a-cos k2a)C+(/?cos k2a+si n k2a)D=0(13)联立(12)、(13)得,要此方程组有非零解,必须cos k2b+si n k2b)si n k2b+cos k2b)=0(J3 si n k2a-cos k2a)(0 cos k2a+si n k2d)k即(,cos k2a+si n k2a)(cos k2b+si n k2b)-(/?si n k2a-cos k2a)-k(
22、-si n k2b+cos k2b)=0勺 _ 一k kP-cos k2b cos k2a+cos k2b si n k2a+p si n k2b cos k2a+左3 左3k k+si n k2b si n k2a+/3sin k7b si n k2a-si n k2b cos k2a k?43-p cos kJy si n k2cl+cos k2b c o sk2a=0k ksi n k2(b 一 s)(夕-)+cos k2(b 一)(/?+1)=0-k3 k3把代入即得t gk2(b-a)=(1+-rV a_)t gk2(b-a)=(l+k2e)此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。从方
23、程(10)之后也可以直接用行列式求解:=0(户-e-ka)一 si n%2 a-c o s k2a0(eka+e-ka)k2-k2 cos k2ak2 si n k2a00si n k2bcos k2b-e比0k2 cos k2b-k2 si n k2bk3ekiak2 c o sk2ak2 si n k2a00=(eka-e-ka)si n k2bcos k2b-e-ak2 cos k2b-k2 si n k2b-si n k2a-cos k2 0-k eka+eka)=si n kJ cos k2b-ekya k2 cos k2b-k2 si n k2b k3ekya=(eka-eka)(
24、-k2k3/%cos k2a cos k2b-kekia si n k2acos k2b-k2k3*/si n k2a si n k2b-kekya cos k2a si n k2b)-kx(ek,b+ekb)(k2k3eb si n k2a cos k2b-k2ekib cos k2acos kjb+k3ek3b cos k2a si n k2b+k2ekib si n k2a si n k此)=(eka-ekia)-k2k3 cosk2(b-a)+k;si n k2(b-a)ekibeka-ek,a)kik3 si n k2(b-a)+k1k2 cos k2(Z?-a)ekb=*一(匕+攵
25、3)攵2 cos 左2 S-)+(代一秘3)si n k2(b-a)ekib eka(Z:,-k3)k2 cosk2(b-a)+(kl+)si n k2(b-a)ekb=0=一(4+k3)k2+(k;-kk3)t gk2(b-a)ekjb-(k1-kjk?+(代+k.kt gkb-a)e-kib=0(代-ke2ka-(kl+kk3)t gk2(b-a)(k1+k3)k2e2ka_(Z _/)女2=0此即为所求方程。第三章量子力学中的力学量_ 1-11、解:(1)U=4 xi 2 i 1 2 2 J 2 1 2 2a 1ro a x o d 一一a x五乐L 2(才菽人公2 2x2ea2x2d
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