2022年高考数学一轮复习专题 专题42 圆锥曲线知识点与典型例题(解析版).pdf
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1、专题42圆锥曲线知识点与典型例题(解版)第一、知识储备:1.直线方程的形式(1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。(2)与直线相关的重要内容倾斜甭与斜率左=tan a,。e 0,)k=%2 一匹点尸(/Jo)到直线4x+g y+C=0的距离 d=/玉二垃()+CyjA2+B2/,:y=k.x+b,k-k,夹角公式:直线 夹角为a,则tan a=-Ll2-y=k2x+b2 1+左2 左 i(3)弦长公式直线V=去+6上两点/(%),8(%2,%)间的距离=5(%2-5)2+32-乂)2|/卸=Jl+l 卜一即=(1+左2)(再+)2 4t|48|=1+(b一2(4)两
2、条直线的位置关系I1:y=k,x+b,(I)1l2.y=k2x+h2 4 _L/=k1k2=-1 I、HI、q k、=-2且4b2(1I)4:4x+8/+g=。Z7 4,x+B y+C-0 4 _L l2=A A2+B B-,=0 4/4 o 44-4与=0_EL4G w2c l w 0 或今卷母=0)两平行线距离公式4:y=kx+bl2:y=kx+b2.I-b2|距离d=J1+/1 AxJcBy+C=0I:Ax+By+。2=0距离d=Ja2+b2二、椭圆、双曲线、抛物线:1椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F1,F2的距离之 和为定值2a(2a|FEl)的 点的轨迹2.与定点和直线的距离之 比
3、为定值e的点的轨迹.(0el)1.到两定点K,Fz的距离之差的 绝对值为定值2a(02al)与定点和直线的距离相等的 点的轨迹.轨迹条件点集:(M I I MF I MF2 1=2a,I F)F2 1 2a.点集M I I MF I=点乂到直 线1的距离.y/,图形B,M 以B,-二J一一方 程标准 方程2 2+=T(a b 0)a2 b22 2x y、F、=l(a0,b0)a2 b2y2=2px参数 方程x=a cos 6y=b sin 0(参数防离心角)卜=a sec 3y=b tan 0(参数防离心角);常:(t为参数)范围-axa,-by a,yeRx0中心原点0(0,0)原点0(0,
4、0)顶点(a,0),(a,0),(0,b),(0,b)(a,0),(a,0)(0.0)对称轴x轴,y轴;长轴长2a,短轴长2bx轴,y轴;实轴长2a,虚轴长2b.X轴焦点Fi(c,0),F2(c,0)Fi(c,0),F2(c,0)嘴,。)准线2 a x=c准线垂直于长轴,且在椭圆 外.2 a x二土 一c准线垂直于实轴,且在两顶点的 内侧.X 2准线与焦点位于顶点两侧,且到顶点的距离相等.焦距2c(c=2c(c=ya2 b2)Ja2+b2)离心率e=(0 e l)ae=l2【备注1双曲线:焦半径P(X。,y。)为圆锥曲线上一点,Fn F2分别为左、右焦点P F,=a+ex0P F2=a-ex0
5、P在右支时:P在左支时:|P F=a+ex|P F=-a-ex0P F2=-a+ex0 P F2=a-ex01 P F|=Xo+T等轴双曲线:双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为y=x,离心率e=VI.共朝双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共朝双曲线.=与 a1 b2=-二=-4互为共轲双曲线,它们具有共同的渐近线:=-=o.a1 b2 a2 h22 2 2 2共渐近线的双曲线系方程:二-4=/1(%,0)的渐近线方程为二-二=0如果双曲线的渐近线为上=0时,a2 b2 a2 b2 a b2 2它的双曲线方程可设为1-J=a2 b2【备注2】抛物线:(1)抛
6、物线/=2px(p0)的焦点坐标是(5,0),准线方程x=-,开口向右;抛物线y2=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0),准线方程*=,开口向左;抛物线2=2py(p0)的焦点坐标是(0,),准线方程丫=-,开 2 2 2 2口向上;抛物线-=-2py(p0)的焦点坐标是(0,-),准线方程丫=,开口向下.2 2(2)抛物线y2=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离,同=%。+与;抛,物线y2=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离=/(3)设抛物线的标准方程为户2P x(p0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为多顶点到准线的距离勺焦点 到准线的距离为P.(4)已知
7、过抛物线j?=2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段A B称为焦点弦,设A(xl,yl),B(x2,y2),则弦长却=再+午+P或|“同=(a为直线A B的倾斜角),%=-p?,再/=尸|=再+(14尸|sin cl 4 2叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例1:已知椭圆的焦点是B(0,1)、F2(0,l),。是椭圆上一点,并且尸丹+。尸2=2乃,求椭圆的标准方程。解:由 PB+PF2=2FiB=2X2=4,得 2a=4.又 c=1,所以 =3.所以椭圆的标准方程是支+芷=1.4 32.已知椭圆的两个焦点为厅(一1,0),凡(1,0),且2a=1
8、0,求椭圆的标准方程._ _ 2 2解:由椭圆定义知c=l,6=/匚1=也.,.椭圆的标准方程为上+匕=1.25 24二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。3例:L椭圆的一个顶点为力(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.解:(1)当力(2,0)为长轴端点时,a=2,b=,椭圆的标准方程为:二+匕=1;4 1(2)当Z(2,0)为短轴端点时,b=2,。=4,椭圆的标准方程为:二+匕=1;4 16三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。r2 v2例.求过点(一3,2)且与椭圆光十彳=1有相同焦点的椭圆的标准方程.2
9、2 q解:因为1=94=5,所以设所求椭圆的标准方程为;+=1.由点(一3,2)在椭圆上知5+a a 5 aa 2 2=1,所以才=15.所以所求椭圆的标准方程为工+匕=1.a2-5 15 10四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。例:已知中心在原点,焦点在工轴上的椭圆与直线+1=0交于4、8两点,M为AB中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.X c解:由题意,设椭圆方程为一+/=1,x+y-1=0由 5),它的两焦点分别是Fi,F2,且FiF2=8,弦八B过点Fi,求人命2的周 a2 25长.因为F/2=8,即即所以2c=8,即c=4,所以4=25+16=41,即。=勺
10、石,所以八命2的周长为4a=4bl.3.设*、B是椭圆战+且=1的两个焦点/是椭圆上的点,且04:72=2:1,求凡的面积.9 4解析:由椭圆方程,得 a=3,h=2,c=H,:.P Fi+P F2=2a=6.又 P Fi:P F2=2:1,:.P F=A,P F2=2,由22+42=(2贴可知尸QB是直角三角形,故。厂内的面积为-P Fi P F2=-X2X4=4.七、直线与椭圆的位置问题例已知椭圆+2=1,求过点尸(g,;且被尸平分的弦所在的直线方程.分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为左,利用条件求人.解法一:设所求直线的斜率为左,则直线方程为y-(二左1-.代入椭圆方程,并
11、整理得(l+2k2)x2-(2k2-2k)x+k2-k+=0.由韦达定理得玉+-尸是弦中点,.,.1+%2=1 故得左=5.所以所求直线方程为2x+4y-3=0.一得日产+M2一只=0.将、代入得口2=即直线的斜率为L.xl-x2 2 2所求直线方程为2%+4y 3=0.双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。2 2例1讨论+工=1表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征.25-k 9-k分析:由于左W9,左W25,则左的取值范围为左9,9k25,左25,分别进行讨论.解:(1)当左0,9-k0,所给方程表示椭圆,此时/=25左,b2=9-k,。2=屋一/=16,这些椭圆有共同的焦点(一
12、%0),(4,0).(2)当9左25时,25-左0,9-k0,所给方程表示双曲线,此时,a2=25-k,b2=9-k,c2=a2+b2=16,这些双曲线也有共同的焦点(一4,0),)(4,0).(3)左25,k=9,左=25时,所给方程没有轨迹.说明:将具有共同焦点的一系列圆锥曲线,称为同焦点圆锥曲线系,不妨取一些左值,画出其图形,体会一 下几何图形所带给人们的美感.二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。例2根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)过点尸(3,9,5且焦点在坐标轴上.(2)C=屈,经过点(一5,2),焦点在1轴上.(3)与双曲线上一匕=1有相同焦点,16 4且经过点(372,2
13、)解:(1)设双曲线方程为土+匕=1 m n P、。两点在双曲线上,9 225 m 16 256 25,、91n n加二一 16n=9解得6.所求双曲线方程为二二十匕=1 16 9说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的.(2):焦点在1轴上,C=,.设所求双曲线方程为:工上一二1(其中0%6)/I 6 A25 4.双曲线经过点(一5,2),-=1Z 6-/1.几=5或4=30(舍去)所求双曲线方程是 y2=l5说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.(3)设所求双曲线方程为:-J=l(04 me MN=3.取等号时,M、P、三点共线,.尸点纵坐标为2,代入方程
14、,求出其横坐标为2,所以尸点坐标为(2,2).12走进高考专题19:圆锥曲线全国卷高考真题综合1(解析版)一、单选题1,2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)已知/为抛物线C:炉=2内(p0)上一点,点/到。的焦点的距离为12,到 轴的距离为9,贝Up=()A.2 B.3 C.6 D.9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为H由抛物线的定义知|4尸|=3+5=12,即12=9+5,解得p=6.故选:C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径,考查学生转化与化归思想,是一道容易题.2,2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)
15、已知。:f+y 22x 2y 2=0,直线/:2x+y+2=0,尸为/上的动点,过点。作。的切线夕/,06,切点为48,当|尸最小时,直线48的方程为()A.2x y 1 0 B.2x+y 1 0 C.2%y+l=0 D.2x+y+l=0【答案】D【分析】由题意可判断直线与圆相离,根据圆的知识可知,四点4尸,反共圆,且根据|尸陷小同=4产油=4户力|可知,当直线0_L/时,|孙小4同最小,求出以产为直径的圆的方程,根 据圆系的知识即可求出直线的方程.【详解】圆的方程可化为(X+(71)2=42x l+l+2 厂点 M到直线/的距离为d=l/=奏2,所以直线/与圆V22+l2相离.依圆的知识可知
16、,四点4尸,5,M四点共圆,且48 J.尸,所以131PMMb|=4S4”=4x;x|P/|x|/卜川尸H,而 网=,何_4,当直线必_L/时,|P|m in=/,臼L=l,此时|尸最小.f 1 1 f 11 z、1 1 y x H x=一/.MP 1=(x-1)即 y x H,由 2 2 解得,y.2 2 2 2x+y+2=0 所以以MP为直径的圆的方程为(%1)(%+1)+丁(7-1)=0,即x2+y2-y-1=0,两圆的方程相减可得:2x+y+l=0,即为直线力5的方程.故选:D.【点睛】本题主要考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用,以及圆的几何性质的应用,意在考查学生的转化能力和数学
17、运算能力,属于中档题.3,2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标H)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2%-丁-3=0的距离为()a 亚 2指 3y5 _ 4a/5A -D -L-U-5 5 5 5【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限,设圆心的坐标为(见。),。0,可得圆的半径为。,写出圆的标准方程,利用点(2,1)在圆上,求得实数。的值,利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2%-丁-3=0的距离.【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆与至少与一条坐标轴相交,不合乎题意,所以圆心必在第一象限,设圆心的坐标为(Q,Q),则圆的半径为。,
18、圆的标准方程为(.丫一4)2+5-4)2=。2由题意可得(2+(1 a)?=/,可得/6a+5=0,解得。=1 或a=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),14圆心(1,1)到直线2x-3=0的距离均为&=|2x l-l-3|275V5-5圆心(5,5)到直线2x-y-3=0的距离均为么|2x 5-5-3|_ 275 忑甘圆心到直线2%丁 3=0的距离均为d-2|_ 2后所以,圆心到直线2%y 3=0的距离为安.故选:B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算,求出圆的方程是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.4,2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标H)2 2设。为坐标原点,直
19、线X=与双曲线c:三=1(。0力0)的两条渐近线分别交于。,E两点,若。的CT D面积为8,则。的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.32【答案】B【分析】2 2 人因为C:=-二=1(。0,60),可得双曲线的渐近线方程是y=,与直线1=。联立方程求得Q,两点 a h a坐标,即可求得|。|,根据OQE的面积为8,可得值,根据2c=2籽工庐,结合均值不等式,即可求得答案.【详解】2 2-与=1(。0 1 0)a b双曲线的渐近线方程是夕=+-Xa2 2.直线x=a与双曲线C:A-2=l(a 0,6 0)的两条渐近线分别交于D,E两点Q-D不妨设。为在第一象限,在第四象限x-a(x
20、-a联立 b,解得y=y=bl a 故。(q/)15x=a联立尸一纥,解得 ax-a故 E(a,b)|E D=2b。面积为:S0D E=ax2b=ab=2 2.双曲线 C:二一二=l(a0,60)a b 其焦距为2c=2,/+/22缶*=2而=8当且仅当。=6=2应取等号.C的焦距的最小值:8故选:B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使 用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.5,2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标III)设。为坐标原点,直线1=2与抛物线C:y2=2px
21、(p0)交于。,E两点,若QDJ_O,则。的焦点坐标为()A.,()B.别 C.(1,0)D.(2,0)【答案】B【分析】7T根据题中所给的条件OQ_LO,结合抛物线的对称性,可知=,从而可以确定出点。的坐4标,代入方程求得夕的值,进而求得其焦点坐标,得到结果.【详解】因为直线1=2与抛物线/=2px(p0)交于瓦。两点,且QD _L OE,根据抛物线的对称性可以确定/D O x=/E O x=?,所以。(2,2),代入抛物线方程4=4P,求得夕=1,所以其焦点坐标为(;,(),故选:B.16【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题,涉及到的知识点有直线与抛物线的交点,抛物线的对称性,点在抛物线
22、上的 条件,抛物线的焦点坐标,属于简单题目.6,2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标III)2 2设双曲线C:=1(0,Z0)的左、右焦点分别为吊,F1,离心率为石.尸是。上一点,且产1P_LF2P.若 q bP尸诉2的面积为4,则a=()A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【分析】根据双曲线的定义,三角形面积公式,勾股定理,结合离心率公式,即可得出答案.【详解】:=石,.”=耳,根据双曲线的定义可得|尸片HP用1=2%S4P FF2=刊计|咋|=4,即I尸片|忖司=8,:P F+P F=(2c.(|P I-P F21)2+2|-|=4c2,即/_5/+4=0,解得 Q=l,故选
23、:A.【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用,涉及了勾股定理,三角形面积公式的应用,属于中档题.7,2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I卷)2 _ _ _设抛物线C:2=4式的焦点为尸,过点(-2,0)且斜率为的直线与。交于M,N两点,则可7.丽=A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【分析】首先根据题中的条件,利用点斜式写出直线的方程,涉及到直线与抛物线相交,联立方程组,消元化简,求得两点(1,2),N(4,4),再利用所给的抛物线的方程,写出其焦点坐标,之后应用向量坐标公式,求得FM=(0,2),丽=(3,4),最后应用向量数量积坐标公式求得结果.【详解】1
24、72 2根据题意,过点(-2,0)且斜率为的直线方程为y=(%+2),V=2(x+2)与抛物线方程联立|3,消元整理得:y2-6 y+8=0,=4x解得 M(1,2),N(4,4),又尸(1,0),所以闲=(0,2),丽=(3,4),从而可以求得西.丽=0 x3+2x4=8,故选D.【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题,在求解的过程中,首先需要根据题意 确定直线的方程,之后需要联立方程组,消元化简求解,从而确定出(1,2),N(4,4),之后借助于抛物线的方程 求得尸(1,0),最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标,之后应用向量数量积坐标公式求得结果,也可
25、以不 求点M、N的坐标,应用韦达定理得到结果.8,2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标I卷)2已知双曲线C:-y2=l,O为坐标原点,尸为。的右焦点,过户的直线与。的两条渐近线的交点分别 3为M、N.若OMN为直角三角形,则|MV|=A.-B.3 C.2a/3 D.42【答案】B【详解】分析:首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率,并求得其右焦点的坐标,从而得到/bON=30,根据直角 三角形的条件,可以确定直线的倾斜角为60或120,根据相关图形的对称性,得知两种情况求得的结果是 相等的,从而设其倾斜角为60,利用点斜式写出直线的方程,之后分别与两条渐近线方程联立,求得”(
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