基于改进迁移矩阵法的滚珠丝杠横扭耦合振动研究.pdf
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1、第49 卷第5期2023年10 月文章编号:16 7 3-519 6(2 0 2 3)0 5-0 0 42-0 8基于改进迁移矩阵法的滚珠丝杠横扭耦合振动研究兰州理工大学学报Journal of Lanzhou University of TechnologyVol.49No.5Oct.2023吴沁*,罗殿立,杨冉冉(兰州理工大学机电工程学院,甘肃兰州7 30 0 50)摘要:传统2 4阶迁移矩阵法只能用于研究梁类系统的单自由度振动问题,若将其直接应用于研究含有耦合振动的梁类系统时,系统固有频率计算结果将会出现很大误差.对此,以机床滚珠丝杠进给系统为研究对象,对其进行简化并将滚珠丝杠视为柔性梁
2、,在考虑梁转动惯量和横向剪切变形的基础上,采用Timoshenko梁理论将传统2 4阶迁移矩阵法改进到6 阶,建立系统的力学和理论模型,获得包含横向振动和扭转振动的系统状态迁移矩阵方程。通过对比系统前两阶固有频率的仿真结果与实验结果,验证了改进迁移矩阵法的合理性和精确性.另外,通过数值仿真研究负载对系统前两阶固有频率和滚珠丝杠横扭耦合振型的影响,探究滚珠丝杠的横扭耦合振动特性。关键词:滚珠丝杠;Timoshenko梁理论;改进迁移矩阵法;固有频率;耦合振动特性中图分类号:TH113.1Research on transverse torsional coupling vibration of
3、ball screw(School of Mechanical and Electrical Engineering,Lanzhou Univ.of Tech.,Lanzhou 730050,China)Abstract:The traditional 24-order transfer matrix method can only be used to study the single degreeof freedom vibration of beam systems.If it is directly applied to the study of beam systems with c
4、oupledvibration,a large error will exist in the calculation results of the natural frequencies of the system.In or-der to solve this problem,the ball screw feed system of the machine tool is taken as the research object inthis paper,which is simplified and regarded the ball screw as a flexible beam.
5、Based on considering themoment of inertia and transverse shear deformation of the beam,the traditional 24-order transfer matrixmethod is improved to 6-order by using Timoshenko beam theory.The mechanical and theoretical modelof the system is established,and the system state transfer matrix equation
6、including transverse vibrationand torsional vibration is obtained.By comparing the simulation results and experimental results of thefirst two natural frequencies of the system,the accuracy and rationality of the improved transfer matrixmethod are verified.In addition,the influence of load on the fi
7、rst two natural frequencies of the systemand the transverse torsional coupling vibration modes of the ball screw are studied through numerical simu-lation,and the transverse torsional coupling vibration characteristics of the ball screw are explored.Key words:ball screw;Timoshenko beam theory;improv
8、ed transfer matrix method;natural frequency;coupled vibration characteristics目前滚珠丝杠进给系统因其高精确度和高稳定性而被广泛应用于各种机床和驱动装置中,不仅如此,它还经常被应用在高速进给环境中.但是高速运收稿日期:2 0 2 2-0 8-2 5基金项目:国家自然科学基金(517 6 50 39)通讯作者:吴沁(19 7 3-),女,安徽上人,副教授.Email:文献标志码:Abased on improved transfer matrix methodWU Qin,LUO Dian-li,YANG Ran-ran
9、性是十分有必要的。国内外对于连续体振动特性的分析主要采用近似离散化的方法:一种是对研究的连续系统根据边界条件施加一些合理约束,将系统各种位移假设成各自所对应的基函数与其所对应广义坐标的乘积,动势必会造成滚珠丝杠的机械振动,对系统传动精度造成严重影响.因此,分析滚珠丝杠本体的振动特第5期从而使无限维自由度的连续系统变为有限维自由度,其中使用最频繁的方法为Ritz级数法;另一种是将连续体的质量以合适的比例集中到有限个质点上,质点之间采用无质量的弹性元件进行连接,由此便将连续系统近似为有限维自由度系统,其中使用最频繁的是迁移矩阵法2 .迄今为止,对于工作过程的滚珠丝杠一般有3种旋转梁模型可供选择,即
10、Euler-Bernoulli 梁、Rayleigh 梁和 Timoshenko 梁.3种模型均可以用于分析细长梁,但由于Euler-Ber-noulli梁和Rayleigh梁忽视了梁横截面的剪切变形,导致它们计算所得梁变形量将低于实际梁变形量,所以采用Timoshenko梁来分析细长梁将获得更好的精确度3.学者们已经提出了大量动力学模型可深人了解滚珠丝杠传动的振动特性.付振彪等4考虑滚珠丝杠进给系统中各结合面接触刚度的影响,提出了新的有限元建模方法,用于研究滚珠丝杠进给系统的动态特性.钱荣荣等5 通过有限元分析提出了基于混合基函数的Ritz级数法,分析了滚珠丝杠轴向和扭转的振动特性.Zhan
11、g等6 提出了刚柔耦合振动的综合建模方法,考虑了滚珠丝杠与刚性部件之间的刚柔耦合,并利用Ritz级数法对系统进行离散化,最终对滚珠丝杠在各种工况下的振动特性开展研究,并通过实验验证.Wu等在文献6 的基础上引入了基于混合基函数的Ritz级数法,研究了丝杠轴向、扭转、横向和弯曲的振动特性,并通过实验验证.肖勇刚等8 在传统传递矩阵法的基础上,结合龙格-库塔法推导了自由振动下变截面梁的节段和整体传递矩阵,结合边界条件建立了梁自振频率特征方程,运用Wolfram Math-ematic 编程软件求解其自振频率,确定出前n 阶振型.程胜杰等9 通过Riccati迁移矩阵法对发电机的轴系进行了计算分析,
12、得到了轴系扭转振动的固有频率和振型.Lee 等10 1建立了基于经典梁理论的牵引力传递矩阵法,研究了轴向拉伸载荷和移动速度对轴向移动梁在3种不同端部条件下固有频率的影响,通过将预测结果与以往研究结果进行比较,验证了该方法的准确性.Feyzollahzadeh等1I 将传递矩阵法计算过程中“零矩阵”的逆矩阵阶数从2 n降到n,使得状态向量和常系数向量的行被改变,传递矩阵由此变为块对角矩阵,这在逆矩阵的计算中更有效,并以旋转梁为例进行了振动分析.Lee121建立了精确传递矩阵,分析了旋转惯性对锥形Rayleigh梁自由振动特性的影响,使用Frobenius方法求解微分方程,并制定传递矩阵从起点到终
13、点变换中位移、弯矩和剪切力的状态向量,,并与之前研究中预测的吴沁等:基于改进迁移矩阵法的滚珠丝杠横扭耦合振动研究角接触球轴承联轴器丝杠何服电机滚珠丝杠口负载ms图1系统模型及其简化模型Fig.1 System model and its simplified model将滚珠丝杠等效为有限个集中质量,并通过无质量弹性细杆进行连接,负载同样等效为通过无质量刚性细杆连接在圆盘的集中质量,如图2 所示.其中,e为圆盘半径,l为划分集中质量后每段弹性杆的长度,m(i=0,1,2,,n)为按照设定比例划分后每个集中质量的大小。mmFig.2Discrete diagram of ball screw43
14、结果比较,证明所提方法的准确性.Vicente等13 和Henke等14 均采用Ritz法建立了滚珠丝杠进给系统动力学模型,但模型过于简单,并不能完整表述系统的动力学行为.Zhang等15 利用集中参数法建立了滚珠丝杠进给系统的等效动力学模型,研究了高加速度滚珠丝杠进给系统的动力学特性Zhang等16 1根据欧拉-伯努利梁理论,利用分段法研究了切削过程中预紧滚珠丝杠的横向振动.综上所述,虽然传统迁移矩阵法在分析梁单自由度振动问题时,相比有限元法和集中质量法更加简明易懂,但随着科学技术的发展,单自由度的振动问题早已不能满足工程实践的需求.因此,本文利用Timoshenko梁理论对传统迁移矩阵法进
15、行改进,建立系统的耦合振动方程,改善传统迁移矩阵法的不足,为研究梁耦合振动问题提供新思路.1理论分析1.1建立模型图1为系统模型及其简化模型.将滚珠丝杠进给系统左、右两端的滚动轴承等效为弹簧,同时将丝杠螺母和工作台等效为安装在丝杠任意位置的负载圆盘.丝杠总长度为L,负载圆盘的集中质量为m,左端弹簧刚度为K。,右端弹簧刚度为Kn.深沟球轴承丝杠螺母knmei+1mi-1m,图2 滚珠丝杠离散化示意图工作台mi+n-1mM441.2改改进迁移矩阵法的应用取集中质量m。进行受力分析,如图3所示,作用在集中质量。两侧截面的内力和力矩包括弯矩M、剪力Q和扭矩T.其中,下标为集中质量的序号,上标L和R分别
16、为集中质量左侧和右侧截面处所取值,I为集中质量m。右侧截面和梁l1左端截面的质量惯性矩.假设系统简谐频率为w,W。和o分别为集中质量。的横向振幅和扭转振幅,则(1)根据材料力学可知,wm。W。和 I。分别为作用在集中质量。的惯性力和梁l1左端截面的动量矩.同时,根据Timoshenko梁理论可知,造成梁转角的原因是弯矩和剪力.QMTTCkmo7图3集中质量的受力分析Fig.3 Stress analysis diagram of concentrated mass图 4为 Timoshenko 梁弯曲和剪切变形的叠加3.左图中剪力Q导致微元产生了剪切角,此时并没有考虑微元转动;而右图中弯矩M导
17、致微元产生了转角9 o,但是并不会改变o.因此,集中质量m。的总转角为(2)MQQ%图4Timoshenko梁弯曲和剪切变形的叠加Fig.4Superposition diagram of bending and shear de-formation of Timoshenko beam同时,因在集中质量。有M=MR故。一.根据牛顿第二定律和材料力学可得:Q=Q+w*moW-koW(4)QR=kAG(5)式中:k为材料的剪切系数,由于滚珠丝杠简化为柔性梁且横截面为圆形,所以k取0.9;A为横截面的面积;G为材料的剪切弹性模量.对式(5)两边取微分并将式(4)带入可得:兰州理工大学学报=0.9A
18、G由图3可得:T=T+a108令q。=W,p,0,M,Q,T JT,表示集中质量m。的状态矢量(下文将采用同样的方式表示集中质量的状态矢量).根据式(1、3、4、6、7)可得集中质量mo左端截面到右端截面的状态迁移矩阵方程为WRMQLTJ0tom.W10M(amo-ko)0.9AG0(amo-ko)一10000式(8)可以表示为qB=Bs.oq式中:Bs.为集中质量m。左端状态矢量到右端状态矢量的迁移矩阵,即。的站迁移矩阵.同理,效仿集中质量m。的受力分析过程,便可以得到集中质量m,的站迁移矩阵Bs.n和其他集中M质量的站迁移矩阵Bs.i,即将安装在滚珠丝杠的负载等效成长度为e的刚性无质量杆和
19、集中质量msi的组合,并将其安装在集中质量.滚珠丝杠和负载结合部的受力分析如图5所示.因存在偏心矩e,故一旦此位置发生扭转位移,离心力一定会导致梁产生横扭耦合振动.根据图5、连续条件和材料力学可得,丝杠负载(3)msi安装在集中质量m;的振幅、扭转角、弯矩和剪力的动力学平衡方程分别为W=WR,=p3,Ms=MRQR=Ql+mWl+aemsps式(12)等号右边的第2 项和第3项分别为横向位移和扭转位移导致的惯性力.再根据式(6)和式(12)可知该位置的转角平衡方程和扭矩平衡方程分别为第49 卷(amo-ko)W(6)(7)00000W10 00001000010000qR=Bs.q:QT0(8
20、)(9)(10)(11)(12)第5期吴沁等:基于改进迁移矩阵法的滚珠丝杠横扭耦合振动研究45TYMRXTRmeQeWTMMRi-1QRmsi0emsiMTBo?m.WMm,QRTHIMRTR+OpRQ4图6 站与场之间的受力关系图Fig.6 Stress relationship between stations and fieldsMRTR图5滚珠丝杠和负载结合部的受力分析图Fig.5 Stress analysis diagram of ball screw and load 0mWwemsips2L=0%0.9AGT?=Th+aemWu+aemags式(14)等号右边的第2 项是切向力
21、导致的转矩,第3项是扭转产生的动量矩。根据式(11 14)可得集中质量msi左端截面到右端截面的状态迁移矩阵方程为100007WRMQLTSi式(15)可以表示为qR=Bs.siq式中:Bs.si为集中质量ms左端状态矢量到右端状态矢量的站迁移矩阵.已知集中质量m;与负载msi之间是通过无质量刚性细杆连接的,则当负载位于任意集中质量时,对应站迁移矩阵便为Bs,ih二Bs.i+Bs,s由此可得:qR=Bs.ihq:在传递矩阵法中,可将无质量弹性杆表述为场.为了将场与站依靠位移、内力和力矩联系起来,取站m;与其两侧的场l;和l;+1进行受力分析,如图6所示.无质量细杆l;的受力分析如图7 所示。由
22、于细杆无质量,所以剪切力Q对梁转角不T(13)0.9AG(14)0WL01mwems210000.9AG0.9AG00wmsiwemsi22wemsiWMRRWi-10图7 无质量细杆1;受力分析图Fig.7 Stress analysis diagram of massless thin rod l;0000M01000010T000X造成影响,即。=o.基于图7 由平衡条件可得:QR1=Q,TR1=TI(17)由材料力学可知,图7 中细杆l;上任意一点的弯矩、转角和挠度可分别表示为QM()=MR+QR(-i-1)0:(2)=0%i+前M;()dc(15)i-1Wi()=WR+0:()da-
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