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基于高考题探究高中数学解题教学研究——以不等式为例.pdf
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1、基于高考题探究高中数学解题教学研究 以不等式为例张春晓(福建省福州市福建师范大学附属中学 3 5 0 0 0 7)【摘要】不等式是高考数学考点之一,围绕不等式设计的高考题不胜枚举,包括不等式证明题、比较大小问题、求最值问题、综合应用问题等多种类型题.学生只有掌握不等式问题的解题技巧,才能够轻松应对不等式问题.本文以人教版高一数学必修第一册“一元二次函数、方程和不等式”一章的解题教学为例,分析如何应用高考题培养学生的解题能力,指出教师可以通过提炼考点分析解题原理、归纳考题总结解题方法、模仿考题设计练习作业、基于高考评价体系完善解题教学评价等多种方式提升解题教学质量,以供参考.【关键词】高考;高中
2、数学;解题教学;策略高考题综合考查了学生对高中数学理论知识、数学方法的掌握情况,是一类具有较高育人价值的教学资源.基于高考题对学生展开解题教学,不仅可以对学生阶段性学习情况进行诊断,还可以锻炼学生的解题能力,活跃学生的解题思维.然而,鉴于高考题本身难度高、综合性强的特点,部分学生在解高考题时存在困难.教师应当发挥自身的引导教学作用,挖掘高考题内蕴藏的数学原理,并用通俗易懂的语言讲解类型题的解题方法,促进学生的综合提升.1 围绕考点分析原理,奠定数学解题基础数学高考题的设计以 全国高考考试大纲(以下简称 考纲)为基准,围绕 考纲 中的具体理论知识设计问题,意图让学生应用 考纲 中的知识点解题1.
3、完成“一元二次函数、方程和不等式”一章的知识教学后,教师可应用多媒体呈现高考题.先让学生分析高考题的主要考点,引导学生对相关数学理论知识的全面复习.之后,组织学生应用相关知识点解答问题,在学生自主尝试、自主探究之后,教师为学生讲解相关知识点的具体应用,进一步加深学生对基本原理的感悟,为提升学生的解题能力奠定基础.例如 教师可呈现如下例题:(2 0 1 9年天津理科)设x0,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)x y的最小值为.这是一道典型的不等式求最值的问题,其主要考点为“基本不等式”.针对这一考点,教师可组织学生回顾相关知识,如:基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式,
4、其表述为两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数;基本不等式的应用前提是“一正、二定、三相等”,其中,“一正”指的是两个式子都为正数,“二定”指的是用基本不等式求最值时,和或积应当为定值;“三相等”指的是当且仅当两个式子相等时,才能取等号.在学生回顾完相关知识后,教师指导学生应用具体理论分析问题,并在黑板上板书解题过程:由x0,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)x y可被变形为2x y+x+2y+1x y=2x y+6x y=2x y+6x y;根据基本不等式得到2x y+6x y2 2x y6x y=43x y0;当且仅当2x y=6x y时,即x y=3,x+2y=5时,
5、即x=3,y=1,或x=2,y=32 时,等号成立,故(x+1)(2y+1)x y的最小值为43,得到答案为4 3.针对高考题进行解题教学时,教师可以先组织学生分析高考题的数学考点,在提炼考点的基础上引导其联想、回顾相关知识,为其夯实理论解题基础.之后,再与学生共同应用具体理论解决问题,通过数学推演、数学运算求得问题答案,以此巩固学生142 0 2 3年1 0月上高考高分之路 数理天地 高中版知识基础,锻炼学生解决典型类型题的能力.2 综合考题总结方法,提升数学解题能力数学思想是对数学事实、数学理论的本质认识,数学方法指的是为了达到数学目的而采取的手段、方法2.数学思想与数学方法有着深刻联系,
6、且都可被用于解题教学当中.应用高考题进行解题教学时,教师可以对考题进行分类整理,分析不同类型题适用的解题思想或解题方法,并为学生总结思想方法的应用技巧,让学生在解题学习的过程中形成清晰的解题思路,从而提升学生的数学解题能力.下面,文章将以“一元二次函数、方程和不等式”的解题教学为例,分析应用高考原题提升学生解题能力的策略.2.1 用放缩法解证明问题放缩法是一种放宽或缩小不等式范围的数学方法,经常被用在多项式中,如“舍掉一些正(负)项而使不等式各项之和变小(大)”或“在乘积式中用较大(或较小)因式代替”等.放缩法是解不等式证明问题的主要方法之一.教师可以收集高考数学的不等式证明问题,并为学生分析
7、题目特点,演绎应用放缩法解不等式证明问题的过程,让学生在学习、模仿的过程中领会放缩法的本质,学会用放缩法解决类似问题.例如 教师可应用如下高考题(2 0 1 3年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷):设n为正整数,r为正有理数.()求函数f(x)=(1+x)r+1-(r+1)x-1(x-1)的 最 小 值;()证 明:nr+1-(n-1)r+2r+1nr-1时,(1+x)r+1(r+1)x+1(伯努利不等式);所证不等式即为nr+1-(r+1)nr(n-1)r+1,nr+1+(r+1)nr(n+1)r+1;如 果n 2,则nr+1-(r+1)nr(n-1)r+1(n-r-1)1-1n r(n
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