2022中国数学奥林匹克希望联盟夏令营%28三%29.pdf
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1、引用格式:2 0 2 2 中国数学奥林匹克希望联盟夏令营三)J.中等数学,2 0 2 3(4):49-5 4.文章编号:10 0 5-6 416(2 0 2 3)0 4-0 0 49-0 6中图分类号:G424.79文献标识码:A492023年第4期2022中国数学奥林匹克希望联盟夏令营(三)第一试一、填空题(每小题8 分,共6 4分)一、填空题(每小题8 分,共6 4分)1.计算:sin(arcsin 0.7+arcsin 0.3).元COSarcsin 0.3-arcsin 0.7-.22.设集合A=(1,2),B=(3,4),X=imnlz=+bi,其中EA,bEB,z是实系数方程x+m
2、x+n=0的根.则X中所有元素之和是223.已知椭圆厂1(ab0),其622a左、右焦点分别为F(-c,0)、F(c,0).实数、b、c 依次构成等比数列.设P为上任意一点,I为PFF,的内心,yp、y,分别为点P、I的纵坐标.则业P=4.已知正四面体ABCD的顶点C在平面由(1)知e-*-x+1.则h(x)0,h()单调递增,故xz随着的增大而增大,且x2一x=%2因此,2一x随着的增大而增大.e2-1(ii)由a=2 f(x2)=1-2e22sin x2-2,即证要证(x2)1+2sin2e22内,顶点B在平面内的正投影为0,直线BC与平面所成的角为6 0.当顶点A与点O的距离最大时,直线
3、CD与平面所成角的正弦值是5.已知在ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、C,ZA=9 0,边BC上一点D满足BD:D C=c:4b.若AD=1,则b+c的最小值是6.已知数列ia,共有7 项,且a=aja7,S,为ia,的前n项和,满足2 S,=a,+a,(1n7).则满足上述条件的数列ia,共有个7.已知,z,r,为n次首一多项式P()的所有实数根.若P(L)=2 020+2 022 1,则n1arctan r+arctan r2+.+arctan r,=8.将6 6 的方格表中的12 个小方格染2+sin x20.即证2-x2-专2+sin x设(x)=2-x-2+sinx-cos
4、 x则(x)=2(cos x-1),20.0():e故(x)单调递减,且()(0)=0.从而,(x)在区间(0,+)上单调递减,且(x)0,0,+x2=2kl,其中为正常数.若不等式(-)K对任意(xi,x2)ED恒成立,试求k的取值范围.10.(20分)已知直线1分别与两抛物线1:y=2px(p0)和2:y=4px交于四个不同的点 A(x,i)、B(x 2,y 2)、D(x,y s)、E(x 4,y 4),且yyyy3.设1与x轴交于点M,若AD=AM6BE,求的值.ME11.(20分)已知数列1a,l、b,满足=2,b=0,az=2,b,=2,且对任意正整数n3,有a,=an-lan-2-
5、b,-bn-2,b,=an-1bn-2+an-2br-1.求1a2 022l的末两位数字.加试一、(40 分)已知正实数a,(i=1,2,n)满足a+az+a,=1.证明:!=1i+1二、(40 分)证明:存在无限多个不能表示为n+p的正整数,其中,nEZ,p为素数.三、(5 0 分)求正整数、b 应满足的条件,使得能够将集合1,2,ab分成个不相交的6 元子集,满足每个子集的元素和都相等。四、(5 0 分)如图1,A B C 的内心为I,外接圆为厂,ID工BC于点D,F为弧BAC的中点,直线FD与圆厂的第二个交点为P,PA与BCFAHBCDEP图1交于点E,EH 工AF于点H,K 为EH的中
6、点,证明:AK=DK.参考答案第一试2一、1.-5原式=sin(arcsin 0.7+arcsin 0.3).sin(arcsin 0.3-arcsin 0.7)=(sin(arcsin 0.3)-(sin(arcsin 0.7)2=-0.4.2.-186.设z与是方程的两个根。由韦达定理得m=-2a,n=a+b2.则X中所有元素之和为Z(-2a(a2+6)=-2(a+ab)aEAaEAbEBbEB=-2(2 Za*+(+(Za)a(Z62)aEAaEAbEB=-2(18+325)=-186.3+V53.2由题意得b2=ac=?2-c-ac=02V5-1e?+e-1=0=e:2设PI与x轴交于
7、点M.PIPFPF,则IMFMFM故PIPF+PF,2a!IMFM+F,M2ce2V5+175-12Lp!PIV5+3于是,+1IM26.23Hu4512023年第4期3当顶点A与点O的距离最大时,O、B、A、C四点共面,设此平面为.由BOI,BOI.如图2,过点D作DH工平面ABC于点H,联结HC.设正四面体ABCD的棱长为1.则在RtCH D 中CHBC:33由 BO,CH/BO=CH.过点D作DE工于点E,联结CE.则ZDCE就是直线CD与平面所成的角.由 DH,且 DH=DH/由此可得点D到平面的距离等于点H到平面的距离,即.因此,在RtCED 中,DEsin ZDCE=CD395./
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