函数与导数综合的不等式问题的处理策略——切线放缩法的应用.pdf
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1、.函数与导数综合的不等式问题的处理策略 切线放缩法的应用 胡玲玲(江苏省如皋中学江苏南通)摘 要:放缩法是解答函数与导数压轴题的常用方法即采用相应的不等式作为放缩的工具将所证超越不等式放缩为常规的不等式.其中根据曲线及其切线的位置关系而得到的不等式在解题中有广泛的应用这类不等式我们常称之为切线不等式而此种方法即为切线放缩法.关键词:导数切线放缩 函数曲线()在某点处的切线为 若除切点外曲线恒在切线的上方则有()若曲线恒在切线的下方则有()这类不等式我们称之为切线不等式利用切线不等式进行放缩在导数综合问题中应用较多下面通过举例分析探究切线放缩法的应用.知识储备 例 已知函数().()求曲线()在
2、 处的切线方程()当 时证明:().本题第()问求曲线的切线方程属于基础设问.第()问证明不等式的常规思路是构造函数利用导数求其最值.若直接作差构造极为繁琐甚至无法进行.下面探究利用切线放缩法构造函数来解决问题.应用切线不等式进行放缩首先我们要熟知一些基本初等函数的切线如函数 在点()处的切线方程为()即().令上式中的 得切线方程为.由曲线与直线 的位置关系可得 当 时等号成立.令上式中的 得.由曲线 与直线 的位置关系可得 当 时等号成立.同理可得 ()当 时等号成立()当 时等号成立.例 求证:.解析:由 得 当 时等号成立因此只要证明 将此不等式两端同除 得 .令()求导得()则()得
3、 在区间()上()()单调递增在区间()上()().解析:由不等式 ()得 ()()所以().所以 ()()().问题得证.本题的放缩借助了不等式 ()的变式即()因为所以此处等号不成立.另外常见的还有三角函数的切线例如正弦函数 在原点()处的切方程为 当 时不等式 恒成立当 时不等式)在区间()内恰有一个变号零点求实数 的取值范围.解析:易知在区间内 所以数学之友 年第 期 ()无零点.下面讨论()在区间()和()内的零点情况.在区间()内 在 处的切线方程为 且 .下面只要证明()所以 无零点.因此()在区间()内存在一个零点.求导得 ()()所以.综上满足条件的 的取值范围是().三角函
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