含强制位势的分数阶薛定谔泊松方程的正规化解.pdf
《含强制位势的分数阶薛定谔泊松方程的正规化解.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《含强制位势的分数阶薛定谔泊松方程的正规化解.pdf(8页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、Mathemitica数学物理学报2023,43A(6):1723-1730http:/含强制位势的分数阶薛定谔泊松方程的正规化解李仁华王征平*(武汉理工大学理学院数学系武汉430 0 7 0)摘要:该文应用约束变分方法研究了一类含有强制位势的分数阶薛定谔泊松方程正规化解的存在性,推广了有关文献的结果.关键词:分数阶薛定泊松方程;强制位势;约束变分方法;正规化解.MR(2020)主题分类:35J20;35J60文章编号:10 0 3-3998(2 0 2 3)0 6-17 2 3-0 81引言本文考虑下面一类含有强制位势的分数阶薛定泊松方程(-)u+V(c)u+d(c)u=u+ulpu,E R
2、3,(A)=u2,rlim d(a)=0,其中s(,1),0 p s,R是参数.我们假设V(a)满足下列强制性条件(V)V e C(R3,R+)和lim V(a)=+oo.例如,调和位势函数V()=a|2 就满足上述条件(V).为了研究问题(1.1),我们首先定义一个函数空间Ds,2(R3),它是C(R3)在下列范数 IIDs2下的完备化空间,I lul/s,2=其中表示u的傅里叶变换。另外,我们还定义如下的加权Sobolev空间H=u E Ds,2(R3):其上的范数定义为u由条件(V)我们可以得到,HH(R),并且由文献1)可知,当2 23-%。3-2s,时,嵌入H L(R3)是紧的.收稿
3、日期:2 0 2 2-11-0 3;修订日期:2 0 2 3-0 3-0 6E-mail:;基金项目:国家自然科学基金(118 7 138 6,119310 12)Supported by the NSFC(11871386,11931012)*通讯作者ientia中图分类号:0 17 7.91文献标识码:Aa/+81a/+80(-)u d a)/R3/V(a)u?da 0 是一个常数.因此,我们可以将问题(1.1)转化成下列方程(-)u+V(c)u+da()u=u+u|Pu,uE H.为了研究方程(1.6)的正规化解,我们考虑下列约束极小值问题mp(p)=inf(Ip(u):u E S,),
4、其中能量泛函I:H R定义为(I(-)2u/2+V(r)u2)da+工4JR3约束集合S。定义为uEHu?da=P/R3由文献2 知,存在常数C0 使得au?da Cll,V uE H(R),JR3这里 IIla(1q c o)表示Lebesgue空间L9(R3)的范数.当s,1),(0,时,我们可以推出IpECi(H,R).如果up为问题(1.7)的一个极小可达元,那么存在相应的Lagrange乘子p使得当=p时,up是方程(1.6)的解,此时,我们称(up,p)是方程(1.6))的一组正规化解.近年来,当s=1时,极小值问题(1.7)受到了学者们的广泛研究.例如,文献3证明了当s=1,参数
5、p,p满足一定的条件,V(c)为强制位势时,问题(1.7)存在极小元.另外,当s=1,位势V(c)=0 时,不少学者也对问题(1.7)进行了研究.他们指出问题(1.7)极小元的存在性与参数p,p有关.Sanchez和Soler4,5证明了当s=1,0p0充分小时,问题(1.7)存在极小元,Georgiev等6 运用隐函数理论证明了该极小元是径向对称的.Bellazzini和Siciliano等7 证明了当s=1,10充分大时,问题(1.7)存在极小元。更进一步,Luo和Jeanjean8推广了这个结论,给出了当s=1,1pp*=号时问题(1.7)存在极小元的充分必要条件对于其它形式的薛定谔方程
6、,也有不少文献对其正规化解进行了研究,读者可见文献9-13 等.受上述工作的启发,本文得到主要结论定理1.1假设V()满足条件(V),当sE(,1),0 0,问题(1.7)都存在极小可达元。根据文献14,方程具有唯一的非负基态解,不妨假设u=Qp()是方程(1.11)的非负基态解,则我们可以得到下面的定理.定理1.2 假设V(c))满足条件(V),当s(,1),=p.=时,对任意的0 pp:=IQp=12,问题(1.7)都存在极小可达元.注 1.1sE(,1)这一条件是为了使得算子重:H Ds2(R3),(u)=是紧的,其中由(1.5)式给出.数学物理学报u2(g)%(a)=Cs/nele-1
7、3-2sdy,3+2s(-)u+u-|u Pu=0,u E H (R3)Vol.43 A(1.5)(1.6)(1.7)1(1.8)P+2./R3(1.9)(1.10)(1.11)No.62主要引理首先我们定义一个算子:HDs.2(R3),(u)=,其中由(1.5)式给出.下面我们证明算子重是紧的.引理2.1假设 V(a)满足条件(V),当.sE(,1)时,如果函数列(un)在H中弱收敛于u,则(un)在 Ds,2(R3)中强收敛于(u).证由s(s,1)得(2,2)。再由嵌入HL(R)是紧的,可得I/(un)-(u)l s.2=lldun-all s.2(-)(bun-i)(-)2 w d a
8、I/wll s,2=1JR3sup(u-u)wdaI/wl/Ds,2=1/JR3Cilun-ullCllun-ull%3+280.因此,d(un)在Ds2(R3)中强收敛于(u).证毕.在证明定理1.2 中p=p*的情形时,参照文献15,引理2.2,我们有如下消失引理成立.引理2.2 如果序列【un在空间 H(R)中有界,且满足消失情形,即对于任意0 R+80,(2.1)n-EERaJBR(e)其中 d2,则在空间 L(Rd),2q2中,un 0.3主要定理的证明下面为了表达式简洁起见,对于任意的uEH,我们定义如下泛函A(u):I(-)2 u l2 d a,B(u)=JR3则能量泛函Ip(u
9、)可简写为2定理1.1的证明设unC S。是问题(1.7)的一个极小化序列根据文献14中分数阶Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的定义,即对任意的 uE Hs(R3)都有/R3u?dc李仁华等:含强制位势的分数阶薛定泊松方程的正规化解suplim,sup.JIR3P+2dQpl112QpB,1725lun()da=0,dau?da,Cp(u)R3d+IR3dc,TR3P+234sdcJR3(3.1)(3.2)(3.3)2s述不等式中的等号成立当且仅当u=Qp,由此我们可以推出2da+22/R32ps-3p+4s3p2ps-3p+4s,4s,Q p 是方程(1.11)的
10、基态解,并且上4P+21726数学物理学报Vol.43 Aa)unda+B(un42/R31卫+2因为 un Sp,所以 J s ual da=p.a=Tom22pBP(3.4)/R3兴,由(3.4)式可得1,(un)4(u n)(un)-a4(un)+当0 pp=时,有0 =翌-.因为对任给的正数e,存在与有关的常数 c(e)使得对任意的t0,都有 tt+c(e),选取=,并将t替换为A(un),由(3.5)式我们得到I(un)4(un)-(acA(un)+ac(e)+A(un)+ac(e)2A(122un)-ac(e)|+因为mp(p)-0,且当 n 时,Ip(un)mp(p),所以存在常
11、数 C0,使得对于任意的 n E N,有 Ip(un)IC.由(3.6)式可得C Ip(un)22A(un)-ac(e)于是C+2ac(由此推出(lunH是有界的.假设在H中unuo,由范数的弱下半连续性可知由引理 2.1 可得 Jrg i,uda Jra 中uguda,即 B(un)B(u o)。由于嵌入 HL(R3),2142元是紧的,且当0 等时,有2 +2632*,因此,Jnslump+2da4Ip(uo)lim Ip(un)=mp(p).n-o0另一方面,由于dnluoldc,un2JR3所以 uo E Sp.再由 mp(p)的定义得 Ip(uo)mp(p).综合上述,我们可以得到
12、Ip(uo)=mp(p):证毕1pTQp/2.12/R32JR3da+B(um),4d+2R312TR3)unda+B(un)()T32元JR3V(a)uda+IB(un),4R3n-8JR3V(a)unda+B(un)4Vda+B(un)4(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)(3.9)(3.10)(3.11)No.6定理1.2 的证明我们分如下两种情况分别证明问题(1.7)都存在极小可达元情形1当=p=等,且0*Qp:时,对于(3.3)式中的常数p,及(3.5)式中的常数,有0a李仁华等:含强制位势的分数阶薛定泊松方程的正规化解282ps-Np+4sp917272ps-Np+4s4SNp
13、0,使得对于任意的n EN,有 IIp(un)Ci,并且(3.13)/R3因此,lunlH 是有界的.假设在H中unuo,由范数的弱下半连续性可知由引理 2.1 可得 B(un)B(u o).由于 HL(R3),2q2于力=等,有p+2=2,所以eluanp+2da=l2op+2da笛上述分析我们可以推13出下面证明 I(uo)mp(p),因为在 H中 n uo,而HL(R3),2q0,使得对于任意的nE N,有Ip(un)|C2,再由(3.17)式可得(3.18)2JR34接下来我们证明【un)在H中是有界的.由(3.18)式可知,只需证明存在常数C0使得I(-)a n /2 d a C,(
14、3.19)/R3利用反证法,假设存在(un)的子列,仍记为(un,使得Jral(-)u n l 2 d a +o 0.则由(3.18)式以及 Ip(un)C 可得(3.20)n-00JR3在能量泛函Is(u n)的等式两边同除以Jralun|P+2de,再关于n+oo 取极限可得0=limn8Jra 1(-)u n 12 d a2Jrslu/ps+2da结合(3.18),(3.2 0)式得到limno0Jra lun/ps+2da令wn=un(sna),其中sn=(Jrs l(-)u n l 2 d e)云,则数学物理学报0V(a)lunl da+1B(un)C2.limn/p+2da=+o0
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 强制 位势 分数 阶薛定谔泊松 方程 正规 化解
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【自信****多点】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【自信****多点】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。