构造函数证明不等式的方法探究.pdf
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1、投稿邮箱院数学教学通讯2023 年 10 月(下旬)g渊x冤转化为证明f渊x冤原g渊x冤0证明不等式f渊x冤g渊x冤袁可采用野作差变形袁再构造函数冶这个方法袁即通过野作差冶变形使得不等号的一侧为0袁再根据不等号另一侧部分的情况构造函数袁然后利用导数知识研究函数性质袁证明不等式.例1 已知函数f渊x冤=axlnx渊a屹0冤.渊1冤讨论函数f渊x冤的单调性曰渊2冤当a=1时袁证明院f渊x冤0时袁f渊x冤在0袁1e上单调递减袁在1e袁+肄上单调递增曰当ag渊x冤转化为f渊x冤原g渊x冤0袁再根据不等号左侧部分的情况构造函数.由题意可知袁要证明xlnxex+sinx原1袁需讨论x的取值范围袁具体如下院
2、淤当00袁故不等式xlnx1时袁要证明xlnxex+sinx原1袁即证明xlnx原ex原sinx+11冤袁则h忆渊x冤=lnx原ex原cosx+1袁h义渊x冤=1x原ex+sinx.分析可知袁h忆渊x冤在渊1袁+肄冤上单调递减袁 则h忆渊x冤h忆渊1冤=1原e原cos10袁所以h渊x冤在渊1袁+肄冤上单调递减.于是h渊x冤h渊1冤=1原e原sin10袁即xlnx原ex原sinx+10袁故不等式xlnxex+sinx原1成立.综上可知袁当a=1时袁不等式f渊x冤g渊x冤转化为证明f渊x冤ming渊x冤max证明不等式f渊x冤g渊x冤袁可考虑证明f渊x冤ming渊x冤max袁即采用野分别构造函数袁
3、最值分析比较冶这个方法袁根据不等号两侧部分的情况分别构造函数袁再利用导数知识分别求其最小值和最大值袁只要确保f渊x冤ming渊x冤max即可证明不等式f渊x冤g渊x冤成立.例2 已知函数f渊x冤=ax2原4x+2lnx渊a沂R冤.渊1冤讨论函数f渊x冤的单调性曰渊2冤若a=2袁证明院f渊x冤+渊2x原2冤窑试题研究77投稿邮箱院数学教学通讯 2023 年 10 月(下旬)lnx2渊ex原2x冤.解析 渊1冤探讨函数f渊x冤的单调性袁 可利用导数知识来分析其性质袁同时还要关注a的取值范围.该问简答袁结论如下院若a=0袁则f渊x冤在0袁12上单调递增袁在12袁+肄上单调递减.若a0袁则f渊x冤在0
4、袁1原1原a 姨a上单调递增袁在1原1原a 姨a袁+肄上单调递减.若0a1袁则f渊x冤在0袁1原1原a 姨a上单调递增袁在1原1原a 姨a袁1+1原a 姨a上单调递减袁在1+1原a 姨a袁+肄上单调递增.若a逸1袁f渊x冤在渊0袁+肄冤上单调递增.渊2冤该问采用野分别构造函数袁最值分析比较冶这个方法求解.若a=2袁要证f渊x冤+渊2x原2冤lnx2渊ex原2x冤袁即证x2+xlnxex袁即证1+lnxx0袁可得x沂渊0袁e冤曰令g忆渊x冤0袁可得x沂渊e袁+肄冤.所以g渊x冤的单调性为院在渊0袁e冤上单调递增袁在渊e袁+肄冤上单调递减.于是有g渊x冤max=g渊e冤=1+1e.对不等号右侧部分
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