广东省广州市越秀区2024年九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（ ）

A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
2．如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，），底边OB在x轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（　　）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，4）
3．若关于的方程有两个相等的根，则的值为（ ）
A．10 B．10或14 C．-10或14 D．10或-14
4．甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选 手

甲

乙

丙

丁

平均数(环)

9.2

9.2

9.2

9.2

方差(环2)

0.035

0.015

0.025

0.027

则这四人中成绩发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．若反比例函数y= 的图象经过点（2，﹣1），则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
6．某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元．已知两次降价的百分率相同．要求每次降价的百分率，若设每次降价的百分率为x，则得到的方程为（　　）
A．112（1﹣x）2=63 B．112（1+x）2=63 C．112（1﹣x）=63 D．112（1+x）=63
7．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：2，则∠A的度数等于（　　）

A．30° B．45° C．60° D．80°
8．抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1－6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（ ）．

A．出现的点数是7 B．出现的点数不会是0
C．出现的点数是2 D．出现的点数为奇数
9．如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是（  ）

A．①④⑤ B．①③④⑤ C．①③⑤ D．①②③
10．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（　　）
A．三角形的外心一定在三角形的外部 B．三角形的内心到三个顶点的距离相等
C．外心和内心重合的三角形一定是等边三角形 D．直角三角形内心到两锐角顶点连线的夹角为125°
12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（　　）

A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．1：2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为_____．
14．如图1，点M，N，P，Q分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD，DA上，我们称四边形MNPQ是矩形ABCD的内接四边形．已知矩形ABCD，AB＝2BC＝6，若它的内接四边形MNPQ也是矩形，且相邻两边的比为3：1，则AM＝_____．

15．如图，点的坐标分别为，若将线段平移至，则的值为_____．

16．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．

17．若等腰三角形的两边长恰为方程的两实数根，则的周长为________________.
18．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BQ，连接AQ．若PA=4，PB=5，PC=3，则四边形APBQ的面积为_______．

三、解答题（共78分）
19．（8分） “一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．
（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？
（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．
20．（8分）某果品专卖店元旦前后至春节期间主要销售薄壳核桃，采购价为15元/kg，元旦前售价是20元/kg，每天可卖出450kg．市场调查反映：如调整单价，每涨价1元，每天要少卖出50kg；每降价1元，每天可多卖出150kg．
（1）若专卖店元旦期间每天获得毛利2400元，可以怎样定价？若调整价格也兼顾顾客利益，应如何确定售价？
（2）请你帮店主算一算，春节期间如何确定售价每天获得毛利最大，并求出最大毛利．
21．（8分）苏北五市联合通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各市的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后两行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：
（1）统计表________，________；
（2）统计表后三行中哪一个数据是错误的？该数据的正确值是多少？
（3）组委会决定从来自宿迁市的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为苏北五市形象代言人，、是宿迁市“最有孝心的美少年”中的两位，问、同时入选的概率是多少？并请画出树状图或列出表格．
区域
频数
频率
宿迁
4
a
连云港
7
0.175
淮安

0.2
徐州
10
0.25
盐城
12
0.275

22．（10分）若为实数，关于的方程的两个非负实数根为、，求代数式的最大值．
23．（10分）某学校举行冬季“趣味体育运动会”，在一个箱内装入只有标号不同的三颗实心球，标号分别为1，2，3.每次随机取出一颗实心球，记下标号作为得分，再将实心球放回箱内。小明从箱内取球两次，若两次得分的总分不小于5分，请用画树状图或列表的方法，求发生“两次取球得分的总分不小于5分”情况的概率.
24．（10分）甲、乙两名同学5次数学练习（满分120分）的成绩如下表：（单位：分）
测试日期
11月5日
11月20日
12月5日
12月20日
1月3日
甲
96
97
100
103
104
乙
100
95
100
105
100
已知甲同学这5次数学练习成绩的平均数为100分，方差为10分.
（1）乙同学这5次数学练习成绩的平均数为 分，方差为 分；
（2）甲、乙都认为自已在这5次练习中的表现比对方更出色，请你分别写出一条支持他们俩观点的理由.
25．（12分）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．

26．若关于的一元二次方程方有两个不相等的实数根.
⑴求的取值范围.
⑵若为小于的整数，且该方程的根都是有理数，求的值．
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【分析】
点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，故根据弧长公式计算即可．
【详解】
解：BD=4，
∴OD=2
∴点D所转过的路径长==2π．
故选：C．
本题主要考查了弧长公式：．
2、C
【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．
【详解】解：过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（1，），∴AE=，OE=1．
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=1OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得，即，
∴O′F=．
在Rt△O′FB中，由勾股定理可求BF=，∴OF=．
∴O′的坐标为（）．
故选C．

本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．
3、D
【分析】根据题意利用根的判别式，进行分析计算即可得出答案.
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的根，
∴，即有，
解得 10或-14.
故选：D.
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个相等的两个实数根是解答此题的关键．
4、B
【解析】在平均数相同时
方差越小则数据波动越小说明数据越稳定，
5、A
【解析】把点（1，-1）代入解析式得-1=，
解得k=-1．
故选A．
6、A
【解析】根据题意可得等量关系：原零售价×（1-百分比）（1-百分比）=降价后的售价，然后根据等量关系列出方程即可．
【详解】设每次降价的百分率为x，由题意得：
112(1−x)2=63，
故答案选：A.
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握由实际问题抽象出一元二次方程.
7、C
【分析】设∠A、∠C分别为x、2x，然后根据圆的内接四边形的性质列出方程即可求出结论．
【详解】解：设∠A、∠C分别为x、2x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴x+2x＝180°，
解得，x＝60°，即∠A＝60°，
故选：C．
此题考查的是圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形的性质是解决此题的关键．
8、B
【解析】分析：必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可作出判断．
解答：解：A、不可能发生，是不可能事件，故本选项错误，
B、是必然事件，故正确，
C、不一定发生，是随机事件，故本选项错误，
D、不一定发生，是随机事件，故本选项错误．
故选B．
9、C
【分析】①根据对称轴x=1，确定a，b的关系，然后判定即可；
②根据图象确定a、b、c的符号，即可判定；
③方程ax2+bx+c=3的根，就y=3的图象与抛物线交点的横坐标判定即可；
④根据对称性判断即可；
⑤由图象可得，当1<x<4时，抛物线总在直线的上面，则y2<y1．
【详解】解：①∵对称轴为：x=1，
∴ 则a=-2b,即2a+b=0，故①正确;
∵抛物线开口向下
∴a＜0
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0
∵抛物线与y轴交于正半轴
∴c＞0
∴abc<0,故②不正确；
∵抛物线的顶点坐标A（1,3）
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根是x=1，故③正确；
∵抛物线对称轴是：x=1，B（4,0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（-2,0）故④错误；
由图象得：当1<x<4时，有y2<y1；故⑤正确．
故答案为C．
本题考查了二次函数的图像,考查知识点较多,解答的关键在于掌握并灵活应用二次函数知识．
10、B
【分析】解法一：将变形为，代入数据即可得出答案.
解法二：设，，带入式子约分即可得出答案.
【详解】解法一：
解法二：设，
则
故选B.
本题考查比例的性质，将比例式变形，或者设比例参数是解题的关键.
11、C
【分析】分别利用三角形内心以及三角形外心的性质判断得出即可．
【详解】A. 因为只有钝角三角形的外心才在三角形的外部，锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边上，该选项错误；
B. 三角形的内心到三角形的三边距离相等，该选项错误；
C. 若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形，该选项正确；
D. 如图，∠C=90，∠BAC+∠ABC
分别是角∠BAC、∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA，
∴∠AOB，该选项错误．

故选：C
本题考查三角形的外接圆和外心及三角形的内切圆与内心，正确把握它们的区别是解题的关键.
12、D
【解析】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴DF：AB=DE：EB．∵O为对角线的交点，∴DO=BO．又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：1，∴DF：AB=1：1．∵DC=AB，∴DF：DC=1：1，∴DF：FC=1：2．故选D．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、0<m＜
【解析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣；
由y=﹣x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=m，
∴A（m，0），B（0，m），
即OA=m，OB=m，
在Rt△OAB中，AB=，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=OD•AB=OA•OB，
∴OD•=×m×m，
∵m＞0，解得OD=m，
由直线与圆的位置关系可知m ＜6，解得m＜，
故答案为0<m＜.

【点睛】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了.
14、
【分析】证明△AMQ∽△DQP，△PCN∽△NBM，设MA＝x，则DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，PC＝9x﹣3，NB＝27x﹣9，表示出NC，由BC长为3，可得方程，解方程即可得解．
【详解】解：∵四边形ABCD和四边形MNPQ为矩形，
∴∠D＝∠A＝90°，∠DQP＝∠QMA，
∴△AMQ∽△DQP，
同理△PCM∽△NBM，
设MA＝x，∵PQ：QM＝3：1，
∴DQ＝3x，QA＝3﹣3x，DP＝9﹣9x，
PC＝6﹣（9﹣9x）＝9x﹣3，NB＝3PC＝27x﹣9，
BM＝6﹣x，
∴NC＝，
∴＝3，
解得x＝．
即AM＝．
故答案为：．

本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法．
15、1
【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．
【详解】由题意可知：a=0+（3-1）=1；b=0+（1-1）=1；
∴a+b=1．
故答案为：1.
此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．
16、
【解析】试题解析：∵共6个数，小于5的有4个，∴P（小于5）==．故答案为．
17、1
【分析】先求出一元二次方程的解，再进行分类讨论求周长即可．
【详解】，
解得：，，
当等腰三角形的三边分别为3，3，6时，3+3=6，不满足三边关系，故该等腰三角形不存在；
当等腰三角形的三边分别为6，6，3时，满足三边关系，该等腰三角形的周长为：6+6+3=1．
故答案为：1．
本题考查一元二次方程的解法与等腰三角形的结合，做题时需注意等腰三角形中边的分类讨论及判断是否满足三边关系．
18、
【分析】由旋转的性质可得△BPQ是等边三角形，由全等三角形的判定可得△ABQ≌△CBP(SAS)，由勾股定理的逆定理可得△APQ是直角三角形，求四边形的面积转化为求两个特殊三角形的面积即可．
【详解】解：连接PQ，
由旋转的性质可得，BP=BQ，
又∵∠PBQ=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ=BP，
在等边三角形ABC中，∠CBA=60°，AB=BC，
∴∠ABQ=60°-∠ABP
∠CBP=60°-∠ABP
∴∠ABQ=∠CBP
在△ABQ与△CBP中
，
∴△ABQ≌△CBP(SAS)，
∴AQ=PC，
又∵PA=4，PB=5，PC=3，
∴PQ=BP=5，PC=AQ=3，
在△APQ中，因为，25=16+9，
∴由勾股定理的逆定理可知△APQ是直角三角形，
∴，
故答案为：

本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理的逆定理及特殊三角形的面积，解题的关键是作出辅助线，转化为特殊三角形进行求解．

三、解答题（共78分）
19、（1）2400万件；（2）1
【分析】（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，由题意得关于x的一元一次不等式，求解即可；
（2）以中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%为等量关系，得关于m的一元二次方程，求解，并根据问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则
3000﹣x≥1%x
解得：x≤2400
答：该公司计划在线下销售量最多为2400万件；
（2）由题意得：
×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）
化简得：m2﹣1m＝0
解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝1
∴m的值为1．
本题主要考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，找到题目中的等量关系和不等量关系，是解题的关键.
20、（1）21，19；（2）售价为22元时，毛利最大，最大毛利为1元
【分析】（1）根据销售问题的等量关系：每天获得毛利＝每千克利润×销售量，分涨价和降价两种情况列出一元二次方程确定售价即可；
（2）根据销售问题的等量关系：每天获得毛利＝每千克利润×销售量，分涨价和降价两种情况设每天的毛利为w元，涨价和降价两种情况列出二次函数求出售价进行比较即可确定售价和最大毛利．
【详解】解：（1）根据题意，得
①设售价涨价x元，
（20﹣15+x）（450﹣50x）＝2400
解得x1＝1，x2＝3，
∵调整价格也兼顾顾客利益，
∴x＝1，则售价为21元；
②设售价降价y元，
（20﹣15﹣y）（450+150y）＝2400
解得y1＝y2＝1，
则售价为19元；
答：调整价格也兼顾顾客利益，售价应定为19元．
（2）根据题意，得
①设售价涨价x元时，每天的毛利为w1元，
w1＝（20﹣15+x）（450﹣50x）
＝﹣50x2+200x+2250
＝﹣50（x﹣2）2+1．
当售价涨价2元，即售价为22元时，毛利最大，最大毛利为1元；
②设售价降价y元时，每天的毛利为w2元，
w2＝（20﹣15﹣y）（450+150y）
＝﹣150y2+300y+2250
＝﹣150（y﹣1）2+2400
当降价为1元时，即售价为19元时，毛利最大，最大毛利为2400元．
综上所述，售价为22元时，毛利最大，最大毛利为1元．
本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，解决本题的关键是找到题目中蕴含的等量关系，熟练掌握二次函数的性质，能够将一般式转化为顶点式.
21、（1）1.1，8；（2）盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；（3）
【分析】（1）利用连云港的频数及频率求出总数，再根据a的频数、b的频率利用公式即可求出答案；
（2）计算各组的频率和是否得1，根据频率计算各组频数是否正确，由此即可判断出错误的数据；
（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为、、、，列表表示所有可能的情况，再根据概率公式计算即可.
【详解】（1）∵连云港市频数为7，频率为1．175，∴数据总数为，
∴，．
故答案为1.1，8；
（2）∵，
∴各组频率正确，
∵，
∴盐城市对应频数12这个数据是错误的，该数据的正确值是11；
（3）设来自宿迁的4位“最有孝心的美少年”为、、、，列表如下：

∵共有12种等可能的结果，、同时入选的有2种情况，
∴、同时入选的概率是：．
此题考查统计计算能力，正确理解频数分布表，依据表格得到相应的信息，能正确计算总数，部分的数量，部分的频率，利用列表法求事件的概率.
22、1
【分析】根据根的判别式和根与系数的关系进行列式求解即可；
【详解】∵，
，
，
，
，
，
，
当时，原式=-15，
当时，原式=1，
代数式的最大值为1．
本题主要考查了一元二次方程的知识点，准确应用根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
23、
【分析】根据题意先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次得分的总分不小于5分的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：树状图如下：

共有9种等可能的结果数，两次得分的总分不小于5分的结果数为3种，
所以P=．
本题考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
24、（1）100，10；（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；
乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多.
【分析】（1）根据平均数公式和方差公式计算即可；
（2）通过成绩逐渐的变化情况或100分以上（含100分）的次数分析即可．
【详解】解：（1）乙=
乙=
故答案为：100，10；
（2）答案不唯一，如：甲的数学成绩逐渐进步，更有潜力；
乙的数学成绩在100分以上（含100分）的次数更多．
此题考查的是求平均数和方差，掌握平均数公式和方差公式是解决此题的关键．
25、（1）t为3秒时，△BDE的面积为7.3cm3；（3）存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；
（3）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
【详解】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图

∴DF∥AG，＝
∵AB＝AC＝10，BC＝11∴BG＝8，∴AG＝1．
∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴＝
解得DF＝（10﹣t）
∵S△BDE＝BE•DF＝7.3
∴（10﹣t）•t＝13
解得t＝3．
答：t为3秒时，△BDE的面积为7.3cm3．
（3）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE与△BCA，
∴＝即＝，
解得t＝，
②当BD＝DE时，△BDE与△BAC，
＝即＝，
解得t＝．
答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．
此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
26、（1）且．（2）或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，即可求出答案；
（2）结合（1），得到m的整数解，由该方程的根都是有理数，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
，
解得：
又，

的取值范围为：且；
（2）为小于的整数，又且．
可以取：，，，，，，，，，，.
当或时，或为平方数，
此时该方程的根都是有理数.
∴的值为：或.
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式，利用根的判别式求参数的值.