2025届浙江省台州市台州市白云学校九年级数学第一学期期末监测模拟试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．±2 D．0
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．剪纸是中国特有的民间艺术.以下四个剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 的坐标是（　　）

A．（2，10） B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
5．已知x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，则m的值是（ ）.
A． B．2 C． D．1或2
6．如图，正方形的边长为4，点在的边上，且，与关于所在的直线对称，将按顺时针方向绕点旋转得到，连接，则线段的长为（ ）

A．4 B． C．5 D．6
7．如图，在△ABC中，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM、PN、MN，则下列结论：①PM＝PN；②；③若∠ABC＝60°，则△PMN为等边三角形；④若∠ABC＝45°，则BN＝PC．其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．已知点(﹣4，y1)、(4，y2)都在函数y＝x2﹣4x+5的图象上，则y1、y2的大小关系为（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定
9．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC 放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC 放大后，面积是原来的16倍
11．在△ABC中，点D、E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD：DB=1：2，，则=（ ），
A． B． C． D．
12．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）
A．y=﹣2（x+1）2+2
B．y=﹣2（x+1）2﹣2
C．y=﹣2（x﹣1）2+2
D．y=﹣2（x﹣1）2﹣2
二、填空题（每题4分，共24分）
13．分解因式：　　　　．
14．一元二次方程的根的判别式的值为____.
15．如图，直线交轴于点B，交轴于点C，以BC为边的正方形ABCD的顶点A（-1，a）在双曲线上，D点在双曲线上，则的值为_______.

16．如图，中，，且，，则___________

17．若一个扇形的圆心角是120°，且它的半径是18cm，则此扇形的弧长是_______cm
18．一次生活常识知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有1道题没答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对了__________道题．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知抛物线C1：y1＝a（x﹣h）2+2，直线1：y2＝kx﹣kh+2（k≠0）．
（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；
（2）若a＞0，h＝1，当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a（x﹣h）2+2的最小值为2，求t的取值范围．
（3）点P为抛物线的顶点，Q为抛物线与直线l的另一个交点，当1≤k≤3时，若线段PQ（不含端点P，Q）上至少存在一个横坐标为整数的点，求a的取值范围．
20．（8分）如图，是的直径，，为弧的中点，正方形绕点旋转与的两边分别交于、（点、与点、、均不重合），与分别交于、两点.
（1）求证：为等腰直角三角形；
（2）求证：；
（3）连接，试探究：在正方形绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.

21．（8分）如图，等边△ABC中，点D在AC上（CD＜AC），连接BD．操作：以A为圆心，AD长为半径画弧，交BD于点E，连接AE．

（1）请补全图形，探究∠BAE、∠CBD之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）把BD绕点D顺时针旋转60°，交AE于点F，若EF＝mAF，求的值（用含m的式子表示）．
22．（10分）对于平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．

图1 备用图
（1） ①如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是 ；
②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．
（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；
（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．
23．（10分）如图，四边形 ABCD 为矩形.
(1)如图1，E为CD上一定点，在AD上找一点F，使得矩形沿着EF折叠后,点D落在 BC边上(尺规作图，保留作图痕迹);
(2)如图2，在AD和CD边上分别找点M，N，使得矩形沿着MN折叠后BC的对应边B' C'恰好经过点D，且满足B' C' ⊥BD(尺规作图，保留作图痕迹);
(3)在（2）的条件下，若AB＝2，BC＝4，则CN＝ .

24．（10分）（1）x2+2x﹣3＝0
（2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）
25．（12分）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，设抛物线的顶点为点．
（1）求该抛物线的解析式与顶点的坐标．
（2）试判断的形状，并说明理由．
（3）坐标轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

26．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，线段的端点、均在小正方形的顶点上.

（1）在方格纸中画出以为一条直角边的等腰直角，顶点在小正方形的顶点上.
（2）在方格纸中画出的中线，将线段绕点顺时针旋转得到线段，画出旋转后的线段，连接，直接写出四边形的面积.
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】试题解析：是关于的二次函数,

解得：
故选B.
2、D
【分析】当 时，是抛物线的顶点，代入求出顶点坐标即可．
【详解】由题意得，当 时，是抛物线的顶点
代入到抛物线方程中

∴顶点的坐标为
故答案为：D．
本题考查了抛物线的顶点坐标问题，掌握求二次函数顶点的方法是解题的关键．
3、B
【解析】根据轴对称图形的定义以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．
【详解】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、此图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误.
故选：B．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．
4、C
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点在x轴上，O＝2，
所以，（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，（2，10），
综上所述，点的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
5、B
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入mx2–2=0可得关于m的一元一次方程，解方程求出m的值即可得答案.
【详解】∵x=1是一元二次方程mx2–2=0的一个解，
∴m-2=0，
解得：m=2，
故选：B.
本题考查一元二次方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题，能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解；熟练掌握定义是解题关键.
6、C
【分析】如图，连接BE，根据轴对称的性质得到AF=AD，∠EAD=∠EAF，根据旋转的性质得到AG=AE，∠GAB=∠EAD．求得∠GAB=∠EAF，根据全等三角形的性质得到FG=BE，根据正方形的性质得到BC=CD=AB=1．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接BE，

∵△AFE与△ADE关于AE所在的直线对称，
∴AF=AD，∠EAD=∠EAF，
∵△ADE按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABG，
∴AG=AE，∠GAB=∠EAD．
∴∠GAB=∠EAF，
∴∠GAB+∠BAF=∠BAF+∠EAF．
∴∠GAF=∠EAB．
∴△GAF≌△EAB（SAS）．
∴FG=BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=AB=1．
∵DE=1，
∴CE=2．
∴在Rt△BCE中，BE=，
∴FG=5，
故选：C．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
7、B
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；先证明△ABM∽△ACN，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确；如果△PMN为等边三角形，求得∠MPN＝60°，推出△CPM是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；当∠ABC＝45°时，∠BCN＝45°，由P为BC边的中点，得出BN＝PB＝PC，判断④正确．
【详解】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，
∴PM＝BC，PN＝BC，
∴PM＝PN，正确；
②在△ABM与△ACN中，
∵∠A＝∠A，∠AMB＝∠ANC＝90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴，
∴，②正确；
③∵∠ABC＝60°，
∴∠BPN＝60°，
如果△PMN为等边三角形，
∴∠MPN＝60°，
∴∠CPM＝60°，
∴△CPM是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
则△ABC是等边三角形，
而△ABC不一定是等边三角形，故③错误；
④当∠ABC＝45°时，∵CN⊥AB于点N，
∴∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，
∴BN＝CN，
∵P为BC边的中点，
∴PN⊥BC，△BPN为等腰直角三角形
∴BN＝PB＝PC，故④正确．
故选：B．
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及相似三角形的性质．
8、B
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝2，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2的大小关系．
【详解】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
∴对称轴为x＝2，
∵a＞0，
∴x＞2时，y随x增大而增大，
点（﹣4，y1）关于抛物线的对称轴x＝2对称的点是（8，y1），8＞4，
∴y1＞y2，
故选：B．
本题主要考查的是二次函数的增减性，从对称轴分开，二次函数左右两边的增减性不相同结合题意即可解出此题.
9、B
【分析】用小于3的卡片数除以卡片的总数量可得答案．
【详解】由题意可知一共有5种结果，其中数字小于3的结果有抽到1和2两种，所以．
故选：B．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
10、A
【解析】试题分析：用一个4倍放大镜照△ABC，放大后与原三角形相似且相似比为1：4，相似三角形对应角相等，对应边的比等于相似比、对应周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故A选项错误．故选A．
考点：相似三角形的性质．
11、A
【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB=1：3，因而面积的比是1：1．
【详解】解：如图：

∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵AD：DB=1：2，
∴AD：AB=1：3，
∴S△ADE：S△ABC=1：1．
故选：A．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
12、C
【详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，
所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，
故选C．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、．
【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
考点：提公因式法和应用公式法因式分解．
14、1.
【解析】直接利用根的判别式△=b2-4ac求出答案．
【详解】一元二次方程x2+3x=0根的判别式的值是：△=32-4×1×0=1．
故答案为1．
此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．
15、6
【分析】先确定出点A的坐标，进而求出AB，再确定出点C的坐标，利用平移即可得出结论．
【详解】∵A(−1,a)在反比例函数y=上，
∴a=2，
∴A(−1,2)，
∵点B在直线y=kx−1上，
∴B(0,−1)，
∴AB=，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=，
设B(m,0)，
∴，
∴m=−3(舍)或m=3，
∴C(3,0)，
∴点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位，
∴点D(2,3),将点D的坐标代入反比例函数y=中，
∴k=6
故答案为：6.
本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题突破口是确定出点A的坐标.
16、1
【分析】由及，得，再证△ADE∽△ABC，推出，代入值，即可求出BC．
【详解】解：∵,，
∴
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，则BC=1，
故答案为：1．
本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等．
17、12π
【分析】根据弧长公式代入可得结论．
【详解】解：根据题意，扇形的弧长为，
故答案为：12π.
本题主要考查弧长的计算，解决本题的关键是要熟练掌握弧长公式．
18、1
【分析】设小聪答对了x道题，根据“答对题数×5−答错题数×2＞80分”列出不等式，解之可得．
【详解】设小聪答对了x道题，
根据题意，得：5x−2（19−x）＞80，
解得x＞16，
∵x为整数，
∴x＝1，
即小聪至少答对了1道题，
故答案为：1．
本题主要考查一元一次不等式的应用，列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

三、解答题（共78分）
19、（1）证明见解析；（2）﹣2≤t≤1；（3）﹣1＜a＜0或0＜a＜1．
【解析】(1)利用二次函数的性质找出抛物线的顶点坐标，将x＝h代入一次函数解析式中可得出点(h，2)在直线1上，进而可证出直线l恒过抛物线C1的顶点；
(2)由a＞0可得出当x＝h＝1时y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，结合当t≤x≤t+3时二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
(3)令y1＝y2可得出关于x的一元二次方程，解之可求出点P，Q的横坐标，由线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，可得出＞1或＜﹣1，再结合1≤k≤3，即可求出a的取值范围．
【详解】(1)∵抛物线C1的解析式为y1＝a(x﹣h)2+2，
∴抛物线的顶点为(h，2)，
当x＝h时，y2＝kx﹣kh+2＝2，
∴直线l恒过抛物线C1的顶点；
(2)∵a＞0，h＝1，
∴当x＝1时，y1＝a(x﹣h)2+2取得最小值2，
又∵当t≤x≤t+3时，二次函数y1＝a(x﹣h)2+2的最小值为2，
∴，
∴﹣2≤t≤1；
(3)令y1＝y2，则a(x﹣h)2+2＝k(x﹣h)+2，
解得：x1＝h，x2＝h+，
∵线段PQ(不含端点P，Q)上至少存在一个横坐标为整数的点，
∴＞1或＜﹣1，
∵k＞0，
∴0＜a＜k或﹣k＜a＜0，
又∵1≤k≤3，
∴﹣1＜a＜0或0＜a＜1．
本题考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、解一元二次方程以及解不等式，解题的关键是：(1)利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征，证出直线l恒过抛物线C的顶点；(2)利用二次函数的性质结合二次函数的最值，找出关于t的一元一次不等式组；(3)令y1＝y2，求出点P，Q的横坐标．
20、（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，
【分析】（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°，由M是弧AB的中点得，于是可判断△AMB为等腰直角三角形；
（2）连接OM,根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF，所以OE=OF；
（3）易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=OE+4，根据垂线段最短得当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=2，进而求得△EFM的周长的最小值．
【详解】（1）证明：是的直径，
．
是弧的中点，
．
，
为等腰直角三角形．

（2）证明：连接，
由（1）得：．
，
．
，
，
．
在和中，
，
．
．
（3）解：的周长有最小值．
，
为等腰直角三角形，
，
，
．
的周长．
当时，最小，此时,
的周长的最小值为．
本题考查了圆的综合题：熟练运用圆周角定理和等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质是解题关键．
21、（1）图形见解析，∠BAE＝2∠CBD，理由见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）根据圆周角和圆心角的关系得：2∠BDH=∠BAE，由等腰三角形的性质得HD∥BC，由平行线的性质可得结论；
（2）如图2，作辅助线，由旋转得：△BDM是等边三角形，证明△AMB≌△CDB（SAS），得AM=CD，∠MAB=∠C=60°，证明△ABD∽△DFE，设AF=a，列比例式可得结论
【详解】（1）如图1，∠BAE＝2∠CBD．
设弧DE与AB交于H，连接DH，

∴2∠BDH＝∠BAE，
又∵AD＝AH，AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠AHD＝∠ADH＝60°，∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠AHD＝∠ABC，
∴HD∥BC，
∴∠DBC＝∠HDB，
∴∠BAE＝2∠DBC；
（2）如图2，连接AM，BM，

由旋转得：BD＝DM，∠BDM＝60°，
∴△BDM是等边三角形，
∴BM＝BD，∠MBD＝60°，
∵∠ABM+∠ABD＝∠ABD+∠CBD，
∴∠ABM＝∠CBD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴△AMB≌△CDB（SAS），
∴AM＝CD，∠MAB＝∠C＝60°，
∵∠AGM＝∠BGD，∠MAB＝∠BDM＝60°，
∴∠AMD＝∠ABD，
由（1）知：AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE，
∵∠EDF＝∠BAD，
∴△ABD∽△DFE，
∴∠EFD＝∠ABD＝∠AFM＝∠AMD，
∴AF＝AM＝CD，
设AF＝a，则EF＝ma，AE＝a+ma＝（m+1）a，
∴AB＝AD+CD＝AE+CD＝（m+2）a，
由△ABD∽△DFE，
∴＝＝．
本题考查全等三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、等边三角形、三角形内角和和外角的性质等知识，解题的关键灵活应用所学知识解决问题，学会利用辅助线，构建全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
22、（1）①线段AB的可视点是，； ②点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标范围：≤≤6）；（2）b的取值范围是：－8≤b≤1； （3）m的取值范围：或
【分析】（1）根据题意画出图形，进一步即可得出结论；
（2）正确画出相关图形进一步证明即可；
（3）根据题意，正确画出图形，根据相关量之间的关系进一步求解即可.
【详解】（1）①线段AB的可视点是，．
②点P的坐标：P（0，3）（答案不唯一，纵坐标范围：≤≤6）．

（2）如图，直线与⊙相切时，BD是⊙直径

∴BD=.
∵BE=，
∴DE=.
∴EF==4.
∴F（0，1）
同理可得，
直线与⊙相切时，G(0，-8)
∴b的取值范围是：－8≤b≤1．

（3）m的取值范围：或
本题主要考查了圆的性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键,
23、（1）图见解析（2）图见解析（3）
【分析】（1）以点E为圆心，以DE长为半径画弧，交BC于点D′，连接DD′，作DD′的垂直平分线交AD于点F即可；
（2）先作射线BD，然后过点D作BD的垂线与BC的延长线交于点H，作∠BHD的角平分线交CD于点N，交AD于点M，在HD上截取HC′=HC，然后在射线C′D上截取C′B′=BC，此时的M、N即为满足条件的点；
（3）在（2）的条件下，根据AB＝2，BC＝4，即可求出CN的长．
【详解】（1）如图，点F为所求；

（2）如图，折痕MN、矩形A’B’C’D’为所求；

（3）在（2）的条件下，
∵AB＝2，BC＝4，
∴BD＝2，
∵BD⊥B′C′，
∴BD⊥A′D′，
得矩形DGD′C′．
∴DG＝C′D′＝2，
∴BG＝2−2
设CN的长为x，CD′＝y．
则C′N＝x，D′N＝2−x，BD′＝4−y，
∴（4−y）2＝y2＋（2−2）2，
解得y＝−1．
（2−x）2＝x2＋（−1）2
解得x＝．
故答案为：．
本题考查了作图−复杂作图、矩形的性质、翻折变换，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
24、（1）x＝﹣3或x＝1;（2）x＝1或x＝4.
【分析】（1）用因式分解法求解即可；
（2）先移项，再用因式分解法求解即可.
【详解】解：（1）∵x2+2x﹣3＝0，
∴(x+3)(x﹣1)＝0，
∴x＝﹣3或x＝1；
（2）∵(x﹣1)2＝3(x﹣1)，
∴(x﹣1)[(x﹣1)﹣3]＝0，
∴(x﹣1)(x﹣4)＝0，
∴x＝1或x＝4；
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
25、（1），；（2）是直角三角形，理由见解析；（3）存在，．
【分析】（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标．
（2）根据B、C、D的坐标，可求得△BCD三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可．
（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得△BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与△COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标．
【详解】（1）设抛物线的解析式为．
由抛物线与y轴交于点，可知
即抛物线的解析式为
把代入

解得
∴抛物线的解析式为
∴顶点D的坐标为
（2）是直角三角形．
过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F
在中，
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴
∴是直角三角形．
（3）连接AC，根据两点的距离公式可得：，则有，可得，得符合条件的点为．
过A作交y轴正半轴于，可知，求得符合条件的点为
过C作交x轴正半轴于，可知，求得符合条件的点为
∴符合条件的点有三个：．

本题考查了抛物线的综合问题，掌握抛物线的性质以及解法是解题的关键．
26、（1）见解析；（2）图形见解析，10
【解析】（1）直接利用等腰直角三角形的性质得出C点位置；
（2）直接利用三角形中线的定义按要求作图，结合网格可得出四边形BDCD′的面积．
【详解】（1）如图所示：

（2）如图所示：
BD=
.
考查等腰直角三角形的性质，作图-旋转变换，比较简单，找出旋转后的对应点是解题的关键.