重庆市长寿一中学2024-2025学年九上数学期末联考试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．一元二次方程的常数项是（ ）
A． B． C． D．
2．⊙O是半径为1的圆，点O到直线L的距离为3，过直线L上的任一点P作⊙O的切线，切点为Q；若以PQ为边作正方形PQRS，则正方形PQRS的面积最小为（ ）

A．7 B．8 C．9 D．10
3．按如下方法，将△ABC的三边缩小的原来的，如图，任取一点O，连AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（　　）
①△ABC与△DEF是位似图形      ②△ABC与△DEF是相似图形
③△ABC与△DEF的周长比为1：2   ④△ABC与△DEF的面积比为4：1．

A．1 B．2 C．3 D．4
4．数据0，-1，-2，2，1，这组数据的中位数是( )
A．-2 B．2 C．0.5 D．0
5．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）
A．每2次必有一次正面朝上 B．必有5次正面朝上
C．可能有7次正面朝上 D．不可能有10次正面朝上
6．在中，，，，则直角边的长是（ ）
A． B． C． D．
7．有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟．刚把两人洗完，就听到两个小家伙在床上笑．“你们笑什么？”妈妈问．“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( )
A． B． C． D．1
8．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．
如图，已知与相切于点，点在上.求证：.

证明：连接并延长，交于点，连接．
∵与相切于点，
∴，
∴．
∵@是的直径，
∴（直径所对的圆周角是90°），
∴，
∴◎.
∵，
∴▲（同弧所对的※相等），
∴．
下列选项中，回答正确的是（ ）
A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表圆心角
9．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为(　 　)

A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
10．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．
正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则=________．
12．一元二次方程x2=x的解为 ．
13．已知x=1是一元二次方程x2﹣3x+a=0的一个根，则方程的另一个根为_____.
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是________．

15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若tanA＝3，AB＝，则BC＝___
16．如图，某试验小组要在长50米，宽39米的矩形试验田中间开辟一横一纵两条等宽的小道，使剩余的面积是1800平方米，求小道的宽.若设小道的宽为米，则所列出的方程是_______（只列方程，不求解）

17．做任意抛掷一只纸杯的重复实验，部分数据如下表
抛掷次数
50
100
500
800
1500
3000
5000
杯口朝上的频率
0.1
0.15
0.2
0.21
0.22
0.22
0.22
根据上表，可估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为__________．
18．有两名学员小林和小明练习射击，第一轮10枪打完后两人打靶的环数如图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计小林和小明两人中新手是_______.

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AN是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，与圆相交于点E，AB＝15，D是⊙O上的点，DC⊥BM，与BM交于点C，⊙O的半径为R＝1．
（1）求BE的长．
（2）若BC＝15，求的长．

20．（6分）如图，已知一次函数y=ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，且与反比例函数（k为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于点C，作CD⊥x轴于D，若OA=OD=OB=1．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）观察图象直接写出不等式0＜ax+b≤的解集；
（1）在y轴上是否存在点P，使得△PBC是以BC为一腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由

21．（6分）如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（＝1．7）．

22．（8分）如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.
①当为何值时，得面积最小？
②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.

23．（8分）某公司2019年10月份营业额为万元，12月份营业额达到万元，求该公司两个月营业额的月平均增长率.
24．（8分）如图，已知是坐标原点，、两点的坐标分别为，，将绕点逆时针旋转度，得到，画出，并写出、两点的对应点、的坐标，

25．（10分）在一个不透明的袋子中，装有除颜色外都完全相同的4个红球和若干个黄球．
如果从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，那么袋中有黄球多少个？
在的条件下如果从袋中摸出一个球记下颜色后放回，再摸出一个球，用列表或画树状图的方法求出两次摸出不同颜色球的概率．
26．（10分）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．

（1）、求证：△ABE≌△ADF；
（2）、若等边△AEF的周长为6，求正方形ABCD的边长．
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】在一元二次方程的一般形式下，可得出一元二次方程的常数项．
【详解】解：由，
所以方程的常数项是
故选A．
本题考查的是一元二次方程的一般形式及各项系数，掌握以上知识是解题的关键．
2、B
【分析】连接OQ、OP，作于H，如图，则OH=3，根据切线的性质得，利用勾股定理得到，根据垂线段最短，当OP=OH=3时，OP最小，于是PQ的最小值为，即可得到正方形PQRS的面积最小值1．
【详解】解： 连接OQ、OP，作于H，如图，则OH=3，
∵PQ 为的切线，
∴
在Rt中，，
当OP最小时，PQ最小，正方形PQRS的面积最小，
当OP=OH=3时，OP最小，
所以PQ的最小值为，
所以正方形PQRS的面积最小值为1
故选B

3、C
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，
②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
此题主要考查了位似图形的性质，中等难度,熟悉位似图形的性质是解决问题的关键．
4、D
【分析】将数据从小到大重新排列，中间的数即是这组数据的中位数.
【详解】将数据重新排列得：-2，-1，0，1，2，
∴这组数据的中位数是0，
故选：D.
此题考查数据的中位数，将一组数据从小到大重新排列，数据是奇数个时，中间的一个数是这组数据的中位数；数据是偶数个时，中间两个数的平均数是这组数据的中位数.
5、C
【分析】利用不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，进而得出答案．
【详解】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，
所以掷一枚质地均匀的硬币10次，
可能有7次正面向上；
故选：C．
本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6、B
【分析】根据余弦的定义求解．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB= ，
∴BC=10cos40°．
故选：B．
本题考查解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
7、A
【分析】根据概率是指某件事发生的可能性为多少解答即可．
【详解】解：此事件发生的概率
故选A．
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
8、B
【分析】根据圆周角定理和切线的性质以及余角的性质判定即可．
【详解】解：由证明过程可知：
A：@代表AE，故选项错误；
B：由同角的余角相等可知：◎代表，故选项正确；
C和D：由同弧所对的圆周角相等可得▲代表∠E，※代表圆周角，故选项错误；
故选B.
本题考查了切线的性质，圆周角定理，余角的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键．
9、A
【分析】利用位似图形的性质和两图形的位似比，并结合点A的坐标即可得出C点坐标．
【详解】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故选A．
本题主要考查位似变换、坐标与图形性质，解题的关键是结合位似比和点A的坐标．
10、C
【解析】∵△BMN是由△BMC翻折得到的，
∴BN=BC，又点F为BC的中点，
在Rt△BNF中，sin∠BNF=，
∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，
∴∠ABN=90°-∠FBN=30°，故②正确；
在Rt△BCM中，∠CBM=∠FBN=30°，
∴tan∠CBM=tan30°=，
∴BC=CM，AB2=3CM2故③正确；
∠NPM=∠BPF=90°-∠MBC=60°，∠NMP=90°-∠MBN=60°，
∴△PMN是等边三角形，故④正确；
由题给条件，证不出CM=DM，故①错误．
故正确的有②③④，共3个．
故选C．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、．
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴=．故答案为．
点睛：本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．
12、x1=0，x2=1．
【解析】试题分析：首先把x移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
解：x2=x，
移项得：x2﹣x=0，
∴x（x﹣1）=0，
x=0或x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1．
故答案为x1=0，x2=1．
考点：解一元二次方程-因式分解法．
13、
【解析】设方程另一个根为x，根据根与系数的关系得，然后解一次方程即可．
【详解】设方程另一个根为x，根据题意得x+1=3，
解得x=2.
故答案为：x=2.
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式
是解决本题的关键.
14、 (－2，0)
【解析】由C(0,c),D(m,c),得函数图象的对称轴是 ，
设A点坐标为(x,0),由A. B关于对称轴对称得 ，
解得x=−2，
即A点坐标为(−2,0)，
故答案为(−2,0).
15、1
【分析】由tanA＝＝1可设BC＝1x，则AC＝x，依据勾股定理列方程求解可得．
【详解】∵在Rt△ABC中，tanA＝＝1，
∴设BC＝1x，则AC＝x，
由BC2+AC2＝AB2可得9x2+x2＝10，
解得：x＝1（负值舍去），
则BC＝1，
故答案为：1．
本题考查了解直角三角形的问题，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解题的关键．
16、（答案不唯一）
【分析】可设道路的宽为xm，将4块剩余矩形平移为一个长方形，长为（50-x）m，宽为（39-x）m．根据长方形面积公式即可列出方程．
【详解】解：设道路的宽为xm，依题意有
（50-x）（39-x）=1．
故答案为： ．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．解题关键是利用平移把4块试验田平移为一个长方形的长和宽．
17、0.1
【解析】观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解．
【详解】解：依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.1左右，
估计任意抛掷一只纸杯，杯口朝上的概率约为0.1．
故答案为：0.1．
本题考查利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
18、小林
【详解】观察图形可知，小林的成绩波动比较大，故小林是新手．
故答案是：小林．

三、解答题(共66分)
19、（1）1﹣15；（2）15π
【分析】（1）连接OE，过O作OF⊥BM于F，在Rt△OEF中，由勾股定理得出EF的长，进而求得EB的长．
（2）连接OD，则在直角三角形ODQ中，可求得∠QOD=60°，过点E作EH⊥AO于H，在直角三角形OEH中，可求得∠EOH=1°，则得出的长度．
【详解】解：（1）连接OE，过O作OF⊥BM于F，则四边形ABFO是矩形，
∴FO=AB=15，BF=AO，
在Rt△OEF中，EF＝＝15，
∵BF＝AO＝1，
∴BE＝1﹣15．

（2）连接OD，在直角三角形ODQ中，
∵OD＝1，OQ＝1﹣15＝15，
∴∠ODQ＝1°，
∴∠QOD＝60°，
过点E作EH⊥AO于H，在直角三角形OEH中，
∵OE＝1，EH＝15，
∴，
∴∠EOH＝1°，
∴∠DOE＝90°，
∴＝π•60＝15π．
本题考查了直角三角形的性质，弧长的计算、矩形的性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．
20、（1）；（2）-1≤x＜0；（1）存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）
【分析】（1）根据平行线分线段成比例性质可得，求出A（1，0），B（0，4），C（-1，8），再用待定系数法求解；（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围：0＜-x+4≤-；（1）△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，有BC=BP或BC=PC两种情况.
【详解】解：（1）∵CD⊥OA，
∴DC∥OB，
∴，
∴CD=2OB=8，
∵OA=OD=OB=1，
∴A（1，0），B（0，4），C（-1，8），
把A、B两点的坐标分别代入y=ax+b可得
，解得，
∴一次函数解析式为，
∵反比例函数y=的图象经过点C，
∴k=-24，
∴反比例函数的解析式为y=-
（2）由题意可知所求不等式的解集即为直线AC在x轴上方且在反比例函数图象下方的图象所对应的自变量的取值范围，
即线段BC（包含C点，不包含B点）所对应的自变量x的取值范围，
∵C（-1，8），
∴0＜-x+4≤-的解集为-1≤x＜0
（1）∵B（0，4），C（-1，8），
∴BC=5，
∵△PBC是以BC为一腰的等腰三角形，
∴有BC=BP或BC=PC两种情况，
①当BC=BP时，即BP=5，
∴OP=BP+OB=4+5=9，或OP=BP-OB=5-4=1，
∴P点坐标为（0，9）或（0，-1）；
②当BC=PC时，则点C在线段BP的垂直平分线上，
∴线段BP的中点坐标为（0，8），
∴P点坐标为（0，12）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（0，-1）或（0，9）或（0，12）
考核知识点：相似三角形，反比例函数.数形结合分类讨论是关键.
21、32.2m．
【详解】
试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=25°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形，
∴CE=AB=12m，
在Rt△CBE中，cot∠CBE=，
∴BE=CE•cot30°=12×=12，
在Rt△BDE中，由∠DBE=25°，
得DE=BE=12．
∴CD=CE+DE=12（+1）≈32.2．
答：楼房CD的高度约为32.2m．

考点：解直角三角形的应用——仰角俯角问题．
22、（1）；（2）① ；②
【分析】（1）根据点B的坐标可得出点A，C的坐标，代入抛物线解析式即可求出b，c的值，求得抛物线的解析式；
（2）①过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，推出△QFA∽△CBA，△CGP∽△CBA，用含t的式子表示OF，PG，将三角形的面积用含t的式子表示出来，结合二次函数的性质可求出最值；②由于三角形直角的位置不确定，需分情况讨论，根据点的坐标，再结合两点间的距离公式用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）由题意知：A(0,3),C(4,0)，
∵抛物线经过A、B两点，
∴，解得，，
∴抛物线的表达式为：．
(2)① ∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90O， ∴AC2=AB2+BC2=5；
由，可得，∴D（2,3）．
过点Q、P作QF⊥AB、PG⊥AC，垂足分别为F、G，
∵∠FAQ=∠BAC， ∠QFA=∠CBA，
∴△QFA∽△CBA．
∴，
∴．
同理：△CGP∽△CBA，
∴∴，∴，

当时，△DPQ的面积最小.最小值为．
② 由图像可知点D的坐标为(2,3)，AC=5,直线AC的解析式为：．
三角形直角的位置不确定，需分情况讨论：
当时，根据勾股定理可得出：
，
整理，解方程即可得解；
当时，可知点G运动到点B的位置，点P运动到C的位置，所需时间为t=3；
当时,同理用勾股定理得出：
；
整理求解可得t的值．
由此可得出t的值为：,,,,．

本题考查的知识点是二次函数与几何图形的动点问题，掌握二次函数图象的性质是解此题的关键．
23、
【分析】设该公司两个月营业额的月平均增长率为，根据题目中的等量关系列出方程即可求解.
【详解】设该公司两个月营业额的月平均增长率为，
依题意，得:，
解得:(不合题意，舍去).
答:该公司两个月营业额的月平均增长率为.
本题考查的是增长率问题，比较典型，属于基础题型，关键是掌握增长率问题数量关系及其一般做法.
24、详见解析；点，的坐标分别为，
【分析】利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1即可．
【详解】解：如图，为所作，点，的坐标分别为，

本题考查了画图−性质变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
25、（1）袋中有黄球有2个（2）
【解析】设袋中黄球有x个，根据任意摸出一个球是红球的概率为列出关于x的方程，解之可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】设袋中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是原分式方程的解，
，即袋中有黄球有2个；
列表如下：

红
红
红
红
黄
黄
红
红，红
红，红
红，红
红，红
红，黄
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，红
红，黄
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，红
红，黄
红，黄
红
红，红
红，红
红，红
红，红
红，黄
红，黄
黄
黄，红
黄，红
黄，红
黄，红
黄，黄
黄，黄
黄
黄，红
黄，红
黄，红
黄，红
黄，黄
黄，黄
由表知共有36种等可能结果，其中两次摸出不同颜色球的有16种结果，
所以两次摸出不同颜色球的概率为．
本题考查了列表法与树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
26、（1）证明见解析；（2）.
【解析】试题分析：（1）根据四边形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据△AEF是等边三角形，得出AE=AF，最后根据HL即可证出△ABE≌△ADF；
（2）根据等边△AEF的周长是6，得出AE=EF=AF的长，再根据（1）的证明得出CE=CF，∠C=90°，从而得出△ECF是等腰直角三角形，再根据勾股定理得出EC的值，设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，求出x的值，即可得出正方形ABCD的边长．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AB＝AD，AE＝AF
∴Rt△ABE≌Rt△ADF；
（2）∵等边△AEF的周长是6，
∴AE=EF=AF=2，
又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE2+CF2=EF2，
∴EC=，
设BE=x，则AB=x+，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，
解得x1=或x2=（舍去），
∴AB=+=，
∴正方形ABCD的边长为．
考点: 1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；