2024-2025学年上海市外国语大附属外国语学校九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在中，，垂足为，，若，则的长为（ ）

A． B． C．5 D．
2． “割圆术”是我国古代的一位伟大的数学家刘徽首创的，该割圆术，就是通过不断倍增圆内接正多边形的边数来求出圆周率的一种方法，某同学在学习“割圆术”的过程中，画了一个如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）．

A．1 B．3 C．3.1 D．3.14
3．如图，点P（x，y）（x＞0）是反比例函数y=（k＞0）的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A，若△OPA的面积为S，则当x增大时，S的变化情况是（　　）

A．S的值增大 B．S的值减小
C．S的值先增大，后减小 D．S的值不变
4．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于 CD的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为（　　）

A． B．2 C．3 D．4
5．若扇形的半径为2，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．某同学用一根长为（12+4π）cm的铁丝，首尾相接围成如图的扇形（不考虑接缝），已知扇形半径OA＝6cm，则扇形的面积是（　　）

A．12πcm2 B．18πcm2 C．24πcm2 D．36πcm2
7．已知点A（-2，m），B（2，m），C（3，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
8．一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1到6的点数．下列事件中，是不可能事件的是（　　）
A．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5
B．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5
C．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6
D．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA的值为（　　）

A． B． C． D．
10．如图坐标系中，O（0，0），A（3，3），B（6，0），将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝，则AC：AD的值是（ ）

A．1：2 B．2：3 C．6：7 D．7：8
11．一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、2、1．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率是( )
A． B．
C． D．
12．受益于电子商务发展和法治环境改普等多重因素，“快递业”成为我国经济发展的一匹“黑马”，2018年我国快递业务量为600亿件，预计2020年快递量将达到950亿件，若设快递平均每年增长率为x，则下列方程中，正确的是（　　）
A．600（1+x）＝950 B．600（1+2x）＝950
C．600（1+x）2＝950 D．950（1﹣x）2＝600
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为_____．

14．在平面坐标系中，第1个正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作第2个正方形，延长交轴于点；作第3个正方形，…按这样的规律进行下去，第5个正方形的边长为__________.

15．已知：在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P是BC上的一点，若∠APD=90°，则AP=_____．
16．计算：_______．
17．如图，BC⊥y轴，BC＜OA，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，D是线段BC上一点，BD＝OA＝2，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°，将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE的值为_____．

18．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn+xn+1= ．
三、解答题（共78分）
19．（8分）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为，寸，尺，其中1尺寸，求出直径的长．

解题过程如下：
连接，设寸，则寸．
∵尺，∴寸．
在中，，即，解得，
∴寸．
任务：
（1）上述解题过程运用了 定理和 定理．
（2）若原题改为已知寸，尺，请根据上述解题思路，求直径的长．
（3）若继续往下锯，当锯到时，弦所对圆周角的度数为 ．
20．（8分）已知等边△ABC，点D为BC上一点，连接AD.

图1 图2
（1）若点E是AC上一点，且CE＝BD，连接BE，BE与AD的交点为点P，在图（1）中根据题意补全图形，直接写出∠APE的大小；
（2）将AD绕点A逆时针旋转120°，得到AF，连接BF交AC于点Q，在图（2）中根据题意补全图形，用等式表示线段AQ和CD的数量关系，并证明.
21．（8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表.
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5～89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m＝__________，n＝____________；
(2)请在图中补全频数直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在_________分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率.

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的边垂直于轴、垂足为点，反比例函数的图象经过的中点、且与相交于点．经过、两点的一次函数解析式为，若点的坐标为，．且．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在直线上有一点，的面积等于．求满足条件的点的坐标；
（3）请观察图象直接写出不等式的解集．

23．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．

24．（10分）解下列方程
（1）x2+4x﹣1=0
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2
25．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，
（1）求证：AE=DE；
（2）若PB=2，求AE的长；
（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．

26．如图所示，双曲线与直线(为常数)交于，两点.

(1)求双曲线的表达式；
(2)根据图象观察，当时，求的取值范围；
(3)求的面积.
参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据题意先求出AE和BE的长度，再求出∠BAE的sin值，根据平行线的性质得出∠ADE=∠BAE，即可得出答案.
【详解】∵，
∴
BE=
∴
∵ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠ADE=∠DEC
又∵∠BAE=∠DEC
∴∠BAE=∠ADE
∴
∴
故答案选择A.
本题考查的是平行四边形的综合，难度适中，涉及到了平行四边形的性质以及三角函数值相关知识，需要熟练掌握.
2、B
【分析】先求出，进而得出，根据这个圆的内接正十二边形的面积为进行求解．
【详解】∵是圆的内接正十二边形，
∴，
∵，
∴，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为，
故选B．

本题考查正十二边形的面积计算，先求出是解题的关键．
3、D
【分析】作PB⊥OA于B，如图，根据垂径定理得到OB=AB，则S△POB=S△PAB，再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=|k|，所以S=2k，为定值．
【详解】作PB⊥OA于B，如图，则OB=AB，∴S△POB=S△PAB．
∵S△POB=|k|，∴S=2k，∴S的值为定值．
故选D．

本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
4、B
【解析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，作EH⊥BC于H，从而得到∠ECH=60°,利用三角函数可求出EH、CH的值，再利用勾股定理即可求出BE的长.
【详解】解：如图所示，作EH⊥BC于H，

由作法得AE垂直平分CD，
∴∠AED=90°，CE=DE＝2，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=2DE，
∴∠DAE=30°，
∴∠D=60°，
∵AD//BC，
∴∠ECH=∠D=60°,
在Rt△ECH中，
EH=CE·sin60°=,
CH=CE·cos60°=,
∴BH=4+1=5，
在Rt△BEH中，由勾股定理得，
.
故选B.
本题考查了垂直平分线的性质、菱形的性质、解直角三角形等知识.合理构造辅助线是解题的关键.
5、B
【分析】直接利用扇形的面积公式计算．
【详解】这个扇形的面积：．
故选：B．
本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为R的扇形面积为S，则或（其中为扇形的弧长）．
6、A
【分析】首先根据铁丝长和扇形的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的圆心角，然后代入扇形面积公式求解即可．
【详解】解：∵铁丝长为（12+4π）cm，半径OA＝6cm，
∴弧长为4πcm，
∴扇形的圆心角为：＝120°，
∴扇形的面积为：＝12πcm2，
故选：A．
本题考查了扇形的面积的计算，解题的关键是了解扇形的面积公式及弧长公式，难度不大．
7、D
【分析】可以采用排除法得出答案，由点A（-2，m），B（2，m）关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（2，m），C（3，m﹣n）（n＞0）的特点和二次函数的性质，可知抛物线在对称轴的右侧呈下降趋势，所以抛物线的开口向下，即a<0.
【详解】解：∵A（-2，m），B（2，m）关于y轴对称，且在同一个函数的图像上，
而，的图象关于原点对称，
∴选项A、B错误，只能选C、D，
，
；
∵，在同一个函数的图像上，
而 y＝x2在y轴右侧呈上升趋势，
∴选项C错误，
而D选项符合题意.
故选：D．
本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟悉各个函数的图象和性质是解题的基础，发现点的坐标关系是解题的关键.
8、D
【分析】事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，据此进行判断即可．
【详解】解：A．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5，属于随机事件，不合题意；
B．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5，属于随机事件，不合题意；
C．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6，属于随机事件，不合题意；
D．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6，属于不可能事件，符合题意；
故选：D．
本题考查的知识点是不可能事件的定义，比较基础，易于掌握．
9、D
【分析】由三角函数定义即可得出答案．
【详解】如图所示：

由图可得：AD=3，CD=4，
∴tanA．
故选：D．
本题考查了解直角三角形．构造直角三角形是解答本题的关键．
10、B
【分析】过A作AF⊥OB于F，如图所示：根据已知条件得到AF=1，OF=1，OB=6，求得∠AOB=60°，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB=∠ABO=60°，根据折叠的性质得到∠CED=∠OAB=60°，求得∠OCE=∠DEB，根据相似三角形的性质得到BE=OB﹣OE=6﹣=，设CE=a，则CA=a，CO=6﹣a，ED=b，则AD=b，DB=6﹣b，于是得到结论．
【详解】过A作AF⊥OB于F，如图所示：

∵A(1，1)，B(6，0)，
∴AF=1，OF=1，OB=6，
∴BF=1，
∴OF=BF，
∴AO=AB，
∵tan∠AOB=，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠ABO=60°，
∵将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，
∴∠CED=∠OAB=60°，
∵∠OCE+∠COE=∠OCE+60°=∠CED+∠DEB=60°+∠DEB，
∴∠OCE=∠DEB，
∴△CEO∽△EDB，
∴==，
∵OE=，
∴BE=OB﹣OE=6﹣=，
设CE=a，则CA=a，CO=6﹣a，ED=b，则AD=b，DB=6﹣b，
则，，
∴6b=10a﹣5ab①，24a=10b﹣5ab②，
②﹣①得：24a﹣6b=10b﹣10a，
∴，
即AC:AD=2:1．
故选：B．
本题考查了翻折变换-折叠问题，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证得△AOB是等边三角形是解题的关键．
11、D
【解析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为10，
所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．
故选D．
本题考查了列表法与树状图法．利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
12、C
【分析】设快递量平均每年增长率为，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】设快递量平均每年增长率为x，
依题意，得：600(1+x)2=1．
故选：C．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【解析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可.
【详解】连接AC,与对称轴交于点P,

此时DE+DF最小，
点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，

在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时，
当时，或
即

点P是抛物线对称轴上任意一点，
则PA=PB,
PA+PC=AC,
PB+PC=
DE+DF的最小值为：
故答案为
考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键.
14、
【分析】先求出第一个正方形ABCD的边长，再利用△OAD∽△BA1A求出第一个正方形的边长，再求第三个正方形边长，得出规律可求出第5个正方形的边长.
【详解】∵点的坐标为，点的坐标为
∴OA=3，OD=4，
∴
∵∠DAB=90°
∴∠DAO+∠BAA1=90°，
又∵∠DAO+∠ODA=90°，
∴∠ODA=∠BAA1
∴△OAD∽△BA1A
∴即
∴
∴
同理可求得
得出规律，第n个正方形的边长为
∴第5个正方形的边长为.
本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，此题的关键是根据计算的结果得出规律.
15、2或4
【解析】设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，分别在Rt△ABP和Rt△DCP中利用勾股定理用x表示出AP2和DP2，然后在Rt△ADP中利用勾股定理得出关于x的一元二次方程，解出x的值，即可得出AP的长．
【详解】解：如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，DC=AB=4，
设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
AP2=AB2+BP2=42+x2，
在Rt△DCP中，由勾股定理得：
DP2=DC2+CP2=42+(10-x)2，
又∵∠APD=90°，
在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，
∴42+x2+42+(10-x)2=102，
整理得：x2-10x+16=0，
解得：x1=2，x2=8，
当BP=2时，AP==；
当BP=8时，AP==．
故答案为：或．
本题主要考查了矩形的性质和勾股定理及一元二次方程，学会利用方程的思想求线段的长是关键．
16、
【分析】原式把变形为，然后逆运用积的乘方进行运算即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=
=
=．
故答案为：．
此题主要考查了幂的运算，熟练掌握积的乘方运算法则是解答此题的关键．
17、6﹣或6或9﹣3
【分析】可得到∠DOE＝∠EAF，∠OED＝∠AFE，即可判定△DOE∽△EAF，分情况进行讨论：①当EF＝AF时，△AEF沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；②当AE＝AF时，△AEF沿EF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；③当AE＝EF时，△AEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长．
【详解】解：连接OD，过点BH⊥x轴，
①沿着EA翻折，如图1：∵∠OAB＝45°，AB＝3，

∴AH＝BH＝ABsin45°=，
∴CO＝，
∵BD＝OA＝2，
∴BD＝2，OA＝8，
∴BC＝8﹣，
∴CD＝6﹣；
∵四边形FENA是菱形，
∴∠FAN＝90°，
∴四边形EFAN是正方形，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵∠DEF＝45°，
∴DE⊥OA，
∴OE＝CD＝6﹣；
②沿着AF翻折，如图2：

∴AE＝EF，
∴B与F重合，
∴∠BDE＝45°，
∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE＝BD＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；
③沿着EF翻折，如图3：

∴AE＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴△AEF是等腰三角形，
过点F作FM⊥x轴，过点D作DN⊥x轴，
∴△EFM∽△DNE，
∴，
∴，
∴NE＝3﹣，
∴OE＝6﹣+3﹣＝9﹣3；
综上所述：OE的长为6﹣或6或9﹣3，
故答案为6﹣或6或9﹣3．
此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行四边形、菱形及正方形的性质，利用三角函数、勾股定理及相似三角形的性质进行求解.
18、．
【分析】根据三角形数得到x1=1，x1=3=1+1，x3=6=1+1+3，x4=10=1+1+3+4，x5=15=1+1+3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即xn=1+1+3+…+n=、xn+1=，然后计算xn+xn+1可得．
【详解】∵x1=1，
x1═3=1+1，
x3=6=1+1+3，
x4═10=1+1+3+4，
x5═15=1+1+3+4+5，
…
∴xn=1+1+3+…+n=，
xn+1=，
则xn+xn+1=+=（n+1）1，
故答案为：（n+1）1．

三、解答题（共78分）
19、（1）垂径，勾股；（2）26寸；（3）或
【分析】（1）由解题过程可知根据垂径定理求出AE的长，在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值，即可得到答案．
（2）连接OA，设OA=r寸，则OE=DE-r=25-r，再根据垂径定理求出AE的长，在Rt△OAE中根据勾股定理求出r的值，进而得出结论．
（3）当AE=OE时，△AEO是等腰直角三角形，则∠AOE=45°，∠AOB=90°，所以由圆周角定理推知弦AB所对圆周角的度数为 45°或135°．
【详解】解：（1）根据题意知，上述解题过程运用了 垂径定理和 勾股定理．

故答案是：垂径；勾股；
（2）连接OA，设OA=r寸，则OE=DE-r=（25-r）寸
∵AB⊥CD，AB=1尺，∴AE=AB=5寸
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，即r2=52+（25-r）2，解得r=13，
∴CD=2r=26寸
（2）∵AB⊥CD，
∴当AE=OE时，△AEO是等腰直角三角形，
∴∠AOE=45°，
∴∠AOB=2∠AOE=90°，
∴弦AB所对圆周角的度数为∠AOB=45°．
同理，优弧AB所对圆周角的度数为135°．
故答案是：45°或135°．
此题考查圆的综合题，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，解题关键在于需要我们熟练各部分的内容，要注意将所学知识贯穿起来．
20、（1）补全图形见解析. ∠APE=60°；（2）补全图形见解析.，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，按照要求补全图形即可；
（2）先补全图形，然后首先证明△ABD≌△BEC得出∠BAD=∠CBE，之后通过一系列证明得出△AQF≌△EQB，最后进一步从而得出即可.
【详解】（1）补全图形如下，其中 ∠APE=60°，

（2）补全图形.

证明：在△ABD和△BEC中，

∴△ABD≌△BEC（SAS）
∴∠BAD=∠CBE.
∵∠APE是△ABP的一个外角，
∴∠APE=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=∠ABC=60°.
∵AF是由AD绕点A逆时针旋转120°得到，
∴AF=AD，∠DAF=120°.
∵∠APE=60°，
∴∠APE+∠DAP=180°.
∴AF∥BE
∴∠1=∠2
∵△ABD≌△BEC，
∴AD=BE.
∴AF=BE.
在△AQF和△EQB中，

∴△AQF≌△EQB（AAS）
∴AQ=QE
∴
∵AE=AC－CE，CD=BC－BD，
且AE=BC，CD=BD.
∴AE=CD..
∴
本题主要考查了全等三角形的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
21、 (1)8，0.35；(2)见解析；(3)89.5～94.5；(4).
【分析】(1)根据频数=总数×频率可求得m的值，利用频率=频数÷总数可求得n的值；
(2)根据m的值补全直方图即可；
(3)根据中位数的概念进行求解即可求得答案；
(4)画树状图得到所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后利用概率公式进行求解即可.
【详解】(1)m＝40×0.2＝8，n＝14÷40＝0.35，
故答案为8，0.35；
(2)补全图形如下：

(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在89.5～94.5，
∴推测他的成绩落在分数段89.5～94.5内，
故答案为89.5～94.5；
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生，画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中一名男生一名女生的结果数有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率为.
本题考查了频数(率)分布表，频数分布直方图，中位数，列表法或树状图法求概率，正确把握相关知识是解题的关键.
22、（1）y1=；（2）P(2，4)或(﹣14，﹣4)；（3）x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
【分析】（1）把D（-4，1）代入(x＜1)，利用待定系数法即可求得；
（2）根据题意求得C点的坐标，进而根据待定系数法求得直线CD的解析式，根据三角形的面积求得P点的纵坐标，代入直线解析式即可求得横坐标；
（3）根据两函数图象的上下位置关系即可得出不等式的解集．
【详解】(1)把(﹣4，1)代入(x＜1)，
解得：k1=﹣4，
∴反比例函数的解析式为：y1=；
(2)由点D的坐标为(﹣4，1)，且AD=3，
∴点A的坐标为(﹣4，4)，
∵点C为OA的中点，
∴点C的坐标为(﹣2，2)，
将点D(﹣4，1)和点C(﹣2，2)代入y2=k2x+b，
得k2=，b=3，即y2=，
设点P的坐标为(m，n)
∵△POB的面积等于8，OB=4，
∴=8，
∴即，
代入y2=，
得到点P的坐标为(2，4)或(﹣14，﹣4)；
(3) 观察函数图象可知：
当x＜﹣4或﹣2＜x＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，
∴不等式的解集为：x＜﹣4或﹣2＜x＜1．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是求得C点的坐标．
23、（1）见解析；（2）2
【分析】(1)欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；
(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题．
【详解】(1)∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠PCB=∠A，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)∵CP=CA，
∴∠P=∠A，
∴∠COB=2∠A=2∠P，
∵∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∵OC=OA=2，
∴OP=2OC=4，
∴PC==2．
本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．
24、 (1) x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；(2) y1=﹣，y2=．
【解析】（1）把常数项1移项后，在左右两边同时加上4配方求解．
(2)整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
【详解】（1）移项可得：x2+4x=1，
两边加4可得：x2+4x+4=4+1，
配方可得：（x+2）2=5，
两边开方可得：x+2=±，
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；
（2）移项可得：（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，
分解因式可得：（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，即（4y+1）（3﹣2y）=0，
∴4y+1=0或3﹣2y=0，
∴y1=﹣，x2=．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解题的关键．
25、（1）详见解析；（3）AE=；（3）≤AE＜．
【解析】（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案；
（3）利用勾股定理得出ED3+PD3=EC3+CP3=PE3，求出AE即可；
（3）分别根据当D（P)点在B点时以及当P与C重合时，求出AE的长，进而得出AE的取值范围．
【详解】（1）证明：如图1，连接PD．

∵DE切⊙O于D．
∴PD⊥DE．
∴∠ADE+∠PDB=90°．
∵∠C=90°．
∴∠B+∠A=90°．
∵PD=PB．
∴∠PDB=∠B．
∴∠A=∠ADE．
∴AE=DE；
（3）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，
∵PB=PD=3，BC=1．
∴PC=3．
∵∠PDE=∠C=90°，
∴ED3+PD3=EC3+CP3=PE3．
∴x3+33=（8-x）3+33．
解得x=．
∴AE=；
（3）解：如图3，当P点在B点时，此时点D也在B点，

∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，
∴EC3+BC3=BE3，
∴（8-x）3+13=x3，
解得：x=，
如图3，当P与C重合时，

∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，
∴EC3=DC3+DE3，
∴（8-x）3=13+x3，
解得：x=，
∵P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），
∴线段AE长度的取值范围为：≤AE＜．
本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．
26、 (1)；(2)或；(3)6.
【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式即可求得k的值；
（2）根据点B在双曲线上可求出a的值，再结合图象确定双曲线在直线上方的部分对应的x的值即可；
（3）先利用待定系数法求出一次函数的解析式，再用如图的△AOC的面积减去△BOC的面积即可求出结果.
【详解】解(1)：双曲线经过，∴，
∴双曲线的解析式为.
(2)∵双曲线经过点，
∴，解得，∴，
根据图象观察，当时，的取值范围是或.

(3)设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与轴的交点，
∴.
本题是反比例函数与一次函数的综合题，重点考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的交点问题和三角形的面积计算，属于中档题型，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题的关键.