四川省什邡市师古中学2024-2025学年九年级数学第一学期期末经典试题含解析.doc

2023-2024学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．一元二次方程3x2﹣x＝0的解是（　　）
A．x＝ B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝0，x2＝ D．x＝0
2．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于（　　）

A．65° B．60° C．55° D．50°
3．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是x＝﹣1，且过点(﹣3，0)，下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③若(﹣5，y1)，(3，y2)是抛物线上两点，则y1＝y2；④4a+2b+c＜0，其中说法正确的（　　）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
4．两个相似多边形的面积之比是1：4，则这两个相似多边形的周长之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
5．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣1
﹣1
0
1
1
3
4
…
y
…
11
5
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
5
…
给出以下结论：（1）二次函数y＝ax1+bx+c有最小值，最小值为﹣3；（1）当﹣＜x＜1时，y＜0；（3）已知点A（x1，y1）、B（x1，y1）在函数的图象上，则当﹣1＜x1＜0，3＜x1＜4时，y1＞y1．上述结论中正确的结论个数为（　　）
A．0 B．1 C．1 D．3
6．已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．为了估计水塘中的鱼数，养鱼者先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞鱼。通过多次实验后发现捕捞的鱼中有作记号的频率稳定在2.5%左右，则鱼塘中鱼的条数估计为（ ）
A．600条 B．1200条 C．2200条 D．3000条
9．如图，点A1的坐标为（1，0）,A2在y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交x轴于点A3,过点A3作A3A4⊥A2A3，垂足为A3,交y轴于点A4；过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交x轴于点A5；过点A5作A5A6⊥A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6；…按此规律进行下去，则点A2017的横坐标为（ ）

A． B．0 C． D．
10．如图，是等腰直角三角形，且，轴，点在函数的图象上，若，则的值为( )

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，分别为矩形的边，的中点，若矩形与矩形相似，则相似比等于__________.

12．如图，是一个半径为，面积为的扇形纸片，现需要一个半径为的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则_____．

13．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的两点，且DEBC，BD＝AE，若AB＝12cm，AC＝24cm，则AE＝_____．

14．已知直线:交x轴于点A，交y轴于点B；直线:经过点B，交x轴于点C，过点D（0，-1）的直线分别交、于点E、F，若△BDE与△BDF的面积相等，则k=____.
15．菱形ABCD中，若周长是20cm，对角线AC＝6cm，则对角线BD＝_____cm．
16．有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是 ．

17．二次函数的部分图像如图所示，要使函数值，则自变量的取值范围是_______.

18．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2018年蔬菜实际产量为121吨，则蔬菜产量的年平均增长率为____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1,0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B．
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1 上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标．

20．（6分）不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（小球除颜色外其余都相同），其中黄球2个，蓝球1个．若从中随机摸出一个球，摸到蓝球的概率是．
（1）求口袋里红球的个数；
（2）第一次随机摸出一个球（不放回），第二次再随机摸出一个球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸到的球恰是一黄一蓝的概率．
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，，点是上一点，，．

（1）求证：；
（2）求的值．
22．（8分）已知的半径长为，弦与弦平行，，，求间的距离．
23．（8分）已知抛物线.
（1）若，，，求该抛物线与轴的交点坐标；
（2）若，且抛物线在区间上的最小值是-3，求的值.
24．（8分）小王准备给小李打电话，由于保管不善，电话本上的小李手机号中，有两个数字已经模糊不清，如果用，表示这两个看不清的数字，那么小李的号码为（手机号码由11个数字组成），小王记得这11个数字之和是20的整数倍.
（1）求的值；
（2）求出小王一次拨对小李手机号的概率.
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，以AB上一点O为圆心，AD为弦作⊙O．
（1）尺规作图：作出⊙O（不写作法与证明，保留作图痕迹）；
（2）求证：BC为⊙O的切线．

26．（10分）已知二次函数的图象和轴交于点、，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上的动点.

(1)求直线的解析式.
(2)当是抛物线顶点时，求面积.
(3)在点运动过程中，求面积的最大值.
参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【解析】根据题意对方程提取公因式x,得到x( 3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.
【详解】∵3x2﹣x=0，
∴x（3x﹣1）=0，
∴x=0或3x﹣1=0，
∴x1=0，x2=，
故选C．
本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.
2、A
【分析】连结BD，由于点D是的中点，即，根据圆周角定理得∠ABD＝∠CBD，则∠ABD＝25°，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠DAB的度数．
【详解】解：连结BD，如图，
∵点D是的中点，即，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝×50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：A．

本题考查了圆周角定理及其推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角．
3、B
【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】由图象可得，
， ， ，则 ，故①正确；
∵该函数的对称轴是 ，
∴，得 ，故②正确；
∵，，
∴若（﹣5，y1），（3，y2）是抛物线上两点，则 ，故③正确；
∵该函数的对称轴是 ，过点（﹣3，0），
∴ 和 时的函数值相等，都大于0，
∴ ，故④错误；
故正确是①②③，
故选：B．
本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
4、A
【解析】分析：根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比可得．
解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为 =1：1．
故选B．
点睛：相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
5、B
【分析】根据表格的数据，以及二次函数的性质，即可对每个选项进行判断.
【详解】解：（1）函数的对称轴为：x＝1，最小值为﹣4，故错误，不符合题意；
（1）从表格可以看出，当﹣＜x＜1时，y＜0，符合题意；
（3）﹣1＜x1＜0，3＜x1＜4时，x1离对称轴远，故错误，不符合题意；
故选择：B．
本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6、D
【解析】试题解析：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选D．
7、D
【分析】首先根据勾股定理求得AC的长，然后利用正弦函数的定义即可求解．
【详解】∵∠C=90°，BC=1，AB=4，
∴，
∴，
故选：D．
本题考查了三角函数的定义，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，转化成直角三角形的边长的比．
8、B
【分析】由题意已知鱼塘中有记号的鱼所占的比例，用样本中的鱼除以鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：30÷2.5%=1．
故选：B．
本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本总量除以所求量占样本的比例即可估计总量．
9、A
【分析】由题意根据坐标的变化找出变化规律并依此规律结合2017=504×4+1即可得出点A2017的坐标进而得出横坐标.
【详解】解：∵∠A1A2O=30°，点A1的坐标为（1，0），
∴点A2的坐标为（0，）．
∵A2A3⊥A1A2，
∴点A3的坐标为（-3，0）．
同理可得：A4（0，-3 ），A5（9，0），A6（0，9 ），…，
∴A4n+1（()4n，0），A4n+2（0，()4n+1），A4n+3（-( )4n+2，0），A4n+4（0，-( )4n+3）（n为自然数）．
∵2017=504×4+1，
∴A2017（()2016，0），即（31008，0），点A2017的横坐标为.
故选：A．
本题考查规律型中点的坐标以及含30度角的直角三角形，根据点的变化找出变化规律是解题的关键.
10、B
【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．
【详解】解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，CA⊥x轴，AB=1，
∴∠BAC=∠BAO=45°，
∴OA=OB=
∴点C的坐标为
∵点C在函数（x＞0）的图象上，
∴k= =1.
故选：B．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、（或）
【分析】根据矩形的性质可得EF=AB=CD，AE=AD=BC，根据相似的性质列出比例式，即可得出，从而求出相似比.
【详解】解：∵分别为矩形的边，的中点，
∴EF=AB=CD，AE=AD=BC，
∵矩形与矩形相似
∴
∴
∴
∴相似比＝（或）
故答案为：（或）.
此题考查的是求相似多边形的相似比，掌握相似多边形的性质是解决此题的关键.
12、
【分析】先根据扇形的面积和半径求出扇形的弧长，即圆锥底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求出R．
【详解】解：设扇形的弧长为l，半径为r，
∵扇形面积，
∴，
∴ ，
∴．
故答案为：．
本题主要考查圆锥的有关计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键．
13、1cm
【分析】由题意直接根据平行线分线段成比例定理列出比例式，进行代入计算即可得到答案．
【详解】解：∵DE//BC，
∴，即，
解得：AE＝1．
故答案为：1cm．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，由题意灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
14、
【分析】先利用一次函数图像相关求出A、B、C的坐标，再根据△BDE与△BDF的面积相等，得到点E、F的横坐标相等，从而进行分析即可.
【详解】解：由直线:交x轴于点A，交y轴于点B；直线:经过点B，交x轴于点C，求出A、B、C的坐标分别为，
将点D（0，-1）代入得到，又△BDE与△BDF的面积相等，即知点E、F的横坐标相等，且直线分别交、于点E、F，可知点E、F为关于原点对称，即知坡度为45°，斜率为.
故k=.
本题考查一次函数图像性质与几何图形的综合问题，熟练掌握一次函数图像性质以及等面积三角形等底等高的概念进行分析是解题关键.
15、1
【分析】先根据周长求出菱形的边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出BD的一半，然后即可得解．
【详解】解：如图，∵菱形ABCD的周长是20cm，对角线AC＝6cm，
∴AB＝20÷4＝5cm，AO＝AC＝3cm，
又∵AC⊥BD，
∴BO＝＝4cm，
∴BD＝2BO＝1cm．
故答案为：1．

本题考查了菱形的性质,属于简单题,熟悉菱形对角线互相垂直且平分是解题关键.
16、
【详解】解：∵每个扇形大小相同，因此阴影面积与空白的面积相等，
∴落在白色扇形部分的概率为：=．
故答案为．
考点：几何概率
17、
【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可.
【详解】根据二次函数的图象可知：
对称轴为，已知一个点为，
根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称的另一个点为，
所以时，的取值范围是．
故答案为：．
本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对称轴求出点的对称点是解题的关键．
18、10%
【分析】2016年到2018年是2年的时间，设年增长率为x，可列式100×=121，解出x即可．
【详解】设平均年增长率为x，可列方程
100×=121
解得x=10％
故本题答案应填10％．
本题考查了一元二次函数的应用问题．

三、解答题(共66分)
19、（1）y＝－x2－2x＋3，y＝x＋3；（2）M(－1，2)．
【解析】试题分析：（1）根据题意得出关于a、b、c的方程组，求得a、b、c的值，即可得出抛物线的解析式，根据抛物线的对称性得出点B的坐标，再设出直线BC的解析式，把点B、C的坐标代入即可得出直线BC的解析式；
（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC，设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，再求得点M的坐标．
试题解析：（1）依题意得：，
解之得：，
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3，
∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），
∴B（-3，0），
∴把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得，
解得：，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=-1代入直线y=x+3得，y=2
∴M（-1，2）．
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）．
考点：1.抛物线与x轴的交点；2.轴对称-最短路线问题．
20、（1）1；（2）见解析，
【分析】（1）设红球有x个，根据题意得：;（2）列表，共有12种等可能性的结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种.
【详解】解：（1）设红球有x个，
根据题意得：，
解得：x=1，
经检验x=1是原方程的根．
则口袋中红球有1个
（2）列表如下：

红
黄
黄
蓝
红
---
（黄，红）
（黄，红）
（蓝，红）
黄
（红，黄）
---
（黄，黄）
（蓝，黄）
黄
（红，黄）
（黄，黄）
---
（蓝，黄）
蓝
（红，蓝）
（黄，蓝）
（黄，蓝）
---
由上表可知，共有12种等可能性的结果，其中两次摸到的球恰是一黄一蓝的情况有4种，
则P=
考核知识点：用列举法求概率.列表是关键.
21、（1）证明见解析；（2）cos∠ABO=
【分析】（1）过点作点，在中，利用锐角三角函数的知识求出BD的长，再用勾股定理求出OD、AB、BC的长， 所以AB=BC，从而得到∠ACB=∠BAO，然后根据两角分别相等的两个三角形相似解答即可；
（2）在中求出∠BAO的余弦值，根据∠ABO=∠BAO可得答案．
【详解】（1）在平面直角坐标系中，点的坐标为，
，，
，∠OAB=∠ABO，
过点作点，

则，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
∴CD=6-2=4，
∴BC=，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠BAO，
∴∠ACB=∠ABO=∠BAO，
又∵∠BAC=∠OAB，
（两角分别相等的两个三角形相似）；
（2）在中，
，
∵∠ABO=∠BAO ，
，
即的值为．
本题考查了坐标与图形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
22、1或7
【分析】先根据勾股定理求出OF=4，OE=3，再分AB、CD在点O的同侧时，AB、CD在点O的两侧时两种情况分别计算求出EF即可.
【详解】如图，过点O作OE⊥CD于E，交AB于点F，
∵，
∴OE⊥AB，
在Rt△AOF中，OA=5，AF=AB=3，∴OF=4，
在Rt△COE中，OC=5，CE=CD=4，∴OE=3，
当AB、CD在点O的同侧时，、间的距离EF=OF-OE=4-3=1；
当AB、CD在点O的两侧时，AB、CD间的距离EF=OE+OF=3+4=7，
故答案为：1或7.

此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，在圆中通常利用垂径定理和勾股定理求半径、弦的一半、弦心距三者中的一个量.
23、（1）（-1，0），；（2）b=7或．
【分析】（1）将，，代入解析式，然后令y=0，求x的值，使问题得解；（2）求得函数的对称轴是x=-b，然后分成-b≤-2，-2＜-b≤2和-b＞2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．
【详解】解：（1）当，，时
当y=0时，
解得：
∴该抛物线与x轴的交点为（-1,0），
（2）当，时，
∴抛物线的对称轴是x==-b．
当-b≤-2，即b≥2时，在区间上，y随x增大而增大
∴当x=-2时，y最小为
解得：b=7；
当-2＜-b≤2时，即-2≤b＜2，在区间上
当x=-b时，y最小为

解得：b=（不合题意）或b=(不合题意)
当-b＞2，即b＜-2时，在区间上，y随x增大而减小
∴当x=2时，y最小为
解得：b=．
综上，b=7或．
本题考查了二次函数与x轴的交点以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键．
24、（1）14；（2）.
【分析】（1）根据题意求出11个数字之和，再根据和是20的整数倍进行求解；
（2）先求出、的可能值，再根据概率公式进行求解.
【详解】（1）11个数字之和为=46+=20n，
∵这11个数字之和是20的整数倍，2＜＜18
∴当n=3时，
即；
（2）∵
、的可能值为9和5，8和6，7和7，6和8，5和9，
∴小王一次拨对小李手机号码的概率
此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式.
25、（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）因为AD是弦，所以圆心O即在AB上，也在AD的垂直平分线上，作AD的垂直平分线，与AB的交点即为所求；
（2）因为D在圆上，所以只要能证明OD⊥BC就说明BC为⊙O的切线．
【详解】解：（1）如图所示，⊙O即为所求；

（2）证明：连接OD．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC．
又∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∴BC是⊙O的切线．
本题主要考查圆的切线，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
26、 (1)；(2)3；(3)面积的最大值为.
【分析】（1）由题意分别将x=0、y=0代入二次函数解析式中求出点C、A的坐标，再根据点A、C的坐标利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（2）由题意先根据二次函数解析式求出顶点，进而利用割补法求面积；
（3）根据题意过点作轴交于点并设点的坐标为()，则点的坐标为进而进行分析.
【详解】解：(1) 分别将x=0、y=0代入二次函数解析式中求出点C、A的坐标为；；
将；代入，得到直线的解析式为.
(2)由，将其化为顶点式为，可知顶点P为，
如图P为顶点时连接PC并延长交x轴于点G，

则有，
将P点和C点代入求出PC的解析式为，解得G为，
所有=3；
(3)过点作轴交于点.

设点的坐标为()，则点的坐标为
∴，
当时，取最大值，最大值为.
∵，
∴面积的最大值为.
本题考查待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是利用待定系数法求出直线解析式以及利用二次函数的性质进行综合分析.