2022年初中数学竞赛训练题【精华版】.pdf
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1、精选学习资料-欢迎卜或数学竞赛训练题一一.挑选题(每道题 6分,共36分)101.假如 x 0、0、log y log x,xy 144 那么 x y 的值为()V x y3A20 3 B.2 6 3 C.24 3 D.10 32.设函数 f a|x|。且a 1),-2)=9,就()x laA.f(-2)f(-1)B.f(-1)f(-2)C.f(1)f(2)D.f(-2)f(2)3.已知二次函数 f(x)满意f(1x)f x)、f(1)1、1 f 5、1 41就f(3)的取值范畴为()A.7 f B.426C.13215D.f283f2534.如图1,设P为AABC内一点,且 AP就4ABP的
2、面积与 ABC的面积之比为2AB 5()1AC,512 11A.B.C.D.5 5 4 35.设在xoy平面上,0 yM(x、y)|y|x|1、N1x2,0 x 1所围成图形的面积为,就集合3X、y|y 1的交集M N所表示图形 2的面积为(A.136.方程 X2B.z C.1320062007的正整数解D.43X、y)的组数为()y精品学习资料A.1组 B.2组 C.4组D.8组 L=+-_ _ =-+1二.填空题(每道题 9分,共54分)7.函数f x log 1.5x+6)的单调递增区间为/一 2(X3a+a a=o t an a)依/古小8.已知5sin2 sin 2,就 的值为-It
3、 1)=an=+llll 11+9.设an为一个等差数列,a1 19、的最小值为+川 IH+3、记 3n 1 n 6,就AAr 10.函数fl x)f 藕意一之 2f f f n f In)(1 12 In)就1003,且对任意正整数n都有的值为(2006)11.已知y%v-3x y 0、就x?+y2的最大值为x 3y 0 r4-W I 012.对于实数x,当且仅当 nWxvj i+1(nd N-)时,顼定 x=n,就不等式4 x2 36 x 45。的解集为三.解答题(每道题 20分,共60分)13.设集合 A=xlog i x)2,B=(3x 23 1,如AG BW,求实数 ax a2的取值
4、范畴.14.三角形ABC的顶点C y)的坐标满意不等式X2+y2 82 y、之3.边AB(yX、在横坐标轴上.假如已知点Q0、1)与AV和BC的距离均为1、求三解 ABC面 直线 形积的的最大值.15.设附数 勺fx)的定义域为当。时,=f(x)1,且对任意实 x、y,X 数有f t x f)_fx)成立,an满意为 f(0)且 f 数列a1 1(n N),n 1f(2 an)-J_+min+-r(1)求a2021的值;1 1 1(2)如不等式(1)1)k 2n 1对一切n N均成立,(1 a?an ai求k的最大值.数学竞赛训练题一参考答案1.B 2.A3.C4.A5.B 6.D377.Ls
5、、_2)8.9.-25110.-11.912.2 x 0时、-xvO、f(0)=f(x)f(x)=1、(0)a1 f0)1.10f(x)0、f(xf 1)-f 2)=f 1(x(x(xX就 X?X 2-Xj 0.fX,fX 2)、数.1由f(a n+1=得f 1f(an 1 2f-2-3 n)f(an1 an2)f 0、小3n 1函数y二f x)在Rh为单调递减函%)1.2。.即an 2an 2n 1、4015a20211 1 1 (1)k 2n 1恒成立、知由1 11%anai1 11 111%恒成立.k 31(1a2 2n 11 1(1)设F(n)1=a1(1生2n 1an、就F n0精品
6、学习资料且F(又F.-.(n F1 1 _ 1(1)ri r(1)3l 32 an.、e 2n 31 2 1)1、即F(n F n)1n 1)(n 4(n1 f 12+一 一=F1)3(n+-3=+=+一2 2所以?k-3、即k的最大值为3.3 3 _+mm+之 J+mm+一精选学习资料-欢迎下我2006:A00e2006 Q 5 Q 14Q4;-8:3011:BO)题号|一 二|三四|五;六|总分得分评卷入s:ea:aeaooiiaaa.6u lDs.不分|评卷人-一 ARB I 6:z:BA a*j*0 JB5 13061aaoaeu+eJ-a c*i*arwenva.c、Dw+oe、0一
7、o5s so.aaes ouxe.i.es+0ai.i=+aaxaeza RisaI A)aa 1a 1)IB4 21或a 4-1fnonl)ID)$aj 04z.3&n44gBO ztroes+i s=4+Jzi Pi$A)ae fBy4e E0Cj9x.)t6s3.s0ai0.aee+、.oena.cs 一7.sis0aav 答 A 5 803 IB1 5 840(Cl 5 860 ID)6(E D精品学习资料精选学习资料-欢迎下载4.已知a、b、c、d是四个不同的有理数,且(a+c)(a+)=I,S+c)(b+d)=l,则(a+c(b+c)的值等于 答(A)2(B)I(C)0(D)-15
8、.设函数 f(x)=x?+64+8,如果 f(x+c)=4x2+16x+15,那么c-4的值等于答(A)3(B)7(C)-3(D)-76、已知p,p+14,p+q都是质数,并且p有唯一的值和它对应,则q只能取答(A)40(B)44(C)74(D)86得 分 评卷人 二、填空麟(本大题共6小题,每小题5分,共30分)把答案填在题中的横线上1.直线/过抛物线/=a(x+l)(a0)的焦点,并且与x轴垂直,若/被 抛物线截得的线段长为4,则=.2.设50,则/+”的最小值是.b(a b)3.已知数列aj满足q=3,勺“=:-(+1)aJ1,则数列&的 前n项和等于.4.边长为整数且面积(的数值)等于
9、周长的直角三角形的个数 为.则 J+L_m n6.设 t=(,”+,则关于 x 的方程 a-1)“-2Xf-3)=o 的所有实数解之和等于.2006年全国高中数学联赛河南省预要R中二年级改卷 第2页 共6页精选学习资料-欢迎下载得分评卷人-三、(本SJ满分20分)如图,在矩形 A BCD 中,A B=,BC=a,又 P A _L平面 A BCD,P A=4.(I)若在边BC上存在一点Q,使P Q_L QD,求a的取值范围:(2)当BC上存在唯一点Q,使P QL QD时,求异面直线A Q与P D所成 的角:(3)若a=4,且P CUQD,求二面角A-P D-Q的大小.2006年全国高中敷学联安河
10、南省颈赛高中二年侬试卷 第3页 共6负精选学习资料-欢迎下我得分评卷入-四、(本题满分20分)已知椭圆C:+/=1及定点P(t,0)(t0),斜率为1的直线L经 4 2过点P并与椭圆C交于不同的两点A、B,且对于椭圆上任意一点M,都存在Jw 0,ar,使得而=cos6 3+sin而成立.试求出满足条件的 实数t的值.2006年全国高中数学联赛河南省泰南中二年饿试卷 第4页 共6页精选学习资料一一欢迎卜.裁得分3z.t&0N U 20 D)已知菱形A BCD是椭例C:提十号=1(。”0)的内接四边形。(1)求证:;+I为定值。(2)求差形A BCD面枳的最值.OA2 OB2精品学习资料精选学习资
11、料-欢迎下载得分评卷入六、(本鹿满分20分)设三个正实数x,y,z,试求代数式I6/+9 7+9 V3m x+2y+z的圾大值.2006年全国高中数学联赛河南行预赛岛中 年级认卷 笫6队共6精选学习资料一-欢迎下载2006年全国高中数学联赛河南省预赛试卷及答案1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题、填空题只设5分和0分两档,其它各 题的评阅,请严格按照本评分标准规定的档次给分,不要再增加其它中间档次。2.如果考生的解答与本解答不同,只要思路合理,分标57己如关于x的方程1三x H有二个负根而且没有正根,则实数a的取值范围(A)(A)a|al(B)匕卜之 1 或aM-1(C)L,1(D)a|0
12、a)所围成的图形是以点A为圆心,以4为半径的圆,从而所围成的图形的 4面积是16兀.故选D3.数列瓜中,相邻两项A,%是方程x2+3nx+bn=O的两根,已知为-17.则b”的值等于(B)(A)5800(B)5840(C)(D)6000W:.e.m.=3nA aj,a3,a纾i 和 02,出,/.a=aio+21(3)=-80a5 i=au+20(-3)Vaio+an=-30 A atF13 二=-73,bii=asi-a=5 840 故选B4.已知a、b、c d是四个不同的有理数,且(a+cX。+d)=1,(匕+c)(b+d)=1,则(a+c)(b+c)的值等于(D)(A)2(B)1(C)0
13、(D)-1解:由题意:a1+(c+d)a+cd-1=0,/+(c+d)8+cd-1=0,a、b 是方程/+(c+d)x+cd-1=0的两根,q+b=-(c+d),ab=cd-(a+c)b+c)=a/?+(a+b)c+c2(a+c)(b+c)=-1.故选口5.设函数f(x)=/+6x+8,如果f(以+c)=4/+16x+15,那么c-4的值等于(0f A1 3 fBI i iC)3 iDl-7M:x=2、ff f i r2d)=16 16x2+13=1精品学习资料精选学习资料-欢迎下载而当工2+64+8=-1时有x=-3所以c-2b=-3 故选C6、已知p,p+14,p+q都是质数,并且p有唯一
14、的值和它对应,则q只能取(A)A 40 B 44 C 74 D 86解:q只能取40k3k+2不是质数,p+l4P=3k*l时,符合.p只能等于3,时,p=3k*本题共6小题,把答案填在题中的横线上 共30分段长为4,则a=4 o解:抛物线=a(x+l)与抛物线y,ix具有相同的垂直于对称轴的焦点弦长,故可用标1.Asf B m&s=(+t)t o)o emA.SI(t R&S.Sf R AS&R&B准方程y2=ax替换一般方程y/=a(x+l)求解,而a值不变。由通径长公式得a=439乙it o a 0 yJo+的最小值是 48bra-b J解:4 128 4 64 64S Q+-+-T42
15、 3妒=48值=2时取等号)3.=3,已知数列4满足q2-图“=。:-5+1)%+1,则数列的前n项和=解:利用归纳可得 a.=n+2,则有 a“w=(n+2)2-(n+1)(n+2)+l=n+3.所以 a =n+2.满足条件,23=I+=并且q 4.(的数值)等于周长的直角三角形的个数为2_解:设直角三角形的三边长分别为:a,b,和。=2+从,则有两边平方并整理有:ab-4。-46+8=0,(4)(6-4)=8/a,b都是正轻数,.,.a=5时b=12.a=6时b=8:.满足题意的三角形有2个。5.过椭圆去+;=1的一个焦点F作弦A B,若|A F|=m,BF=n,则j+j=32Q06年全国
16、而中数学联赛河南省预英岛中_年级试卷及音案 第2”共6打精品学习资料精选学习资料-欢迎下我$4:ii =e=6.设t=()*+(-r+t-y,则关于X的方程(r-l)(r-2)-3)=0的的所有实数解解:我们定义,。)=(夕+令+(|变形为幻=令+令+针,可以发 3 4 5现函数/。)=弓)*+(?*+(巳)”是定义在实数集上的减函数。又因为3)=1,6 6 61,3.三、(本题满分20分)如图,在矩形 A BCD 中,A B=7I,BC=a,又 P A _L平面 A BCD,P A=4.(1)若在边BC上存在一点Q,使P Q_L QD,求a的取值范围:(2)当BC上存在唯一点Q,使P Q_L
17、 QD时,求异面直线A Q与P D所成的角:(3)若a=4,且P QJL QD,求二面角A-P D-Q的大小.解:(1)设 BQ=t,则懵=19+/,QD?=3+(a-t)2,P=16+a,由 P QJ_QD 得:194-t2+3+(a-t)2=16+a即 t-at+3=0;=1一 12i0 na22 vl.(5 分)(2)解:TBC上存在唯一点Q,使P QJ_QD,A A=a2-12=0=a=2/I,t=VJ,故Q 是 BC 中点取 A D 中点 R,P A 中点 S,连 RS、RC,则 RSP D,RC/7A Q A ZRSC就是异面直线A Q与P D所成角RS=PD=&,RC=AQ=R,
18、SC=7SA2+A C2=V1?,dRcJ sc?2CSxAC故异面直线A Q与P D所成角为arccos恒,4-,屈14(10 分)3)a.%9$QMr*A*D+#0M*D.*(t.0、0)P*+&W8.ew*$*ot7:Rws*+*.4:,精品学习资料精选学习资料-欢迎卜,战+W.RB工*D.0*9BF*D.aRAir5*AxO J IPD 由三垂线定理知JL ZX7 4-f.n.t l 1N0-A*-PD-PB.*DDor斜索,】的吉绅2占rh白悔圆C交于不同的两点A、B,且对于椭圆上任意一点M,都存在。0,2封,使得OM=cos 6 OA+sin 0 0B成立.试求出满足条件的实数t的
19、值,解:直线A B的方程为:x-2y-r=0.联立方程可得:2-2a+产-4=0,和24 1 f4B/-4y+f-4=0/.z x2=f-y*2(x,y),及点 A(再,%),B(x2,y2)由。M=cos6 O A+sin。O B 可 的坐标为设点M:x=a cos i.+z sin 19 y=y cos/.+/sin Gt(10 分)7ffl t=x-1-4/2=(x、cos f.+zsin 6)+4 、cos 8+si n jP)2=z、+4/、2)cos 2 6 (z sin2 6.+2 s in 6.c os 19(a、x2+4/、y)74j、=4(cos2+sin2+2 sinJc
20、osB(再9+4/%).(15 分):.2 sin8cos8(项工2+4H为)=0,乂因为。,2%的任意性“。6年全国Q中数学驮赛刈南省预赛岛中一年级试作及答案 触1狈共6W精品学习资料精选学习资料-欢迎下载r-4/一 4 5xlx24yly2=+4x=r-4=0 2 K代入t=2检验,满足条件,故t的值是2.(20分)五.(本题满分20分)X V已知菱形A BCD是椭圆C:r+J=l(a 5 0)的内接四边形。(1)求证:,+-4 1.八 7L.(2)#M CD H8.%R%.解:(1)如右图在菱形 A BCD 中设 0A=m,0B=n,N A O x=a,则点 A(rocosQ,msin。
21、点8(就00。,睦壮。).又因为点人和点1都在椭圆C上,所以有:m 2 cos z r+rt sin 2m n a b(10 分),八 1 1 1 1-+=2+7T-2Ul 2(15 分)口 n 1.cos2 a sin a、/cos2 a sin”、另外而(a+/)(/+/)cns z f ab+sin;z ab 1ab二菱形面积最小值和最大值分别是f和a2+b(20 分)、#七力站t16x+9.渥E+9班嬴必区._ x,y.z,试求代数式 的最大值。设三个正实数 x+2y+z2006年全国高中数学联赛河南省蚀赛高中一年级试卷及答案 第5血共6皿精品学习资料精选学习资料-欢迎下载_ _,9J
22、x x l8y 3yJtx l8yx 36z.+9 辰+9国产+3.2.x+2y+z i+2y+z16x+3a+18y)+x+18 匕乌.)0)也满足条件。所以我们可以设x:y:z=l:a:b.16 J 2a 93xx3ayx3bz16x+9y/2xy+9/3xyz _+而+9ab十是 二x+2y+z i+2y+zI6x+-9 2z+2ay9 3x+3ay+3%j-XN9ab 3x+2z+2y+z+(七,99abJia N 9ab 9ab取c=V2a,d 9 b T 119r+2+zx再取 d=mc,又可以得到2(1+!)=2m2-16,且9c(1+)=8m2,J#iK&Ria81(l+一2=
23、8m(2in-160 U(in-3)(16m+48m+16nf+48m+63m+27)=0从而m=3.进而a=18,b=36.以下求解与法一相同。.(20分)2006年全国岛中教学城赛河南省预赛高中一年级试卷及答案 第6页精选学习资料-欢迎下载共6页精品学习资料数学竞赛训练题三挑选题(此题满分 36分,每道题 6分)1.已知数列an满意3an+i+an=4(n 2 1且a1=9,其前n项之和为Sn;就满意不等1式|Sn-n-6|(t-4x恒成立,就t的取值范畴为.11.我们留意到 6=8瀚X10,试求能使 n.表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为.12.对每一实数对(x、y),函
24、数 f 满意 f x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1;如f(-2)=-2,试求满意fa=a的全部整数 a=_.三.解答题(每道题 20分,共60分)13.已知a、b、c R+,且满 kabC a?b)+(a+b与钺k的最小值;思 _a 一 b-c14.已知半径为1的定圆。P的圆心P到定直线I的距离为2,Q为I上一动点,OQ与。P相外切,。Q交I于M.N两点,对于任意直径 MN,平面上恒有肯定点A,使得N MAN为定值;求N MAN的度数;215.已知 a0,函数 f x)=ax-bx、(1)当b0时,如对任意 x R都有f(x)1证明:ab;(2)当b1时,证明:对任意xe 0 1、
25、|f仪方案梗条件为:b-1Wa帝b;1 快该条件;(3)当0 1、|f(x)|数学竞赛训练题三答案一.挑选题11.由递推式得:3(an+1-1)=-an-1),就an-1为以8为首项,公比为 郛J等比数列,3一-1*彳 n*Sn-n=(ai-1)+(a2-1)+3=6-6 x(-),an-1)=(1 3_ 31A|Sn-n-6|=6 CX),得:3-250,.满意条件的最小整数 n=7,应选C;_ n1 1 t 1 d 1 d 1S四Rd=上 Sprs d+hsprs d+Sapqs d=PQ PRsin a+PS PRsin a+L-33-3 3 2 3 2d 1PQ-PS-sinj a 故
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