2022年高中新课标数学基础知识汇总.pdf
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1、高中新课标数学基础学问汇总第一部分 集合1.懂得集合中元素的意义是解决集合问题的关键:元素是函数关系中自变量的取值?仍是因变量的取值?仍是曲线上的点?;2.数形结合是解集合问题的常用方法:解髭时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具,将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;由是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;3.(1)含n个元素的集合的子集数为 2:真子集数为2n 1;非空真子集的数为2n2;(2)AB-A 1b=A-AUB=B;留意:争论的时候不要遗忘了 A=0的情形;(3)ae A,a A;B-A,BA;其次部分函数与导数1.映射:非空数集 A
2、到非空数集B的一个对应;留意第一个集合中的元素必需有象;一对一,或多对一;2.函数的三要素:解析式、定义域、值域;函数解析式的求法:待定系数法、换元法、代人法求表达式;函数定义域的求法:求函数解析式有意义时自变量的取值范畴;(1)分式的分母不为零;(2)偶次方根的被开打数不小于零;(3)对数函数的真数大于零;(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1;冗(5)正切函数的定义域不等于 k兀+kZ,2函数值域的求法(最值):分析法;配方法;利用函数单调性(导数法);基本函数的值域利用均值不等式 ab a b;利用数形结合或几何意义(斜率、而离、肯定值的意义等)23.复合函数的有关问题复合函数
3、单调性的判定:第一将原函数 v f g(x分解为基本函数:内函数u g(x与外函数y f(u);分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性;依据“同性就增,异性就减”来判定原函数在其定义域内的单调性;留意:外函数y f(u)的定义域是内函数 g(x)的值域;u4.分段函数:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论;5.函数的奇偶性(1)函数的定义域关于原点对标是函数具有奇偶性的必要条件f(X是奇 函数r、f Xf XX J 1f(x)ff x0(x)0);f(X是偶 函数f(X)f、f X f XX 1X0f(X 0);X奇函数f 在原点有定义,就 1 X)f(0)0;(5)在关于
4、原点对称的单调区间内:奇函数在对称区间上有相同的单调性,偶函数在对称区间上有相反的单调性;6.函数的单调性单调性的定义:f 在区间(x)M上是增(减)函数Xi,x2 M,当Xi x2 时t 0 0 Xi x2 XiX2 J 1Xi x20(0 f XfX1 x2 X20(0);判定函数单调性的定义法:留意:一般要将式子 f(X2)化为几个因式作积或作商的形式,Xi+4以利于判定符号;导数法(见导数部分);复合函数法;图像法;注:证明单调性主要用定义法和导数法;7.函数的周期性+u V Udi有周期性的定义:对定义域内的任意X,如f(XT)f(其中T为非零常数),就称函数f(xx 为周期函数,T
5、为它的一个周期;全部正周期中最小的称为函数的最小正周期;如没有特殊说明,遇到的周期都指最小正周期;(2)三角函数的周期sinx:T 2,Y co sx:T 2;y tanx:TAsinx,Aco s x y2;y tan x:T函数周期的判定:定义法(试值)图像法 公式法(利用(2)中结论)与周期有关的结论:xa2aX0f(x的周2a;期为y f(x)的图象关 于点(a,0),心对称(b,0)周期T(x)2a b;f(x)的图象关于直线x a,x b轴对称f(x)周期 2a b;为Ty f(x)的图象关 于点(a,0)中心对称,直线xb轴对称f(xITVvTx中a)f或Xa)周y4 a b;8
6、.基本初等函数x累函数:yR);指数函数:y0,a1)对数函数:yl o ga x0,a 1);正弦函数:y Sinx;(5)余弦函数:y co sx;(6)正切函数:y tanx;(7)二次函数:Xbx c ax2(a 0);Xaaa1其它常用函数:正比例函数:y kx 0):反比例函数:kk(kO);特殊的yyXX函数y xax(a0);+=9.二次函数:解析式:一般式:f ax?bx c;顶点式:f a h)2 k,1 x 1 x)xh,k)为顶点;零点 f a x X2);A1 J式:1 X)X x二阴函数问题解注需考虑的因素:开口方而产对称轴;电端点值;显售坐标轴交点;判别式;两根符
7、号;=a a e=#=*=+*=+丰二次函数问题解决方法:数形结合;分类争论;三个“二次”之间的关系:利用图像记住不等的解集;利用二次函数解决方程根的分布:10.函数图象(1)图象作法:描点法(留意三角函数的五点作图)图象变换法导数法(2)图象变换:平移变换:y f y(x)xa),0)(a左+”右ii y f(y f x)X伸缩变换:i y f(y f X),X)(k,0)-上“+下与10)-纵坐标不变,横坐标伸长为原先的 倍;ii y f(x)y Af(x),0)-横坐标不变,纵坐标伸长为原先的 A倍;(A对称变换:i y f,y f(x)(x)yiii y fXX。y fX)yii f
8、x,y f(x)1y xiv f ix)y f(x翻转变换:i y f y f(|x|-右不动,右向左f(x)在y左侧图象去掉);ii V(x)翻(yX)上不动,下向上翻(I f(X I在X下面无图象);x 11.函数图象(曲线)对称性的证明1)证明函数 y像上任意点关于对称中心f(x)图像的对称性,即证明图(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明函数y f(x)g(x图象的对称性,即证明yf(x)图象上任意点关于对称中心(对 称轴)的对称点在vg(x)的图象上,反之亦然;与V注:曲线C:F(x,y)0 关于点(a,b)的对称 C:F(2ax,2b y)0;曲线曲线C:F(x,y。关于直线x
9、a的对称曲线C:F(2a x,y)0;曲线c:F y 0关于直线(x,X a的对称曲线C:F(ya,x a)0曲线C:f y。关于y(X,=t=x a的对称曲线C:F y a,x a g (T COT=+=+12.函数零点的求法:(1)直接法(求f0的根);图象法;二分法I x)13.导数(1)导数定义:f(x)在点%处的导数记作)l imX o X0X)f(X。)X常见函数的导数公式:C 0;(xn)nx ;(sin x)Xco sx;-114(co sx)sin x;(a)导数的四就运算法就:复合函数的导数:Vx yu Ux;导数的应用:利用导数求切线方程:V f Xfx x x 0 0
10、0利用导数判定函数单调性:i f(x)f 是增函数;ii f(x)f(X)为减函数;0 X 0 mf(x)f 为常数;0 x利用导数求极值:i求导数f l x);ii求f 0的根;iii列表得极值;方程(x)注:制定极值应对极值的两端导数符号进行判定;利用导数最大值与最小值:i求的极值;ii求区间端点值(假如有);iii得最值.注:在应用题中,开区间内的唯独极值为所求的最值;14.定积分定积分的定义:dxa、n l ax)l im bbin i 1 n(2)定积分的性质:bkf dxaX)bkf 1 x)dxab(k常数);3aX)I 2Xd xbf 1 x)dxabf2 1 x)dx;abf
11、 dxax)c f(X)dxabf 1 x)(其中a dxcb);cbb微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)定积分的应用:求曲边梯形的面积:求变速直线运动的骼程:S bv(t)=功:a工 f 1 X)F xF F a dx I(b)a e+b =S I f g 的;A3、)_(X)bdt;求变力做 W FIsds._ a_ r=9 9,=,+=第三部分 立体几何1.三视图与直观图:把握利用三试图求解组合体的表面积与体积;2.表(侧)面积与体积公式:圆柱:表面积:S全=2近(h r);侧面积:S=2/l;体积:V=Sh;1圆锥:表面积:S全=兀(l r);侧面积:S=krl;体积:V=-Sh:O
12、圆台:表面积:S全=n +r,2+l r+l r);侧面积:S=H r)I;2r=丁+体积:V(S SS S)h);3=n2=7冗3(4)球体:表面积:S4R;体积:V R;33.位置关系的证明(主要方法):直线与直线平行:公理 4;线面平行的性质定理;面面平行的性质定理;直线与平面平行:线面平行的判定定理;面面平行 二线面平行;平面与平面平行:面面平行的判定定理及推论;垂直于同始终线的两平面平行;直线与平面垂直:直线与平面垂直的判定定理;面面垂直的性质定理;平面与平面垂直:定义 一两平面所成二面角为直角;面面垂直的判定定理;注:理科仍可用向量法;4.求角:(步骤-I;找出角或作角;II;求角
13、)0 6 异面直线所成角的求法:几何法:平移直线,构造三角形;IO,e=2向量法,转化为两直线方向向量的夹角:co s co s a,b直线与平面所成的角:几何法:求解直线与其射影所成的角;l-o,-I W 1*0=向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角:sin co s a,n(n为平面的法向量)二面角的求法:定义法:在二面角的枝上任取一点(特殊点),作出平面角,再求解;三垂线法:由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的 平面角,再求解;向量法,转化为两个半平面法向量的夹角:co s0=co s(或co s。=-co s)|AB-n|5.求点到
14、平面的距离:找或作垂线段,求距离;等体积法;向量法:d=.|n|6.结论:(1)长方体的体对角线的平方等于过同一顶点的三条校的平方和;d2=a2+b2+c2(2)正四周体的性质:设校长为 a,就正四周体的:高:h=Ja;对校间距离:Ja;相邻两面所成角余弦值:3 2 3内切球半径:Ja;外接球半径:Ja;12 4第四部分 直线与圆x V1.直线方程(1)点斜式:y_yc=k(XX;(2)斜截式:y=kx+b;(3)截曲式:_+=1 a by-yi x 一 Xi两点式:-=-;72-V1 X2-Xi一骰式:Ax+By+C=0,(A,B不全为0);(直线的方向向量:(B,-A),法向量 A,B)(
15、2.求解线性规划问题的步骤是:(1)列为束条件;(2)作可行域,写目标函数;(3)确定目标函数的最优解;3.两条直线的传置关系:百纯方程平行的不尊条件垂百的专算条件备jt=+11:y=kx 4bl十1J阴/U麦7K IT=*k k,b b1 2 1 2垩 El 口 J/U A 7K ITk k 11 2IJ1 2有斜率L:Ax+B1y+G=0 AiB2=Az Bi,且 AA2+B1B2=012:A2x+B2y+C2=0 B1C2*B2cl(验证)4.直线系不行写成分式直线方程y=kx+bAx+By+C=0平行直线系y=kx+mAx+By+m=0垂直直线系1y=一x+m kBx _ Ay+m=0
16、相交直线系Ax+By+G+/.a+B2y+c2=oX5.几个公式设 A x,y),B(x,y)的重心坐标:1 1 2 2 3点P(Xo,y0)到直线 Ax By C两条平行线Ax By G。与+-c(X,y),ABC X x2 x3 y1 y2 y3:二二 B 3A*By0 C。的距离:d;+A2 B2|P2Xx By C2 0的距离是d;-+_=+a2=b26.圆的方程:,徙方胃:+a J yb+r 2_;.x?y2 r2;1 x 2=2/+=亍 W=+一一般方程:x y2 Dx Ey F 0(E 4F o);注:Ax?Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆 A C OHB 0 且 D?
17、E2 4F 0;+九+=,.H 7.7的方程的求法:待定系数法;JI何法;圆系法.8.圆系:金商f的交点:x2 y2 D x Ey F1 y2 D x E2y F。,1)1 X2 2 2(注:当 1时表示两圆相交的公共寇;9.点、直线与圆的位置关系:(主要把握几何法)点与圆的位置关系:(d表示点到圆心的距离)d=Ru点在圆上;d v R二点在圆内;d Ru点在圆外;直线与圆的位置关系:(d表示圆心到直线的距离)d _Ri相加;d R一相离;圆与圆的位置关系:(d表示圆心距,R,r表示两圆半径,且 Rr)d.Rr 一相离;d_R_r 一外加;R r.d-R_r一相交;d=R_r 内切;Od1.定
18、义:树圆:|MF1|MF2|2a,|+_(2a 222 2焦点在X轴上:X/y x211a b 0)2.o 1(a b 0);焦点;i y轴上:2a-b=222 2焦点在X轴上:X/y x0,b 0);0 1 l a 0,b OJ;焦点在y轴上:9?1q 上3 b=(a=一=一 抛线:2y 2px(p0)y2 2px pO x2 2 py pO2x 2py(pO)2.结论(1)弦长公式:AB 1(2)焦点弦长:椭圆:|AB|=2a e(x机2):抛线:AB=%+p;(3)过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:mx2+ny2=1(m,n同时大于o时表示肺圆,mn a-b-a b共新进线y 二工网的
19、双曲线标准方程为用一年、);a a b0、2 A-z双曲线焦点三角形:S4Fif2-b co t,(FFF2);2双曲线为等轴双曲线=e=2=渐近线为y=x=渐近线相互垂直;(6)抛物线中的结论:抛线y2=2px 0)的焦点强AB性质:Xlx2=1;yiy2=-p2;1+1=2 1;以AB为直径的圆与选线相加;IAF|BFI p=(7)抛物线y2 2 px 0)内结直角三角 OAB AOB 90)的性质:=P=_ 形(=_o 9XX 4P,yy 4P;I恒过定点j2P,0);A,B中点轨迹方程:v2 2p)1 21 2AB OM AB,就 M 轨迹方程为:p 2 y2 p?;(Saob)min
20、4P;X 23.直线与圆锥曲线问题解法:直接法(通法):联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解;留意以下问题:联立的关于“X”仍是关于V,的一元二次方程?直线斜率不存在时考虑了吗?判别式验证了叫?设而不求(代点相减法):处理弦中点问题y1 y2步骤如下:设点 A yJ,B y2 作差得kAB;解决问题;I Xi,x2,Xi x24.求轨迹的常用方法:(1)定义法:利用圆锥曲线的定义;(2)直接法(列等式);(3)代入法(相关点法或转移法)(5)参数法;(6)交轨法;(注:求解轨迹方程要枪脸是否存在不符合要求的点)第六部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1.角度制与强度制的百化:弧度180
21、,1 弧度,1强度 18 57 18180 01 2 1弧长公式:I R;扇形面积公式:S R RI;2 22.三角函数定义:角 终边上任意一点P为(x,y,|OP|r就:设sin V,co s X,tan y xO r r x3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;4.诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”;2 2 sinx5.同角三角函数的基本关系:sin x co s x 1;tanx;COS X6.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin)sin co s co s sin;(s co s)co s co sin sin;O tan)tatan+An1 tan
22、tan+a P=a P a Pa P=aP+aPa7.二倍角公式:sin 2a=2sina co sa;co s2a=co s2a-sin2 a=2co s2a-1=1 一 2sin2a tan 2a=2 tana1-tan2 a8.(1)y=Asin 6x+9)当x=2kn+土(立时,2Ymax=A;当 x=2k”+(空)时,2Ymin=A;单调递增区间:2kn-1-9X 己-CO单调递减区间:x w 2%+L_202kK,937T2+_QZ);CO(忙Z)周期T2兀-叩对称轴:X=+L_cp 2Z);对称中心:kZLzl,oAkZ);=8+3 y Aco s(x):=7T 当x 2k(kZ
23、)时,单调递增区间:xr2kYmax A工7T-JI-V=7T当x 2k(kZ)时,A;7Tco _q)2k单调递减区间:X2F-(k Z)_(P _k Z71周期T 2H 一k;对称轴:x(k Z);对称中心:Jt+-pk-2,0(kz);+中(2)y Atari(x)兀_P71 _(p单调递增区间:7txk 0r 2kco2)k Z)周期2Tk co;对称中心:2,0kZ9.正、余弦定理一正弦定理 3 b=csin A sin B sinC2R=(2R是A无外接圆直径)注:a:b:c sin A:sin B:sin C;a 2Rsin A,b 2RsinB,c2RsinC;a+b+csin
24、 A sin B sinC sin A+sin B+sin C(2)余弦定理:a2=b2+c2-2bcco sA,b2=a2+c2-2acco sB,c2=a2+b2-2abco sC;、+A b+c注:co s A=_2 2 D2;co sB a+c 一;co sC a2+b2-c10;几个公式:(1)三角形面积公式:-a-b-c,P P P1+b+c)=2内切圆半径r$a宓;外接圆直径2R a b c.a b c sinA sinB sinC,11.Bin a,b,A时三角形解的个数的判定:其中h bsin A,A为锐角时:a h时,无解;a h时,一解(直角);2h a b时,两解(一锐
25、角,一钝角);b时,一解(一锐角)A为直角或钝角时:a b时,无解;a b时,一解(锐角);第七部分平面对量1.向量的基本概念T 4向量:既有大小又有方向的量;表示方法:有向线段 AB,有同线段a;相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作:a=b;平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,记作 a/b;(0 a)2.向量的线性运算1)向量加法运算及其几何意义,T T T三角形法就:a+b=AB+BC=AC(首尾连接);2向量减法运算及其几何意义 三角形法就:a-=OA-OB=b1(从减数b的终点指向被减数1的终点)注:同一g j+3)向量数乘运算及其几何意义实数与向量的积:实数兀与向量的
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