2022年高中新课标数学基础知识汇总.pdf

高中新课标数学基础学问汇总第一部分 集合1.懂得集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？仍是因变量的取值？仍是曲线上的点？；2.数形结合是解集合问题的常用方法：解髭时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；由是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；3.(1)含n个元素的集合的子集数为 2:真子集数为2n 1；非空真子集的数为2n2；(2)AB-A 1b=A-AUB=B;留意：争论的时候不要遗忘了 A=0的情形；(3)ae A,a A;B-A,BA;其次部分函数与导数1.映射：非空数集 A到非空数集B的一个对应；留意第一个集合中的元素必需有象；一对一，或多对一；2.函数的三要素：解析式、定义域、值域；函数解析式的求法：待定系数法、换元法、代人法求表达式；函数定义域的求法：求函数解析式有意义时自变量的取值范畴；(1)分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开打数不小于零；(3)对数函数的真数大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1;冗(5)正切函数的定义域不等于 k兀+kZ,2函数值域的求法(最值)：分析法；配方法；利用函数单调性(导数法)；基本函数的值域利用均值不等式 ab a b；利用数形结合或几何意义(斜率、而离、肯定值的意义等)23.复合函数的有关问题复合函数单调性的判定：第一将原函数 v f g(x分解为基本函数：内函数u g(x与外函数y f(u)；分别争论内、外函数在各自定义域内的单调性；依据“同性就增,异性就减”来判定原函数在其定义域内的单调性;留意：外函数y f(u)的定义域是内函数 g(x)的值域;u4.分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决,再下结论;5.函数的奇偶性(1)函数的定义域关于原点对标是函数具有奇偶性的必要条件f(X是奇 函数r、f Xf XX J 1f(x)ff x0(x)0)；f(X是偶 函数f(X)f、f X f XX 1X0f(X 0)；X奇函数f 在原点有定义，就 1 X)f(0)0;(5)在关于原点对称的单调区间内:奇函数在对称区间上有相同的单调性,偶函数在对称区间上有相反的单调性;6.函数的单调性单调性的定义：f 在区间(x)M上是增(减)函数Xi,x2 M,当Xi x2 时t 0 0 Xi x2 XiX2 J 1Xi x20(0 f XfX1 x2 X20(0)；判定函数单调性的定义法：留意：一般要将式子 f(X2)化为几个因式作积或作商的形式,Xi+4以利于判定符号;导数法（见导数部分）;复合函数法；图像法;注：证明单调性主要用定义法和导数法;7.函数的周期性+u V Udi有周期性的定义：对定义域内的任意X,如f(XT)f(其中T为非零常数)，就称函数f(xx 为周期函数，T为它的一个周期；全部正周期中最小的称为函数的最小正周期；如没有特殊说明，遇到的周期都指最小正周期;(2)三角函数的周期sinx：T 2，Y co sx:T 2；y tanx:TAsinx，Aco s x y2；y tan x:T函数周期的判定：定义法(试值)图像法 公式法(利用(2)中结论)与周期有关的结论：xa2aX0f(x的周2a；期为y f(x)的图象关 于点(a,0),心对称(b,0)周期T(x)2a b；f(x)的图象关于直线x a,x b轴对称f(x)周期 2a b；为Ty f(x)的图象关 于点(a,0)中心对称,直线xb轴对称f(xITVvTx中a)f或Xa)周y4 a b；8.基本初等函数x累函数：yR)；指数函数:y0,a1)对数函数：yl o ga x0,a 1)；正弦函数：y Sinx；(5)余弦函数：y co sx；(6)正切函数：y tanx；(7)二次函数:Xbx c ax2(a 0)；Xaaa1其它常用函数：正比例函数：y kx 0):反比例函数:kk(kO)；特殊的yyXX函数y xax(a0)；+=9.二次函数：解析式：一般式：f ax?bx c；顶点式：f a h)2 k,1 x 1 x)xh,k)为顶点；零点 f a x X2)；A1 J式：1 X)X x二阴函数问题解注需考虑的因素：开口方而产对称轴；电端点值；显售坐标轴交点；判别式；两根符号;=a a e=#=*=+*=+丰二次函数问题解决方法：数形结合；分类争论;三个“二次”之间的关系：利用图像记住不等的解集；利用二次函数解决方程根的分布:10.函数图象(1)图象作法：描点法(留意三角函数的五点作图)图象变换法导数法(2)图象变换:平移变换:y f y(x)xa),0)(a左+”右ii y f(y f x)X伸缩变换：i y f(y f X),X)(k,0)-上“+下与10)-纵坐标不变，横坐标伸长为原先的 倍；ii y f(x)y Af(x),0)-横坐标不变，纵坐标伸长为原先的 A倍;(A对称变换：i y f，y f(x)(x)yiii y fXX。y fX)yii f x，y f(x)1y xiv f ix)y f(x翻转变换：i y f y f(|x|-右不动，右向左f(x)在y左侧图象去掉)；ii V(x)翻(yX)上不动，下向上翻(I f(X I在X下面无图象)；x 11.函数图象(曲线)对称性的证明1)证明函数 y像上任意点关于对称中心f(x)图像的对称性，即证明图(对称轴)的对称点仍在图像上；(2)证明函数y f(x)g(x图象的对称性，即证明yf(x)图象上任意点关于对称中心(对 称轴)的对称点在vg(x)的图象上，反之亦然;与V注：曲线C:F(x,y)0 关于点(a,b)的对称 C:F(2ax,2b y)0；曲线曲线C:F(x,y。关于直线x a的对称曲线C:F(2a x,y)0；曲线c：F y 0关于直线(x,X a的对称曲线C：F(ya,x a)0曲线C：f y。关于y(X,=t=x a的对称曲线C:F y a,x a g (T COT=+=+12.函数零点的求法：(1)直接法(求f0的根);图象法;二分法I x)13.导数(1)导数定义：f(x)在点%处的导数记作)l imX o X0X)f(X。)X常见函数的导数公式：C 0；(xn)nx ；(sin x)Xco sx;-114(co sx)sin x；(a)导数的四就运算法就：复合函数的导数：Vx yu Ux；导数的应用：利用导数求切线方程：V f Xfx x x 0 0 0利用导数判定函数单调性：i f(x)f 是增函数；ii f(x)f(X)为减函数;0 X 0 mf(x)f 为常数；0 x利用导数求极值：i求导数f l x)；ii求f 0的根；iii列表得极值；方程(x)注:制定极值应对极值的两端导数符号进行判定;利用导数最大值与最小值：i求的极值；ii求区间端点值(假如有)；iii得最值.注：在应用题中，开区间内的唯独极值为所求的最值;14.定积分定积分的定义:dxa、n l ax)l im bbin i 1 n(2)定积分的性质:bkf dxaX)bkf 1 x)dxab(k常数)；3aX)I 2Xd xbf 1 x)dxabf2 1 x)dx;abf dxax)c f(X)dxabf 1 x)(其中a dxcb)；cbb微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)定积分的应用：求曲边梯形的面积：求变速直线运动的骼程：S bv(t)=功：a工 f 1 X)F xF F a dx I(b)a e+b =S I f g 的；A3、)_(X)bdt；求变力做 W FIsds._ a_ r=9 9，=，+=第三部分 立体几何1.三视图与直观图：把握利用三试图求解组合体的表面积与体积;2.表（侧）面积与体积公式:圆柱：表面积：S全=2近（h r）；侧面积：S=2/l；体积：V=Sh；1圆锥：表面积：S全=兀（l r）；侧面积：S=krl；体积：V=-Sh：O圆台：表面积：S全=n +r,2+l r+l r）;侧面积：S=H r）I；2r=丁+体积：V（S SS S）h）；3=n2=7冗3（4）球体：表面积：S4R；体积：V R；33.位置关系的证明（主要方法）：直线与直线平行：公理 4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理;直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行 二线面平行；平面与平面平行：面面平行的判定定理及推论；垂直于同始终线的两平面平行;直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理;平面与平面垂直：定义 一两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理;注：理科仍可用向量法;4.求角：（步骤-I;找出角或作角；II;求角）0 6 异面直线所成角的求法：几何法：平移直线，构造三角形；IO,e=2向量法，转化为两直线方向向量的夹角：co s co s a,b直线与平面所成的角：几何法：求解直线与其射影所成的角；l-o,-I W 1*0=向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角：sin co s a,n（n为平面的法向量）二面角的求法：定义法：在二面角的枝上任取一点（特殊点），作出平面角，再求解;三垂线法：由一个半面内一点作（或找）到另一个半平面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的 平面角，再求解;向量法，转化为两个半平面法向量的夹角：co s0=co s（或co s。=-co s）|AB-n|5.求点到平面的距离：找或作垂线段，求距离；等体积法；向量法：d=.|n|6.结论：（1）长方体的体对角线的平方等于过同一顶点的三条校的平方和；d2=a2+b2+c2（2）正四周体的性质：设校长为 a,就正四周体的:高：h=Ja；对校间距离：Ja;相邻两面所成角余弦值：3 2 3内切球半径：Ja；外接球半径：Ja；12 4第四部分 直线与圆x V1.直线方程（1）点斜式：y_yc=k（XX；（2）斜截式：y=kx+b；（3）截曲式：_+=1 a by-yi x 一 Xi两点式：-=-;72-V1 X2-Xi一骰式：Ax+By+C=0,（A,B不全为0）；（直线的方向向量：（B,-A），法向量 A,B）（2.求解线性规划问题的步骤是：（1）列为束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解；3.两条直线的传置关系:百纯方程平行的不尊条件垂百的专算条件备jt=+11：y=kx 4bl十1J阴/U麦7K IT=*k k,b b1 2 1 2垩 El 口 J/U A 7K ITk k 11 2IJ1 2有斜率L:Ax+B1y+G=0 AiB2=Az Bi,且 AA2+B1B2=012：A2x+B2y+C2=0 B1C2*B2cl(验证)4.直线系不行写成分式直线方程y=kx+bAx+By+C=0平行直线系y=kx+mAx+By+m=0垂直直线系1y=一x+m kBx _ Ay+m=0相交直线系Ax+By+G+/.a+B2y+c2=oX5.几个公式设 A x,y),B(x,y)的重心坐标：1 1 2 2 3点P(Xo,y0)到直线 Ax By C两条平行线Ax By G。与+-c(X,y),ABC X x2 x3 y1 y2 y3:二二 B 3A*By0 C。的距离：d;+A2 B2|P2Xx By C2 0的距离是d；-+_=+a2=b26.圆的方程：，徙方胃：+a J yb+r 2_；.x?y2 r2；1 x 2=2/+=亍 W=+一一般方程：x y2 Dx Ey F 0(E 4F o)；注：Ax?Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆 A C OHB 0 且 D?E2 4F 0；+九+=，.H 7.7的方程的求法:待定系数法；JI何法；圆系法.8.圆系：金商f的交点：x2 y2 D x Ey F1 y2 D x E2y F。，1)1 X2 2 2(注：当 1时表示两圆相交的公共寇;9.点、直线与圆的位置关系：（主要把握几何法）点与圆的位置关系:（d表示点到圆心的距离）d=Ru点在圆上；d v R二点在圆内；d Ru点在圆外;直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）d _Ri相加；d R一相离；圆与圆的位置关系：（d表示圆心距，R,r表示两圆半径，且 Rr）d.Rr 一相离；d_R_r 一外加；R r.d-R_r一相交；d=R_r 内切；Od1.定义：树圆：|MF1|MF2|2a,|+_(2a 222 2焦点在X轴上：X/y x211a b 0)2.o 1(a b 0)；焦点;i y轴上：2a-b=222 2焦点在X轴上：X/y x0,b 0)；0 1 l a 0,b OJ；焦点在y轴上：9?1q 上3 b=(a=一=一 抛线:2y 2px(p0)y2 2px pO x2 2 py pO2x 2py(pO)2.结论（1）弦长公式:AB 1（2）焦点弦长：椭圆：|AB|=2a e（x机2）:抛线：AB=%+p；（3）过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2+ny2=1（m,n同时大于o时表示肺圆，mn a-b-a b共新进线y 二工网的双曲线标准方程为用一年、）；a a b0、2 A-z双曲线焦点三角形：S4Fif2-b co t,（FFF2）；2双曲线为等轴双曲线=e=2=渐近线为y=x=渐近线相互垂直；（6）抛物线中的结论:抛线y2=2px 0）的焦点强AB性质：Xlx2=1；yiy2=-p2；1+1=2 1;以AB为直径的圆与选线相加；IAF|BFI p=（7）抛物线y2 2 px 0）内结直角三角 OAB AOB 90）的性质：=P=_ 形（=_o 9XX 4P,yy 4P；I恒过定点j2P,0）；A,B中点轨迹方程：v2 2p）1 21 2AB OM AB,就 M 轨迹方程为：p 2 y2 p?；（Saob）min4P；X 23.直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解；留意以下问题：联立的关于“X”仍是关于V,的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了叫？设而不求（代点相减法）：处理弦中点问题y1 y2步骤如下：设点 A yJ,B y2 作差得kAB；解决问题；I Xi,x2,Xi x24.求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）（5）参数法；（6）交轨法；（注：求解轨迹方程要枪脸是否存在不符合要求的点）第六部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1.角度制与强度制的百化：弧度180,1 弧度，1强度 18 57 18180 01 2 1弧长公式：I R；扇形面积公式：S R RI；2 22.三角函数定义：角 终边上任意一点P为（x,y，|OP|r就：设sin V,co s X,tan y xO r r x3.三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4.诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”；2 2 sinx5.同角三角函数的基本关系：sin x co s x 1；tanx；COS X6.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin）sin co s co s sin;（s co s）co s co sin sin;O tan)tatan+An1 tantan+a P=a P a Pa P=aP+aPa7.二倍角公式：sin 2a=2sina co sa；co s2a=co s2a-sin2 a=2co s2a-1=1 一 2sin2a tan 2a=2 tana1-tan2 a8.(1)y=Asin 6x+9)当x=2kn+土（立时,2Ymax=A；当 x=2k”+(空)时,2Ymin=A；单调递增区间:2kn-1-9X 己-CO单调递减区间:x w 2%+L_202kK，937T2+_QZ)；CO(忙Z)周期T2兀-叩对称轴:X=+L_cp 2Z)；对称中心:kZLzl,oAkZ)；=8+3 y Aco s(x)：=7T 当x 2k(kZ)时,单调递增区间:xr2kYmax A工7T-JI-V=7T当x 2k(kZ)时，A；7Tco _q)2k单调递减区间:X2F-(k Z)_(P _k Z71周期T 2H 一k;对称轴:x（k Z）；对称中心:Jt+-pk-2,0(kz);+中(2)y Atari(x)兀_P71 _(p单调递增区间:7txk 0r 2kco2)k Z)周期2Tk co;对称中心:2,0kZ9.正、余弦定理一正弦定理 3 b=csin A sin B sinC2R=（2R是A无外接圆直径）注：a:b:c sin A:sin B:sin C；a 2Rsin A,b 2RsinB,c2RsinC；a+b+csin A sin B sinC sin A+sin B+sin C(2)余弦定理：a2=b2+c2-2bcco sA,b2=a2+c2-2acco sB,c2=a2+b2-2abco sC；、+A b+c注：co s A=_2 2 D2；co sB a+c 一；co sC a2+b2-c10；几个公式：（1）三角形面积公式:-a-b-c,P P P1+b+c)=2内切圆半径r$a宓；外接圆直径2R a b c.a b c sinA sinB sinC,11.Bin a,b,A时三角形解的个数的判定：其中h bsin A,A为锐角时：a h时，无解；a h时，一解（直角）；2h a b时，两解（一锐角，一钝角）；b时，一解（一锐角）A为直角或钝角时：a b时，无解；a b时，一解（锐角）；第七部分平面对量1.向量的基本概念T 4向量：既有大小又有方向的量；表示方法：有向线段 AB,有同线段a；相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作：a=b；平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作 a/b；（0 a）2.向量的线性运算1）向量加法运算及其几何意义,T T T三角形法就：a+b=AB+BC=AC（首尾连接）；2向量减法运算及其几何意义 三角形法就：a-=OA-OB=b1（从减数b的终点指向被减数1的终点）注:同一g j+3）向量数乘运算及其几何意义实数与向量的积：实数兀与向量的积是一个向量，记作渭，长度为：炳，方向：当。时，.8的方向与强的方向相同；当。时，.古的方向与W的方向相反;A A X A当 0时，.甘6；非零向量的数量 百8 AHco s，（。，是向量电与勺的夹角）积.=I|-71 0-规定零向量与任一向量的数量积为 0,注：当8=0时，a与b同向;71.&当一 8冗时，a-b0；a b的几何意义：a的长度6_ n 一、兀 当 080；当8=一时，a-L b；2 2当8=兀时，a与b异同.与b在a的方向上的投影1b积 二匕、的0s o3.向量的平行与垂直a/b-a=z-b=0(b；aUb=0*o,b*OT T(a4.平面对盘的基本定理:假如戋自是同一平告四漏中为通向量，那么对于这一个平面内的任-向量a,脑只有-对实数dd使得1Sn Sn 1，n 2_=_+_+=+叠加法（a：an Cn型）；叠乘法（3n 1 Cn型）；（6）构造法（a1 kan b型）；an（理科）数学归纳法：归纳一猜想一证明；4.=-=注：当遇到an1 an d或2吧 q时，要分奇数项偶数项争论，结果是分段形式;an 14.前n项和的求法:+|+=rr4f=Ul-+|+=2(1)常用数列之和：123 n；1 3 5 2n 1 n；2+II+2=+2+2+2+111+2=,门,1(2n 12 46 n2n；n123 n；r+1 6J:+.+.+.+*+.+1 2 3 n；1 2 2 3 3 4 n(n1)21)3S2)（2）求和基本方法公式法：直接运用以上公式;倒序相加法：课本推导等差数列求和的方法，适用前后等距离项之和相等;错位相减法：课本推导等比数列求和的方法，适用等差等比数列相结合的新数列，乘公比再相减;裂项求和法：适用分母有等差数列相邻两项组成的形式等;分项求和法：将数列分成几个数列然后分别求和；5,求数列中通项公式an或前n项和Sn的最大最小值的方法：比较法：作差比较法，作商比较法;构造相应的函数，用导数法求最值；第九部分不等式1.均值不等式:(当且仅当a b时，等号成立)a,b R+，2.利用基本不等式求最值问题(1)a,b _ R+,当ab为定值时，a b取最小值2；=+Va b 2(2)a,b R中当a b为定值时，ab取最大值+；+P(3)当x _ R+时，函数y X,0)的取值范畴是2市，)；U=+(V+o cPXP l l(4)当x=0时，函数y=x+一(优。)的取值范畴是,-2、；pU2，p,+工 X推广：a,b,ce Ra3+b3+c3 3abc；abc3.2.2a-u b 9 a留意：一正二定三相等；变形，ab，一-2 23.肯定肯定等式:|a|-|b|yab|a|+|b|；4.不等式的性质:aj bb,bc=acat)u a+cb+ca b,c d=a+c b+d；(4)a b,c 0=-ac bd ab,c0=ac b 0,c d 0=ac bd;ab0:an bn 0 e N*)=V J *n(6)a b 0 n a_ N,)；_n u比较大小方法:依据aa b,作差,分解因式，判定符号,下结论.b 0 a b,u =5.不等式的解法一元一次不等式的解法:ax b(a0axb(aO)x 巳 abax b(aO)x aax2 bx c 0X O0 +o O*-+=-=5 -|=-=|=+U=U=+=+=+=（5）复数的几何意义：复数 z=a+bi与向量友=（a.b）对应，复数=z+a bi与平面上的点Z（a,b）Zy-z2i:表小两点Z1,Z2之间的距离；对应z r：表示圆心在原点，半径为r的圆；z4r：表示以点Z1为圆心，半径为r的圆;2.复数的运算（四就运算）（1）加、减法:+=+(a bi)(c di)1 a c)(b d)i（2）乘法：+U+(a bi(cdi)+ac bd)(be ad)i；a bi3)除法：+c dia bic+(c di)(c、+一=di J ac+bd be2+2 2+2di)c d cad（分母实数化）d3.一些常用结论:算：2(1虚数单位 i 的舄运 i4n1=i,i4n2=-1,i4n3=-i,i4n4=1,n N(周期 T=4)=-=-=-一1-j+i 2i,1 i i；0,a的平方根是：ai2 1 i i 段 a -Q4）实系数一元二次 方程2ax bx c 0 aO。的两虚根：xb2a第十一部分 概率1.大事的关系:大事B包含大事A：大事A遂生，梗 B肯定发生，记作 A B；大事A与大事B相等：如A b,BA,就大事A与B相等，记作件 B；并（和）大事：某大事发生，当且仅当大事 A发生或B发生，记作Aj B（或A B）；并（积）大事：某大事发生，当可仅当大事 A发生由B武&,记作A B（或AB）大事A与大事B 砰：如A B为不行6悴事（A B），就大事A与B互斥；（6）对立大事:A B为不行能大事，A B为必定大事，就A与B互为对立大事:P PB 1A)12.2率公式:互斥大事（有一个发生）概率公式：p（AB）=P+P（B）A=A包含的基-领件的个数 古典概型：P（A）基本领件的总数几何概型：P 构成大事A的区域长度（面积或体积等）（A）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）第十二部分算法初步1.程序框图：名称终端框功能算法的起始与终止图形符号、Z_/输人、输出框算法输入、输出信息处理框赋值、运算O制定框判定条件是否成立流程线连接程序柢2.算法的三抻基本期律结构:次序结构：由如干个依次执行的处理步骤组成，是算法基本结构;条件结构：依据条件是否成立有不同的流向；循环结构：依据肯定条件，反复执行某一步骤；一骰包含计数变量、累积变量、条件结构,当型：先判定后执行，条件满意时执行循环体，不满意时终止；直到型：先执行后判定,条件不满意时执行循环休，满意时终止;3.算法的五种基本语句输入赭句：INPUT 提示内容？变量（多个变量用逗号隔开）；输出语句：PRINT 提示内容？表达式（表达式中可以带有运算功能）腻值语句：变量=表达式运算左边的式子然后赋值给右边的变量；条件语句:IF条件IF条件循环话句：WHILE条件DO 条件THEN语句体THEN赭句体循环体循环体ENDIFSLSE语句休WENDLOOP UNTIL 条件ENDIF5.算法案例 辗转相除法 m=nq+r r n);更相减损术(0秦九韶算法 ax a-x.a x aX n n 1,n n 1 1 0=v0=an+=*当 x%时，1-Tk 1,2,n)vk Vk 1%an k-Ill=0+一+III+2+J 0进位制 a a a a a k.m a k a k ak；除k取余法;n n 1 1 o n 8n 1K 2 1 0(k第十三部分1.四种命题及其相互关系:原命题：如-1-1(3)否命题：如 p就q；(4)逆否命题:常用规律用话P就q;逆命题：如q就P；-n如 q就 p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价(互为逆否关系的两个命题同真同假)；2.充分条件与必要条件 I、-1定义：命题“如P,就q”为真命题，记作p q(等价于 q P),就P是q的充分条件，q是P的-必要条件；如Pq,就P与q互为充要条件;充要条件的判定:(1)定义法-一充分性：p=q；必要性：q=p；(2)利用集合间的包含关系：如Aq B,就A是B的充分条件或B是A的必要条件；如A二B,就A是B的充分不必要条件；jl|A=B,就A是B的充要条件；(充要条件的证明题必需分成必要性与充分性进行证明)3.规律连接词：且(and):命题形式 p q;或(o r)：命题形式 _ pq；俳(no t)：命题形式 P；PqA p qP qP真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真4.含有一个量词的命题全称命题：Vx M,p(含有全称量同“对全部的”、“对每一个、”“对任意一个”x3 特称命题：X M,p(含有存在量同“存在一个”、“至少有一个”、“有些X*解题技15：命题的否定(命题的否定与否题是不同的概念！)“P且q”形式命题的否定：一 q“p或q”形式命题的否定：p且q正二些正湎:吾的否定是都是肯定 至少有一至多有一任意 全部否*不是不都是不肯定一个没有至少有二某个某些第十四部分推理与证明1.推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是依据已有事实，经过观看、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它1称为合情推理；归纲推理：由某类食枷的部分对象具有某些特点，推出垓类事枷的全部对象都具有这些特点的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归期；注：归州推理是由部分到整体,由个别到一般的推理;类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特点，推出另一类对象也具有这些特点的推理，称为类比推理，简称类比；注：类比推理是特殊到特殊的推理；演绎推理：从一般的原理动身，推出某个特殊情形下的结论，这抻推理叫演绎推理；注：演绎推理是由一骰到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提-已知的一般结论；(2)小前提-所争论的特殊情形;结论-依据一般原理，对特殊情形得出的判定；二.证明1.直接证明综合法般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立，这抻证明方法叫做综合法；综合法又叫顺推法或由因导果法；(2)分析法般地，我要证明的结论动身，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法；分析法又叫逆推证法或执果索因法；2.间接证明-反证法（正难反易）般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最终得出冲突，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法;第十五部分统计与统计案例1.抽样方法简浩随机抽样：一骰地，设一个总体的个数为 N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为 n的样本,且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简浩随机抽样；n注：每个个体被抽到的概率为;N常用的简浩随机抽样方法有：1）抽签法；随机数法；系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后依据预先制定的规章，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样；注：步骤：编号；分段；在第一段采细简浩随机抽样方法确定其时个体编号 I;按预先制定的规章抽取样本;分层抽样：当已如总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情形，将总体分成几部分，然后依据各部分占总体的比例进行抽样,这种抽样叫分层抽样；=X-R-注：每个部分所抽取的样本个体数 垓部分个体数N2.总体特点数的估量:样本平均数X 1 x#x+1y X；A=-I Xr-X2十十Xn 弓乙Xi，n n ix(2)样本方差2 1 2 2 2 1 n 22注：R越大，残差平方和越小，就模型机合成效越好；5.建立回来模型的基本步骤:确定争论对象，明确说明变量与预报变量;画出散点图，观看它4之间的关系;S=一 XR+X2X-+寸 Xn-x=-E Xx n n i土样本标准差 一 1 _ 2!1 二S=4-xx+X2-X+xx有1一 E XrX V n n i手3.回来分析的初步应用1）相关系数（判定两个变量线性相关性）：注：r。时，变量x,y!E相关；r。时，变量x,y负相关;（2W Irl越接近于1,两个变量的线性相关性越陨；|r|接近于。时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系.2）线性回来方程：y bx a,（b-bx-y a4.回来分析中回越效加判定：（1）域差：e V、y；域差平方和:Z-2 1n 2 en 2 11X)2V、G=Z AZ-1 nn 2 i 1（2）相关指数Z1-2=y R2 1 V,i 1 n2L Yi Yi J2R越接近于1,就回来成效越好;确定回来方程的模型（非线性关系的转化为线性关系求解）估量回来方程中的参数（如最小二乘法）3）随机变量=,2X（5）得出结果后分析残差图是否有反常（利用城差平方和 o或相关指数R2检脸模拟成效）；6.独立性检验（分类变量关系）：1）乂22列联表；（2）图形：三维柱形图、二维条形图、等高条形图；n（ad-bc）2斤 a b+c，d者 bt c+dPa c b d 4）判定分类变量X与丫有关系的方法：假设Ho：X与丫无关系，就 修：X与丫有关系；在三维柱形图中，主对角线柱形的高度的乘积与副对角线柱形的高度的乘积相差越大，Hi成立的可能性越大，说明两个分类变量有关系；在二维条形图中，与。的值相差越大，H成立的可能性越大；说明两个分类变量有关系；=a b c d利用P K?k P：肯定Ho：X与丫无关系，成立可能性为 p；曰：X与丫有关系成立可能性为1 P.第十天部分 理科选修部分一.数学归纲法1.一般地证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行：（D（奠基）证明当n取第一个值 n0是命题成立；=之 w*=+（假设与递推）假设 k n0）k N 命题成立，证明当n k 1时命题也成立;当n（k那么由（1X2）就可以判定命题对从 n0开头全部的正整数都成立；注：数学归纳法的两个步骤缺一不行，用数学归细法证明问题时必需严格按步骤进行；n0的取值视题目而定.2.数学归纳法的运用：证明与正整数有关的恒等式问题、整除问题、不等式问题、数列中的猜想一归纲一证明；证明关维：在证明nk 1时利用归纲假设，并与结论比较;二.排列、组合和二项式定理1.加法、乘法原理2.排列（所取元素有次序要求）排列数公式:n1)(n2 n mlnn(规定：0.1)(nm).3.组合（所取元素无次序要求）组合数公式:cmnAnAm mm.n.(n(n m).n1n m 1 m.组合数性质:mCnnCnmm(2)CnmCnmc n 1m I”cn n1 C1m 1n 14二项式定理:bnC：anC；an 1b1Ck_n k.k n a bCnbn n N(a通项：1Crannrbrr0,1,2.n）;留意二项式系数与系数的区分;5.二项式系数的性质:1）项数：绽开式共有n11;(2）指数:a的指数从n依次减1,最终为0；b的指数从0依次增1,最终为n；(3）对称性:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，pm pn mLn Ln(4）增减性:n当k1时，二项式系数是逐步增大,2(5）最大值:当n为偶数时，中间一项（n11）的二项式系数最大;2(6当n为奇数时，中间两项（0）各二项式系数的和：Cnn 1 21项和n 1211）的二项式系数相等且最大;2Cn Cncnncnn2各奇数项的二项式系数和与各偶数项的系数和相等且都等于2n 1c：C nC nC n2n1+III十+a2 c2y=+|l|+=d2)=(acbd)2.当且仅当ad be时，等号成立;III2.利西不等式的向量形式段，总是两个向量，就 成当且仅当?为零向量，或存在实数k,便?=k?时，等号成立;3 柯西不等式的变形：1)J(abh j(c；/)ac+bd ac+bd J 9独2/+d2)ac+bd4.二维形式的三角形式：如x,x,y,y是实数，就4丫2+/+J/+、/2-V2 XX y-y 2zv A y y12 12 1 2 1 2 1 2 1 2二、几何证明选讲1、相像三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理：假如一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.相像三角形的定义：对应边成比例的两个三角形叫做相像三角形，相像三角形对应边的比值叫做相像比.相像三角形判定定理1(A A)：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像.相像三角形判定定理2(S A S)：对于任意两个三角形，假如一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应 成比例，并且夹角相等,那么这两个三角形相像.相像三角形判定定理3(S S S)：对于任意两个三角形，假如一个三角形的三条边和另一个三角形的三条两 边对应成比例，那么这四个三角形相像.直角三角形的相像：(1)假如两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它1口相像；(2)假如两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它相像；(3)假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么它们相像;相像三角形的性质相像:1)相像三角形对应高的比、对应中线的比、和对应角平分线的比等于相像比;(2)相像三角形周长的比等于相像比;(3)相像三角形面积的比等于相像比的平方；相像三角形外接圆的直径比、周长比等于相像比，外接圆的面积比等于相像比的平方;直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它4在斜边上射影与斜边的比例中项.(a co sB+bco s A=c)2、直线与圆的位置关系垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条林；圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对应的圆心角的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数.圆内接四出形的性质与判定定理:性质：圆的内接四边形的对角互补；圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角.判定:假如一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.圆的切线的性质与制定定理:判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过加点；经过加点且垂直于切线的直线必经过圆心.夜加角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.三、极坐标与参数方程选讲1、平面直角坐标系基硼学问：两点x,)、P(x,y)的距离公式访1