2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学高二数学第一学期期末达标检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列满足，则（）
A. B.1
C.2 D.4
2．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
3．抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A.1 B.2
C. D.4
4．已知，若，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知点在抛物线的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
6．数列1，6，15，28，45，...中的每一项都可用如图所示的六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么第10个六边形数为（ ）

A.153 B.190
C.231 D.276
7．函数是偶函数且在上单调递减，，则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
8．某地政府为落实疫情防控常态化，不定时从当地780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测.把这批公务员按001到780进行编号，若054号被抽中，则下列编号也被抽中的是（ ）
A.076 B.104
C.390 D.522
9．设函数若函数有两个零点，则实数m的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要
11．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数y（人）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（℃）
17
13
8
2
月患病y（人）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为9℃，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（）
A.38 B.40
C.46 D.58
12．设，，则“”是“”的
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是__________.
14．若椭圆的长轴是短轴的2倍，且经过点，则椭圆的离心率为________.
15．在圆M：中，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________.
16．设函数为奇函数，当时，，则_______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离相等.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于A，两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.
18．（12分）某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，分为5组制出频率分布表如图所示.
组号
分组
频数
频率
1

5
005
2

35
0.35
3

30
b
4

c
d
5

10
0.1
（1）求b，c，d的值；
（2）该校决定在成绩较好的3、4、5组用分层抽样抽取6名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？
（3）在（2）的前提下，从抽到6名学生中再随机抽取2名被甲考官面试，求这2名学生来自同一组的概率.
19．（12分）已知椭圆：经过点，设右焦点F，椭圆上存在点Q，使QF垂直于x轴且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于D，G两点.是否存在直线使得以DG为直径的圆过点E（-1，0）?若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.
20．（12分）新高考取消文理分科，采用选科模式，这赋予了学生充分的自由选择权.新高考地区某校为了解本校高一年级将来高考选考物理的情况，随机选取了100名高一学生，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照，，，，分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值并估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数.
（2）根据调查，本次物理测试成绩不低于60分的学生，高考将选考物理科目；成绩低于60分的学生，高考将不选考物理科目.按分层抽样的方法从测试成绩在，的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.
21．（12分）已知等差数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
22．（10分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.

（1）设，，求这个几何体的表面积；
（2）设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据递推式以及迭代即可.
【详解】由，得，，，，
，，.
故选：B
2、C
【解析】将方程有解，转化为方程有解求解.
【详解】解：因为方程有解，
所以方程有解，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以实数a的取值范围为，
故选：C
3、B
【解析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，
解得：(舍去).
故选：B.
4、C
【解析】根据题意，由为原点到直线上点的距离的平方，再根据点到直线垂线段最短，即可求得范围.
【详解】由，，
视为原点到直线上点的距离的平方，
根据点到直线垂线段最短，
可得，
所有的取值范围为，
故选：C.
5、C
【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点在抛物线的准线上，即可求出参数，即可求出抛物线的焦点.
【详解】解：抛物线的准线为
因为在抛物线的准线上

故其焦点为
故选：
【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.
6、B
【解析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形可知，，，，，，，据此即可求解.
【详解】由题意知，数列的各项为1，6，15，28，45，...
所以，，，
，，，
所以.
故选：B
【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理；考查逻辑推理能力；观察分析、寻求规律是求解本题的关键；属于中档题、探索型试题.
7、D
【解析】分析可知函数在上为增函数，且有，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是偶函数且在上单调递减，则该函数在上为增函数，
且，
由可得，
所以，，可得或，解得或.
因此，不等式的解集为.
故选：D.
8、D
【解析】根据题意，求得组数与抽中编号的对应关系，即可判断和选择.
【详解】从780名公务员中，采用系统抽样的方法抽取30人做核酸检测，
故需要分为组，每组人，设第组抽中的编号为，
设，由题可知：，故可得，
故可得.
当时，.
故选：.
9、D
【解析】有两个零点等价于与的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.
【详解】解：设，则，所以在上递减，在上递增，
，且时，，
有两个零点等价于与的图象有两个交点，
画出的图象，如下图所示，

由图可得，时，与的图象有两个交点，
此时，函数有两个零点，
实数m的取值范围是，
故选：D.
【点睛】方法点睛：本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质
10、B
【解析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断
【详解】由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件
故选：B
11、B
【解析】由表格数据求样本中心，根据线性回归方程过样本中心点，将点代入方程求参数，写出回归方程，进而估计下个月老年人与儿童患病人数.
【详解】由表格得为，由回归方程中的，
∴，解得，即，
当时，.
故选：B.
12、C
【解析】不能推出，反过来，若则成立，故为必要不充分条件.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】利用抛物线的定义结合图形即得.
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，
过点作，垂足为，则，

所以的周长为
，
当且仅当三点共线时等号成立.
故答案为：.
14、
【解析】分类讨论焦点在轴与焦点在轴两种情况.
【详解】因为椭圆经过点，当焦点在轴时，可知，，
所以，所以，
当焦点在轴时， 同理可得.
故答案为：
15、
【解析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而可得点在圆内，即可得到过点的最长弦、最短弦弦长，即可求出四边形的面积；
【详解】解：圆M：，即，圆心，半径，点，则，所以点在圆内，所以过点的最长弦，又，所以最短弦，所以
故答案为：
16、
【解析】由奇函数的定义可得，代入解析式即可得解.
【详解】函数为奇函数，当时，，
所以.
故答案为-1.
【点睛】本题主要考查了奇函数的求值问题，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)利用抛物线点，n)到焦点的距离等于到x轴的距离求出，从而得到抛物线的标准方程
(2)联立直线与抛物线方程，通过韦达定理求出直线方程，然后由，即可求解
【小问1详解】
由题意可得，故抛物线方程为；
【小问2详解】
设，，，，直线的方程为，
联立方程中，消去得，，
则，
又，
解得或(舍去)，直线方程为，直线过定点
18、（1），，
（2）第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人
（3）
【解析】（1）根据频率分布表的数据求出b，c，d的值；
（2）三个组共有60人，从而利用分层抽样抽样方法抽取6名学生第三组应抽3人，第四组应抽2人，第五组应抽1人；
（3）记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，利用列举法结合概率公式得出答案.
【小问1详解】
由题意得，，
【小问2详解】
三个组共有60人，所以第三组应抽人，第四组应抽人，第五组应抽人.
【小问3详解】
记第三组抽出的3人分别为，第四组抽出的2人分别为，第五组抽出的1人为，从这6人中随机抽取2人，基本事件包含
，共15个基本事件.
其中2人来自同一组的情况有，共4种.
所以，2人来自同一组的概率为.
19、（1）；
（2）存在，或.
【解析】（1）根据题意，列出的方程组，求得，则椭圆方程得解；
（2）对直线的斜率进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，转化题意为，求解即可.
小问1详解】
由题意，得，设，将代入椭圆方程，得，
所以，解得，所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
当斜率不存在时，即时，，为椭圆短轴两端点，
则以为直径的圆为，恒过点，满足题意；
当斜率存在时，设，，，
由得：，
，解得：
，，
若以为直径的圆过点，则，即，
又，，

，
解得：，满足，即，此时直线的方程为
综上，存在直线使得以为直径的圆过点，的方程为或
20、（1），中位数为；
（2）.
【解析】（1）由频率和为1求参数a，根据直方图及中位数性质求中位数即可.
（2）首先由分层抽样原则求选取的5人在、的人数分布情况，再应用列举法求古典概型的概率即可.
【小问1详解】
由图知：，解得.
学生成绩在的频率为；
学生成绩在的频率为.
设这100名学生本次物理测试成绩的中位数为，则，解得，
故估计这100名学生本次物理测试成绩的中位数为.
【小问2详解】
由（1）知，学生成绩在的频数为，学生成绩在的频数为.
按分层抽样的方法从中选取5人，则成绩在的学生被抽取人，分别记为，，成绩在的学生被抽取人，分别记为，，.
从中任意选取2人，有，，，，，，，，，这10种选法，
其中至少有1人高考选考物理科目的选法有，，，，，，，，这9种，
∴这2人中至少有1人高考选考物理科目的概率.
21、（1）
（2）
【解析】（1）设等差数列公差为d，首项为a1，根据已知条件列出方程组求解a1，d，代入通项公式即可得答案；
（2）根据等差、等比数列的前n项和公式，利用分组求和法即可求解
【小问1详解】
解：设等差数列公差为d，首项为a1，
由题意，有，解得，
所以；
【小问2详解】
解：，所以
22、（1）
（2）
【解析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；
（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可
【小问1详解】
上下两个扇形的面积之和为：
两个矩形面积之和为：4
侧面圆弧段的面积为：
故这个几何体的表面积为：
【小问2详解】
如下图，将直线平移到下底面上为

由，且，，可得：面
则
而G是弧DF的中点，则
由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则
则直线与直线的夹角为