陕西省咸阳市三原南郊中学2025年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

陕西省咸阳市三原南郊中学2025年高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（）
A. B.
C. D.
2．椭圆C：的焦点在x轴上，其离心率为则椭圆C的长轴长为（　　）
A.2 B.
C.4 D.8
3．命题“，使”的否定是（ ）
A.，有 B.，有
C.，使 D.，使
4．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（）
A. B.
C. D.
5．某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（ ）
A.0.0689 B.0.049
C.0.0248 D.0.02
6．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（）
A. B.
C. D.
7．若数列满足，则的值为（ ）
A.2 B.
C. D.
8．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.
9．如图，在三棱柱中，平面，，，分别是，中点，在线段上，则与平面的位置关系是（）

A.垂直 B.平行
C.相交但不垂直 D.要依点的位置而定
10．已知函数.设命题的定义域为，命题的值域为.若为真，为假，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
11．已知抛物线的焦点为F，过点F作倾斜角为的直线l与抛物线交于两点，则POQ(O为坐标原点)的面积S等于（）
A. B.
C. D.
12．已知等比数列的前项和为，若公比，则＝（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知抛物线：，若直线与抛物线C相交于M，N两点，则_______________.
14．已知命题，则命题的的否定是___________.
15．数列满足，则__________.
16．若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则m最大值为________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）命题存在，使得；命题对任意的，都有
（1）若命题p为真时，求实数a的取值范围；若命题q为假时，求实数a的取值范围；
（2）如果命题为真命题，命题为假命题，求实数a的取值范围
18．（12分） “中山桥”是位于兰州市中心，横跨黄河之上的一座百年老桥，如图①，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.如图②，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的抛物线（部分）组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知，，，，立柱.

（1）求立柱及横梁的长；
（2）求抛物线的方程和桥梁的拱高.
19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且.
（1）求C；
（2）若D是BC的中点，，，求AB的长.
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点在椭圆上
（1）经过点M（1，）作一直线交椭圆于AB两点，若点M为线段AB的中点，求直线的斜率；
（2）设椭圆C的上顶点为P，设不经过点P的直线与椭圆C交于C，D两点，且，求证：直线过定点
21．（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=2，E，F分别为AD和PB的中点.请用空间向量知识解答下列问题：

（1）求证：EF//平面PDC；
（2）求平面EFC与平面PBD夹角的余弦值.
22．（10分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.

（1）设，，求这个几何体的表面积；
（2）设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】由等差数列的性质将转化为，而，可知数列是递增数，从而可求得结果
【详解】∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为
故选：B
2、C
【解析】根据椭圆的离心率，即可求出，进而求出长轴长.
【详解】由椭圆的性质可知，
椭圆的离心率为，则，即
所以椭圆C的长轴长为
故选：C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于基础题.
3、B
【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得正确答案
【详解】存在量词命题的否定，只需把存在量词改成全称量词，并把后面的结论否定，
所以“，使”的否定为“，有”，
故选：B.
4、A
【解析】依据点差法即可求得的关系，进而即可得到双曲线的渐近线的斜率.
【详解】设，则
由，可得
则，即，则
则双曲线的渐近线的斜率为
故选：A
5、C
【解析】根据全概率公式即可求出
【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为
0.0248
故选：C
6、D
【解析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.
【详解】解：因为两点，则，
又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，
故选：D.
7、C
【解析】通过列举得到数列具有周期性，，所以.
详解】，
同理可得：，
可得，则.
故选:C.
8、D
【解析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得，所以抛物线的方程为
故选：D

9、B
【解析】构造三角形,先证∥平面,同理得∥平面,再证平面∥平面即可.
【详解】连接，，.

因为在直三棱柱中，M，N分别是，AB的中点，所以∥.
因为平面内，平面，所以∥平面.
同理可得AM∥平面.
又因为，平面，平面，
所以平面∥平面.
又因为P点在线段上，所以∥平面.
故选：B.
10、C
【解析】根据一元二次不等式恒成立和二次函数值域可求得为真命题时的取值范围，根据和的真假性可知一真一假，分类讨论可得结果.
【详解】若命题为真，则在上恒成立，，；
若命题为真，则的值域包含，
则或，；
为真，为假，一真一假，
若真假，则；若假真，则；
综上所述：实数的取值范围为.
故选：C.
11、A
【解析】由抛物线的方程可得焦点的坐标，由题意设直线的方程，与抛物线的方程，联立求出两根之和及两根之积，进而求出，的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式求出面积
【详解】抛物线的焦点为，，
由题意可得直线的方程为，设，，，，
联立，整理可得：，
则，，
所以，
所以，
故选：A
12、A
【解析】根据题意，由等比数列的通项公式与前项和公式直接计算即可.
【详解】由已知可得.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、8
【解析】直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理根据弦长公式求弦长
【详解】设，由得，
所以，，

故答案为：8
14、
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【详解】因为命题是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题即，
故答案为：
15、
【解析】对递推关系多递推一次，再相减，可得，再验证是否满足；
【详解】∵①
时，②
①-②得，
时，满足上式，.
故答案为：.
【点睛】数列中碰到递推关系问题，经常利用多递推一次再相减的思想方法求解.
16、
【解析】解不等式，得到或，，根据必要不充分条件，得到是A的真子集，从而求出，得到m的最大值.
【详解】，解得：或，
所以记或，；
若“x2－2x－8>0”是“x<m”的必要不充分条件，则是A的真子集
故，所以m最大值为
故答案为：-2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）p为真时或，q为假时；
（2）{或}.
【解析】（1）p为真应用判别式求参数范围；q为真，根据恒成立求参数范围，再判断q为假对应的参数范围.
（2）由题设易得p、q一真一假，讨论p、q的真假，结合（1）的结果求a的取值范围
【小问1详解】
若p真，则有实数根，
∴，解得或
若q为真，则，即
故q为假时，实数a的取值范围为
【小问2详解】
∵命题真命题，命题为假命题，
∴p，q一真一假，
当p真q假时，，可得
当p假q真时，，可得
综上，实数a取值范围为或.
18、（1），
（2），
【解析】（1）根据梯形的几何性质，即可求解；
（2）表示出M,N的坐标，代入抛物线方程中，结合条件解得p值，继而求得拱高.
【小问1详解】
由题意，知,
因为ABFM是等腰梯形，由对称性知:
,
所以，
【小问2详解】
由（1）知 ,
所以点M的横坐标为-18，
则N的横坐标为 -（18-5）= -13.
设点M，N的纵坐标分别为y1，y2，
由图形，知
设抛物线的方程为
，
，
两式相减，得2p(y2-y1)=182-132=155,
解得：2p=100
故抛物线的方程为x2=-100y.
因此，当x= -18时，

所以桥梁的拱高OH = 3.24 + 4 = 7.24m .
19、（1）
（2）
【解析】（1）根据正弦定理化边为角，结合三角变换可求答案；
（2）根据余弦定理先求，再用余弦定理求解.
【小问1详解】
∵，∴由正弦定理可得，
∴，
∴.
∵，∴，即.
∵，∴.
【小问2详解】
设，则，
即，解得或（舍去），∴.
∵，∴.
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆的方程为代入点的坐标求出椭圆的方程，再利用点差法求解；
（2）由题得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得韦达定理，根据和韦达定理得到，即得证.
【小问1详解】
解：由题设椭圆的方程为
因为椭圆经过点，所以
所以椭圆的方程为.
设，所以，
所以，
由题得，所以，
所以，所以，
所以直线的斜率为.
【小问2详解】
解：由题得
当直线的斜率不存在时，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立方程组，可得，
所以，
解得①，
设，，，，
则②，
因为，
则，，，
又，，
所以③，
由②③可得（舍或满足条件①，
此时直线的方程为，
故直线过定点
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，再求出，判断是否与法垂直即可，
（2）分别求出平面EFC与平面PBD的法向量，利用向量夹角公式求解即可
【小问1详解】
因PD⊥底面ABCD，平面，
所以，
因为四边形为正方形，所以，
所以两两垂直，
所以以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
因为E，F分别为AD和PB的中点，
所以，
所以，
因为,
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
因为，
所以,
因为平面，
所以EF//平面PDC；
【小问2详解】
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，则，
设平面的法向量为，
因为,
所以，令，则，
设平面EFC与平面PBD夹角为，，则
，
所以平面EFC与平面PBD夹角的余弦值为

22、（1）
（2）
【解析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；
（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可
【小问1详解】
上下两个扇形的面积之和为：
两个矩形面积之和为：4
侧面圆弧段的面积为：
故这个几何体的表面积为：
【小问2详解】
如下图，将直线平移到下底面上为

由，且，，可得：面
则
而G是弧DF的中点，则
由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则
则直线与直线的夹角为