2025-2026学年江西省顶级名校高二数学第一学期期末统考试题含解析.doc

2025-2026学年江西省顶级名校高二数学第一学期期末统考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A.y=±2x B.y=
C. D.
2．若定义在R上的函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
3．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
4．已知，则下列不等式一定成立的是（）
A B.
C. D.
5．设为抛物线焦点，直线，点为上任意一点，过点作于，则（ ）
A.3 B.4
C.2 D.不能确定
6．已知随圆与双曲线相同的焦点，则椭圆和双曲线的离心，分别为（ ）
A. B.
C. D.
7．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（）
A.5 B.10
C.8 D.9
8．已知椭圆及以下3个函数：①；②；③，其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有（）
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
9．在等差数列{an}中，a1=1，，则a7=（）
A.13 B.14
C.15 D.16
10．是双曲线：上一点，已知，则的值（）
A. B.
C.或 D.
11．圆的圆心为（ ）
A. B.
C. D.
12．设满足则的最大值为
A. B.2
C.4 D.16
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______
14．等比数列的前项和为，则的值为_____
15．已知是首项为，公差为1的等差数列，数列满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是________
16．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同

（1）求a，b的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）
18．（12分）如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，

（1）证明：
（2）求直线与平面所成角的正弦值
19．（12分）如图，直三棱柱中，，，是棱的中点，

（1）求异面直线所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值
20．（12分）大学生王蕾利用暑假参加社会实践，对机械销售公司月份至月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价和销售量之间的一组数据如表所示：
月份

销售单价（元）

销售量（件）

（1）根据至月份数据，求出关于的回归直线方程；
（2）若剩下的月份的数据为检验数据，并规定由回归直线方程得到的估计数据与检验数据的误差不超过元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（注：，，参考数据：，）
21．（12分）中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝，椭圆的长半轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求△F1PF2的面积
22．（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC
（1）求B；
（2）若a=2，，设D为CB延长线上一点，且AD⊥AC，求线段BD的长
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
2、B
【解析】构造函数，根据题意，求得其单调性，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】构造函数，则，故在上单调递减；
又，故可得，则，即，解得，
故不等式解集为.
故选：B.
【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性，以及利用函数单调性求解不等式，解决本题的关键是根据题意构造函数，属中档题.
3、C
【解析】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C
4、B
【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，所以，故D不正确.
故选：B
5、A
【解析】由抛物线方程求出准线方程，由题意可得，由抛物线的定义可得
，即可求解.
【详解】由可得，准线为，
设，由抛物线的定义可得，
因为过点作于，可得，
所以，
故选：A.
6、B
【解析】设公共焦点为，推导出，可得出，进而可求得、的值.
【详解】设公共焦点为，则，则，
即，故，
即，，
故选：B
7、B
【解析】根据分层抽样的定义即可求解.
【详解】从甲车间抽取的人数为人
故选：B
8、C
【解析】由椭圆的几何性质可得椭圆的图像关于原点对称，因为函数,函数为奇函数,其图像关于原点对称，则①②满足题意, 对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数, 其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，得解.
【详解】解：因为椭圆的图像关于原点对称，
对于①，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；
对于②，函数为奇函数，其图像关于原点对称，即可知的图象能等分该椭圆面积；
对于③，对于函数在轴右侧时，，只有时，，即函数在轴右侧的图像（如图）显然不能等分椭圆在轴右侧的图像的面积,又函数为偶函数, 其图像关于轴对称，则函数在轴左侧的图像显然也不能等分椭圆在轴左侧的图像的面积,即函数的图像不能等分该椭圆面积，
即函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有2个，
故选C.

【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、函数的奇偶性及函数的对称性，重点考查了函数的性质，属基础题.
9、A
【解析】利用等差数列的基本量，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为，，解得：，
则.
故选：A
10、B
【解析】根据双曲线定义，结合双曲线上的点到焦点的距离的取值范围，即可求解.
【详解】双曲线方程为：，
是双曲线：上一点，，
，或，
又，.
故选：B
11、D
【解析】由圆的标准方程求解.
【详解】圆的圆心为，
故选：D
12、C
【解析】可行域如图,则直线过点A(0,1)取最大值2,则的最大值为4,选C.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值
【详解】解：函数的导数为，
设与直线平行的直线与曲线相切，
设切点为，则，
所以，所以，所以，所以，
所以切线方程为，
可得的最小值为，
故答案为：
14、
【解析】根据等比数列前项和公式的特点列方程，解方程求得的值.
【详解】由于等比数列前项和，本题中，故.
故填：.
【点睛】本小题主要考查等比数列前项和公式的特点，考查观察与思考的能力，属于基础题.
15、
【解析】先求得，再得出，对于任意的，都有成立，说明是中的最小项
【详解】由题意，∴，
易知函数在和上都是减函数，
且时，，即，
时，，，
由题意对于任意的，都有成立，则是最小项，∴，解得，
故答案为：
16、
【解析】先由极差以及平均数得出，进而得出中位数.
【详解】由可得，，，因为乙得分的平均值为24，所以，所以甲、乙两组数据的中位数是.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）90 （3）平均值69.5；中位数69.4
【解析】（1）由各矩形面积和为1列式即可；
（2）由高分频率乘以600即可；
（3）由平均数与中位数的估算方法列式即可.
【小问1详解】
由题意可知：
解得
小问2详解】
高分的频率约为：
故高分人数为：
【小问3详解】
平均值为，
设中位数为x，则
故中位数为69.4
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，可得的坐标，再求数量积可得答案；
（2）求出平面的法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
在长方体中，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
不妨令，则，
，
因为，所以
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
设平面的法向量，
则令，得，
设直线与平面所成的角，
则.
19、（1）
（2）
【解析】(1)建立空间直角坐标系,求出相关各点坐标,求出,利用向量的夹角公式求得答案;
(2)求出平面平面和平面的一个法向量,利用向量夹角公式求得答案.
【小问1详解】
以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
所以，
所以直线所成角的余弦值为；
【小问2详解】
设为平面的一个法向量， ,
则，
，
同理,
则,
可取平面的一个法向量为，
则,
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 .
20、（1）
（2）回归直线方程是理想的
【解析】（1）根据表格数据求得，利用最小二乘法可求得回归直线方程；
（2）令回归直线中的可求得估计数据，对比检验数据即可确定结论.
小问1详解】
由表格数据可知：，，
，则，
关于的回归直线方程为；
【小问2详解】
令回归直线中的，则，
，（1）中所得到的回归直线方程是理想的.
21、（1）椭圆方程为双曲线方程为；（2）12
【解析】（1）根据半焦距，设椭圆长半轴为a，由离心率之比求出a，进而求出椭圆短半轴的长及双曲线的虚半轴的长，写出椭圆和双曲线的标准方程；（2）由椭圆、双曲线的定义求出与的长，在三角形中，利用余弦定理求出 cos∠的值，进一步求得sin∠的值，代入面积公式得答案
试题解析：（1）设椭圆方程为，双曲线方程为 （a，b，m，n>0，且a>b），
则解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，
∴椭圆方程为双曲线方程为
（2）不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝6，
∴PF1＝10，PF2＝4，∴cos∠F1PF2＝＝，
∴sin∠F1PF2＝．∴S△F1PF2＝PF1·PF2sin∠F1PF2＝·10·4·＝12
考点：椭圆双曲线方程及性质
22、（1）
（2）
【解析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，由此求得.
（2）利用正弦定理求得，由列方程来求得.
【小问1详解】
，
由正弦定理得，
因为，所以，
.
【小问2详解】
由（1）知，，
由正弦定理：得，
，
或（舍去），
，
，所以由得，
，