江苏省徐州市铜山中学2025-2026学年高二数学第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

江苏省徐州市铜山中学2025-2026学年高二数学第一学期期末调研模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
2．设，则“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（）
A. B.
C. D.
4．某救援队有5名队员，其中有1名队长，1名副队长，在一次救援中需随机分成两个行动小组，其中一组2名队员，另一组3名队员，则正、副队长不在同一组的概率为（）
A. B.
C. D.
5．圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
6．数列满足，且，则的值为（）
A.2 B.1
C. D.-1
7．空间直角坐标系中，已知则点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为（）
A. B.
C. D.
9．下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是
A. B.
C. D.
10．在二面角的棱上有两个点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，，，，则这个二面角的大小为（ ）

A. B.
C. D.
11．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（　　）
A.++ B.+
C.++ D.+
12．已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.
14．已知随机变量，且，则______.
15．已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于A，B两点，若是等腰三角形，且，则的面积为___________.
16．设圆，圆，则圆有公切线___________条.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆C：，直线l：.
（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；
（2）当直线l与圆C相交于A,B两点，且时，求直线l的方程.
18．（12分）著名的“康托尔三分集”是由德国数学家康托尔构造的，是人类理性思维的产物，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段记为第一次操作；再将剩下的两个闭区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷.每次操作后剩下的闭区间构成的集合即是“康托尔三分集”.例如第一次操作后的“康托尔三分集”为.
（1）求第二次操作后的“康托尔三分集”；
（2）定义的区间长度为，记第n次操作后剩余的各区间长度和为，求；
（3）记n次操作后“康托尔三分集”的区间长度总和为，若使不大于原来的，求n的最小值.
（参考数据：，）
19．（12分）分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在y轴，短轴长为2，离心率为；
（2）短轴一端点P与两焦点，连线所构成的三角形为等边三角形
20．（12分）已知几何体中，平面平面，是边长为4的菱形，，是直角梯形，，，且

（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值
21．（12分）已知圆的半径为，圆心在直线上，点在圆上.
（1）求圆的标准方程；
（2）若原点在圆内，求过点且与圆相切的直线方程.
22．（10分）已知抛物线上的点M（5，m）到焦点F的距离为6.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴取值范围是．故选D
考点：利用导数研究函数的单调性.
2、B
【解析】求出不等式的等价形式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】由得或，
由得，
因为或推不出，但能推出或成立，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3、D
【解析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积
【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，
因为为抛物线上一点，，
所以点的横坐标为4，
当时，，所以，
所以的面积为，
故选：D
4、C
【解析】求出基本事件总数与正、副队长不在同一组的基本事件个数，即可求出答案.
【详解】基本事件总数为
正、副队长不在同一组的基本事件个数为
故正、副队长不在同一组的概率为.
故选：C.
5、C
【解析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，然后由，展开利用均值不等式可得答案.
【详解】由圆可得标准方程为，
因为圆关于直线对称，
该直线经过圆心，即，，
，
当且仅当，即时取等号，
故选：C.
6、D
【解析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解.
【详解】解：由题意，数列满足，且，
可得，
可得数列是以三项为周期的周期数列，
所以.
故选：D.
7、D
【解析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.
【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于平面的对称点的坐标为，
故选：D.
8、D
【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此确定的值即可.
【详解】由可得抛物线标准方程为：，，
抛物线的焦点到其准线的距离为.
故选：D.
9、C
【解析】焦点在轴上的是C和D，渐近线方程为，故选C
考点：1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质
10、C
【解析】设这个二面角的度数为，由题意得，从而得到，由此能求出结果.
【详解】设这个二面角的度数为，
由题意得，
，
，
解得，
∴，
∴这个二面角的度数为，
故选：C.
【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角.
11、B
【解析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出
【详解】如图所示，

∵＝+，
又＝，＝－，＝，
∴＝+，
故选：B
12、A
【解析】推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为函数的图象关于轴对称，则，
故，
，
又因为，都有，所以，，
所以，，
，，
因为当时，，，
当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数，
因为，则，故.
故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.
【详解】解：因为向量，
所以，
所以
故答案为：
14、
【解析】根据二项分布的均值与方差的关系求得,再根据方差的性质求解即可.
【详解】,所以,又因为,所以
故答案为：12
【点睛】本题主要考查了二项分布的均值与方差的计算,同时也考查了方差的性质,属于基础题.
15、
【解析】根据题意可知，，再结合，即可求出各边，从而求出的面积
【详解】，所以，而是的等腰三角形，所以，故的面积为
故答案为：
16、2
【解析】将圆转化成标准式，结合圆心距判断两圆位置关系，进而求解.
【详解】由题意得，圆：，圆：，
∴，∴与相交，有2条公切线.
故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据圆心到直线的距离d等于圆的半径r即可求得答案；
（2）由并结合（1）即可求得答案.
【小问1详解】
由圆：，可得，
其圆心为，半径, 若直线与圆相切，则圆心到直线：距离，即，可得：.
【小问2详解】
由（1）知圆心到直线的距离，因为，即，解得：，所以，整理可得：，
解得：或，则直线的方程为或.
18、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）根据“康托尔三分集”的定义，即可求得第二次操作后的“康托尔三分集”；
（2）根据“康托尔三分集”的定义，分别求得前几次的剩余区间长度的和，求得其通项公式，即可求解；
（3）由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为，结合题意，得到，利用对数的运算公式，即可求解.
【小问1详解】
解：根据“康托尔三分集”的定义可得：
第一次操作后的“康托尔三分集”为，
第二次操作后的“康托尔三分集”为；
【小问2详解】
解：将定义的区间长度为，根据“康托尔三分集”的定义可得：
每次去掉的区间长后组成的数为以为首项，为公比的等比数列，
第1次操作去掉的区间长为，剩余区间的长度和为，
第2次操作去掉两个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第3次操作去掉四个区间长为的区间，剩余区间的长度和为，
第4次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，

第次操作去掉个区间长为，剩余区间的长度和为，
所以第次操作后剩余的各区间长度和为；
【小问3详解】
解：设定义区间，则区间长度为1，
由（2）可得第次操作剩余区间的长度和为，
要使得“康托三分集”的各区间的长度之和不大于，
则满足，即，即，
因为为整数，所以的最小值为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）设出椭圆方程，根据短轴长和离心率求出，，从而求出椭圆方程；（2）短轴端点与焦点相连所得的线段长即为，从而求出，得到椭圆方程.
【小问1详解】
设椭圆方程为，
则，，则，解得:，
则该椭圆的方程为
【小问2详解】
设椭圆方程为，
由题得：，，则，
则该椭圆的方程为
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）根据菱形的性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）证明：连接，交于点，
∵四边形是菱形，∴，
∵平面平面，平面平面，，
∴平面，
∵平面，∴，
又，、平面，
∴平面，
∵平面，∴
（2）解：取的中点，连接，
∵是边长为4的菱形，，
∴，，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，∴，
同理可得，平面的一个法向量为，
∴，
由图知，平面与平面所成角为锐角，
故平面与平面所成角余弦值为
21、（1）或
（2）或
【解析】（1）先设出圆的标准方程，利用点在圆上和圆心在直线上得到圆心坐标的方程组，进而求出圆的标准方程；
（2）先利用原点在圆内求出圆的方程，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径进行求解.
【小问1详解】
解：设圆的标准方程为，
由已知得，
解得或，
故圆的方程为或.
【小问2详解】
解：因为，
，且原点在圆内，
故圆的方程为，
则圆心为，半径为，
设切线为，即，
则，解得或，
故切线为或，
即或即为所求.
22、（1）
（2）
【解析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程.
（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k，即可得直线l方程
【小问1详解】
由题设，抛物线准线方程为，
∴抛物线定义知：可得，故
【小问2详解】
由题设，直线l的斜率存在且不为0，设
联立方程，得，
整理得，则.
又P是线段AB的中点，∴，即
故l