2025年云南省昭通市五校高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析.doc

2025年云南省昭通市五校高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线的左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为
A. B.
C. D.
2．若椭圆对称轴是坐标轴，长轴长为，焦距为，则椭圆的方程（）
A. B.
C.或 D.以上都不对
3．已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
4．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（）
A. B.
C. D.
5．内角、、的对边分别为、、，若，，，则（）
A. B.
C. D.
6．数列满足，，则（　　　　）
A. B.
C. D.2
7．已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线与椭圆相交于A、B两点.若，点P到直线l的距离不小于，则椭圆C离心率的取值范围为（）
A. B.
C. D.
8．已知抛物线，则它的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
9．已知数列满足，若.则的值是（）
A. B.
C. D.
10．已知关于的不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B.5
C. D.7
11．已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（）
A.28 B.26
C.28或-12 D.26或-10
12．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm），则此构件的表面积为（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，若，则实数___________.
14．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________
15．若，，都为正实数，，且，，成等比数列，则的最小值为______
16．已知数列的前项和为，且，若点在直线上，则______；______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）{}是公差为1的等差数列，.正项数列{}的前n项和为，且.
（1）求数列{}和数列}的通项公式；
（2）在和之间插入1个数，使，，成等差数列，在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列，…，在和之间插入n个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
①记，求{}的通项公式；
②求的值.
18．（12分）已知中，分别为角的对边，且
（1）求；
（2）若为边的中点，，求的面积
19．（12分）如图所示，在三棱柱中，，点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，侧面是边长为2的菱形

（1）若△ABC是正三角形，求异面直线与BC所成角的余弦值；
（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段BD的长
20．（12分）已知函数
（1）当时，求在区间上的最值；
（2）若在定义域内有两个零点，求的取值范围
21．（12分）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点
（1）求抛物线E的方程；
（2）是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
（3）证明：内切圆的面积小于
22．（10分）经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）
（2）为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】求得，根据的面积列方程，由此求得，进而求得双曲线的渐近线方程.
【详解】依题意，双曲线的一条渐近线为，
则，所以，
所以，所以.
所以双曲线渐近线方程为.
故选：D

【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线的有关计算，属于中档题.
2、C
【解析】求得、、的值，由此可得出所求椭圆的方程.
【详解】由题意可得，解得，，
由于椭圆的对称轴是坐标轴，则该椭圆的方程为或.
故选：C.
3、B
【解析】直接利用两点间的坐标公式和直线的斜率的关系求出结果
【详解】解：直线过点且斜率为，与连接两点，的线段有公共点，
由图，可知，，
当时，直线与线段有交点
故选：B

4、D
【解析】依次确定选项中各个抛物线的焦点坐标即可.
【详解】对于A，的焦点坐标为，A错误；
对于B，的焦点坐标为，B错误；
对于C，焦点坐标为，C错误；
对于D，的焦点坐标为，D正确.
故选：D.
5、C
【解析】利用正弦定理可求得边的长.
【详解】由正弦定理得.
故选：C.
6、C
【解析】根据已知分析数列周期性，可得答案
【详解】解：∵数列满足，，
∴，，，，
故数列以4为周期呈现周期性变化，
由，
故，
故选C
【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档
7、D
【解析】设椭圆的左焦点为，由题可得，由点P到直线l的距离不小于可得，进而可求的范围，即可得出离心率范围.
【详解】设椭圆的左焦点为，P为短轴的上端点，连接，

如图所示：由椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，则，又，
∴四边形为平行四边形，∴，
又，解得：，
点P到直线l距离：，解得：，即，
∴，∴.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是由椭圆定义得出，再根据已知条件得出.
8、D
【解析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距，可得结果.
【详解】由得，所以，所以，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.
9、D
【解析】由，转化为，再由求解.
【详解】因为数列满足，
所以，即，
因为，
所以，
所以，
故选：D
10、D
【解析】由题意可得的根为，然后利用根与系数的关系列方程组可求得结果
【详解】因为关于的不等式的解集是，
所以方程的根为，
所以，得，
所以，
故选：D
11、C
【解析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S3即可.
【详解】由可得，即，所以，
又，解得，
所以，即，
当时，，所以，
当时，，所以，
故选：C
12、B
【解析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.
【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，
其表面积为：.

故选：B.
【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、2
【解析】利用向量平行的条件直接解出.
【详解】因为向量，且，
所以，解得：2
故答案为：2
14、##0.4
【解析】设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.
【详解】设，则，从而，解得：，所以
故答案为：
15、##
【解析】利用等比中项及条件可得，进而可得，再利用基本不等式即得.
【详解】∵，，都为正实数，，，成等比数列，
∴，又，
∴，即，
∴，
∴
，当且仅当，即取等号.
故答案为：.
16、 ①.； ②.
【解析】根据等差数列的定义，结合等差数列前项和公式、裂项相消法进行求解即可.
【详解】因为点在直线上，
所以，所以数列是以，公差为的等差数列，
所以；
因为，
所以，
于是，
故答案为：；

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）①；②
【解析】（1）利用等差数列的通项公式将展开化简，求得首项，可得；根据递推式，确定，再写出，两式相减可求得；
（2）①根据等差数列的性质，采用倒序相加法求得结果；②根据数列的通项的特征，采用错位相减法求和即可.
【小问1详解】
设数列{}的公差为d，则d=1，
由，
即，可得，
所以{}的通项公式为；
由可知：
当，得，
当时，，
两式相减得；，即，
所以{}是以为首项，为公比的等比数列，
故.
【小问2详解】
①，
两式相加，得
所以；
②，
，
两式相减得：
，
故.
18、（1）；（2）
【解析】（1）利用正弦定理化边为角可得，化简可得，结合，即得解；
（2）在中，由余弦定理得，可得，利用面积公式即得解
【详解】（1）中由正弦定理及条件，
可得，∵，，∴，
∵，∴，
或，
又∵，∴，∴，，∴
（2）为边的中点，，，得，

中，由余弦定理得
，
∴，
∴，∵，∴，

19、（1）
（2）或
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与所成角的余弦值.
（2）结合直线与平面所成的角，利用向量法列方程，化简求得的长.
【小问1详解】
依题意点在平面ABC上的射影为线段AC的中点D，
所以平面，，
由于，所以，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，
当是等边三角形时，，
.
设直线与所成角为，
则.
【小问2详解】
设，则，
，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
化简的，
解得或，
也即或.

20、（1），；（2）.
【解析】（1）当时，求出导函数，求出函数得单调区间，即可求出在区间上的最值；
（2）由，分离参数得，根据函数得单调性作图，结合图像即可得出答案.
【详解】解：（1）当时，，，
∴在单调递减，在单调递增，
，，
∴，
（2），则，
∴在单调递增，在单调递减，
，当时，，当时，，
作出函数和得图像，
∴由图象可得，.

21、（1）；
（2）存在，1； （3）证明见解析.
【解析】(1)根据几何关系即可求p；
(2)求解为定值1，即可求λ＝1；
(3)先求的面积，再由(为三角周长)可求内切圆半径r.
【小问1详解】
由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为
【小问2详解】
设直线的斜率为，直线方程为，记，
，消去，得
由，得且，，，
，
因此，即存在实数满足要求
【小问3详解】
由(2)知，，

点F到直线AB的距离，
∴的面积
记的内切圆半径为r，∵，
∴
∴内切圆的面积小于
22、（1）当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时；
（2）汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.
【解析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其对应的值，即可得出结论；
（2）解不等式即可得解.
【小问1详解】
解：，（千辆/小时），
当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时.
【小问2详解】
解：据题意有，即，即，
解得，
所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.