大学数学二向量空间.pptx
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1、1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念1.向量向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.AB向量AB的大小叫做向量的模.记为模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量,它的方向可以看作是任意的.特别3.自由向量自由向量自自由由向向量量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同,二、向量的加减法二、向量的加减法1.定义定义1.1.向量加法向量加法(1)平行四边形法则设有 (若起点不重
2、合,可平移至重合).作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,称为 的和,记作(2)三角形法则将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合,则由 的起点到 的终点所引的向量为2.向量加法的运算规律向量加法的运算规律.(1)交换律:(2)结合律:例如例如:3.向量减法向量减法.(1)负向量:与 模相同而方向相反的向量,称为 的负向量.记作(2)向量减法.规定:(a)平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,为 (b)三角形)三角形法则法则.将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为 三、数与向量的乘法三、数与向量的乘法1.定义定义1
3、.2:实数与向量 的 为一个向量.其中:当 0时,当 0时,当=0时,2.数与向量的乘积的运算规律数与向量的乘积的运算规律:(1)结合律:(2)分配律:(0)结论结论:设 表示与非零向量 同向的单位向量.则或定理定理1.1:两个非零向量 平行存在唯一实数,使得例例1.1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=试用 表示向量MA,MB,MC,和MD.其中,M是平行四边形对角线的交点.解:=AC=2MC有MC=又 =BD=2MD有MD=MB=MD MA=MC DABCM四四.向量在轴上的投影向量在轴上的投影1.点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点 A 及轴 u,过 A 作 u 轴的垂直平面,平面
4、 与 u 轴的交点A 叫做点 A 在轴 u 上的投影.AAu2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B.定义定义1.3:BBAAu向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A B 为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量,则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影,记作则向量 AB 的投影向量 AB 有:BBAAue3.两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量(起点同).规定:正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,记为 或(1)若 同向,则(2)若 反向,则(3)若 不平行,则4.向量的投影性质向量的投影性质.定理定理1.2.(投影定理)设
5、向量AB与轴u的夹角为则 ProjuAB=|AB|cos BBAAuB1定定理理1.3 两个向量的和在轴u上的投影等于两上向量在该轴上的投影的和。推论推论:BBAAuCC即即定定理理1.4:实数与向量 的乘积在轴u上的投影,等于乘以向量 在该轴上的投影。一、空间直角坐标系的建立一、空间直角坐标系的建立1.空间直角坐标系空间直角坐标系ozxyzxy x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descartes)坐标系,点O叫做坐标原点.o2 空空间间直直角角坐坐标标系系与与空空间间向向量量的的坐坐标表示标表示2.坐标面坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,
6、称为坐标面,分别叫x y面.y z面、z x面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0 xyVIIIIIIIII1.点在空间直角坐标系中的坐标表示点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP (x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz二、空间向量的表示二、空间向量的表示(1)若点M在yz面上,则 x=0;在zx面上,则 y=0;在xy面上,则 z=0.(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0在 y 轴上,则 x=z=0在 z 轴上,则 x=y=0特别特别:2.空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示(1).起点在原点的向量OM设点 M(x,y,z)以 i,j,k 分别表示沿 x,y,
7、z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zkx,y,z,分别是OM 在三坐标轴上的投影,称为OM 的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为 OM=(x,y,z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于:从而:(2.1)(2).起点不在原点O的任一向量 a=M1M2设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2 OM1=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k)=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k即 a=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)为向量a的
8、坐标表示式记 ax=x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2aoa=M1M2=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)(2.2)两点间距离公式:(2.3)由此得(3).运算性质设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且为常数 a b=(ax bx,ay by,az bz)a=(ax,ay,az)证明:a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k)=(ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k a+b=(ax
9、+bx,ay+by,az+bz)(4)两向量平行的充要条件.设非零向量 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),即ax=bx,ay=by,az=bz,于是注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.a/b(*)a/b a=b则(为常数)例如:(4,0,6)/(2,0,3)三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式.1.方方向向角角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.2.方向方向余弦余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos,称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax=|a|cos
10、 ay=|a|cos az=|a|cosayzx0设a=(ax,ay,az)又:(2.4)(2.5)由(2.5)式可得cos2+cos2+cos2=1(2.6)设ao是与a同向的单位向量ao=(cos,cos,cos)(2.7)例例2.1.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.解:M1 M2=(1,1,)|M1 M2|=例例2.2:在z轴上求与两点 A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解:设该点为M(0,0,z)由题设|MA|=|MB|.即:解得:所求点为 M(0,0,)例2.3:证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5
11、,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:由|M2 M3|=|M3 M1|,所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.3 向量空间向量空间一、一、n 维向量维向量定义定义3.1由n个数组成的有序数组(a1,a2,an)称为一个n维向量。=(a1,a2,an)其中第 i 个数 ai(i=1,2,n)称为 n 维向量 的第 i 个分量或坐标。零向量零向量 0=(0,0,0)负向量负向量 对 =(a1,a2,an)称 (a1,a2,an)为 的负向量。记为 。=(a1,a2,an)行向量行向量 =(a1,a2,an)列向量列向量规定:规定:两个向量 =(a1,a2,an),=(b 1,b 2,b
12、 n)相等,记 =ai=bi (i=1,2,n)二、二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算定义定义3.2设 =(a1,a2,an),=(b 1,b 2,b n)是数规定:规定:(1)加法:+=(a1+b1,a2+b2,an+bn)(2)数与向量的乘法:=(a1,a2,an)向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量的线性运算。2.向量的线性运算满足八条运算律向量的线性运算满足八条运算律(1)+(2)(+)+(+)(3)+0 (4)+()0设 、是 n 维向量,0 是 n 维零向量,k、l 是任意实数。(5)k(+)k +k (6)(k+l)=k +l(7)(k l)=k(l )(8)1 =
13、三、向量空间与子空间三、向量空间与子空间定义定义3.3设 V 是 n 维向量的集合,如果 V 对向量的两种运算封闭,即 V 满足:(1),V,有有 +V(2)V,k R,有有 k V则称 V 是一个向量空间。例如例如(3)V1=(0,a2,an)|ai R,i=2,3,n 是一个向量空间,且V1 Rn,称为 Rn 的一个子空间。(2)V=0,由于 0+0=0,k0=0,V=0 构成一个向量空间,称为零空间。(1)全体 n 维向量构成一个向量空间,称为 n 维向量空间:记作 Rn;定义定义3.4设V是一个向量空间,V1 V,若V1也是一个向量空间(即对向量的两种运算封闭),则称 V1 是 V 的
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