大学数学二向量空间.pptx

1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算一、向量概念一、向量概念1.向量向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.AB向量AB的大小叫做向量的模.记为模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量，它的方向可以看作是任意的.特别3.自由向量自由向量自自由由向向量量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同,二、向量的加减法二、向量的加减法1.定义定义1.1.向量加法向量加法(1)平行四边形法则设有 (若起点不重合,可平移至重合).作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,称为 的和,记作(2)三角形法则将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合,则由 的起点到 的终点所引的向量为2.向量加法的运算规律向量加法的运算规律.(1)交换律:(2)结合律:例如例如:3.向量减法向量减法.(1)负向量:与 模相同而方向相反的向量,称为 的负向量.记作(2)向量减法.规定:（a）平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,为 （b）三角形）三角形法则法则.将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为 三、数与向量的乘法三、数与向量的乘法1.定义定义1.2:实数与向量 的 为一个向量.其中:当 0时,当 0时,当=0时,2.数与向量的乘积的运算规律数与向量的乘积的运算规律:(1)结合律:(2)分配律:(0)结论结论:设 表示与非零向量 同向的单位向量.则或定理定理1.1:两个非零向量 平行存在唯一实数，使得例例1.1:在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=试用 表示向量MA,MB,MC,和MD.其中,M是平行四边形对角线的交点.解:=AC=2MC有MC=又 =BD=2MD有MD=MB=MD MA=MC DABCM四四.向量在轴上的投影向量在轴上的投影1.点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点 A 及轴 u,过 A 作 u 轴的垂直平面,平面 与 u 轴的交点A 叫做点 A 在轴 u 上的投影.AAu2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B.定义定义1.3:BBAAu向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A B 为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作则向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue3.两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量(起点同).规定：正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,记为 或(1)若 同向，则(2)若 反向，则(3)若 不平行，则4.向量的投影性质向量的投影性质.定理定理1.2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为则 ProjuAB=|AB|cos BBAAuB1定定理理1.3 两个向量的和在轴u上的投影等于两上向量在该轴上的投影的和。推论推论:BBAAuCC即即定定理理1.4:实数与向量 的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量 在该轴上的投影。一、空间直角坐标系的建立一、空间直角坐标系的建立1.空间直角坐标系空间直角坐标系ozxyzxy x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descartes)坐标系，点O叫做坐标原点.o2 空空间间直直角角坐坐标标系系与与空空间间向向量量的的坐坐标表示标表示2.坐标面坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫x y面.y z面、z x面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0 xyVIIIIIIIII1.点在空间直角坐标系中的坐标表示点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP (x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz二、空间向量的表示二、空间向量的表示(1)若点M在yz面上,则 x=0;在zx面上,则 y=0;在xy面上,则 z=0.(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0在 y 轴上,则 x=z=0在 z 轴上,则 x=y=0特别特别:2.空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示(1).起点在原点的向量OM设点 M(x,y,z)以 i,j,k 分别表示沿 x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zkx,y,z,分别是OM 在三坐标轴上的投影,称为OM 的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为 OM=(x,y,z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：从而：(2.1)(2).起点不在原点O的任一向量 a=M1M2设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2 OM1=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k)=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k即 a=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)为向量a的坐标表示式记 ax=x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2aoa=M1M2=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)(2.2)两点间距离公式：(2.3)由此得(3).运算性质设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且为常数 a b=(ax bx,ay by,az bz)a=(ax,ay,az)证明:a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k)=(ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)(4)两向量平行的充要条件.设非零向量 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),即ax=bx,ay=by,az=bz,于是注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.a/b(*)a/b a=b则(为常数)例如：(4,0,6)/(2,0,3)三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式.1.方方向向角角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.2.方向方向余弦余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos,称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax=|a|cos ay=|a|cos az=|a|cosayzx0设a=(ax,ay,az)又：(2.4)(2.5)由(2.5)式可得cos2+cos2+cos2=1(2.6)设ao是与a同向的单位向量ao=(cos,cos,cos)(2.7)例例2.1.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.解:M1 M2=(1,1,)|M1 M2|=例例2.2:在z轴上求与两点 A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解:设该点为M(0,0,z)由题设|MA|=|MB|.即:解得:所求点为 M(0,0,)例2.3:证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:由|M2 M3|=|M3 M1|,所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.3 向量空间向量空间一、一、n 维向量维向量定义定义3.1由n个数组成的有序数组(a1,a2,an)称为一个n维向量。=(a1,a2,an)其中第 i 个数 ai(i=1,2,n)称为 n 维向量 的第 i 个分量或坐标。零向量零向量 0=(0,0,0)负向量负向量 对 =(a1,a2,an)称 (a1,a2,an)为 的负向量。记为 。=(a1,a2,an)行向量行向量 =(a1,a2,an)列向量列向量规定：规定：两个向量 =(a1,a2,an),=(b 1,b 2,b n)相等，记 =ai=bi (i=1,2,n)二、二、n 维向量的线性运算维向量的线性运算定义定义3.2设 =(a1,a2,an)，=(b 1,b 2,b n)是数规定：规定：(1)加法：+=(a1+b1,a2+b2,an+bn)(2)数与向量的乘法：=(a1,a2,an)向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量的线性运算。2.向量的线性运算满足八条运算律向量的线性运算满足八条运算律(1)+(2)(+)+(+)(3)+0 (4)+()0设 、是 n 维向量，0 是 n 维零向量，k、l 是任意实数。(5)k(+)k +k (6)(k+l)=k +l(7)(k l)=k(l )(8)1 =三、向量空间与子空间三、向量空间与子空间定义定义3.3设 V 是 n 维向量的集合，如果 V 对向量的两种运算封闭，即 V 满足:(1),V，有有 +V(2)V，k R，有有 k V则称 V 是一个向量空间。例如例如(3)V1=(0,a2,an)|ai R,i=2,3,n 是一个向量空间，且V1 Rn，称为 Rn 的一个子空间。(2)V=0，由于 0+0=0，k0=0，V=0 构成一个向量空间，称为零空间。(1)全体 n 维向量构成一个向量空间，称为 n 维向量空间：记作 Rn;定义定义3.4设V是一个向量空间，V1 V，若V1也是一个向量空间(即对向量的两种运算封闭)，则称 V1 是 V 的一个子空间。注：注：一个向量空间 V 至少有两个子空间：V 及零子空间 0，称为平凡子空间。例例5.1：设证明：L 构成一个向量空间。证：,L，R L 是一个向量空间是一个向量空间注意：注意：称为由 1,2,m 生成的向量空间，记为 L(1,2,m)对于向量则1.2.对于mn矩阵A的列向量组 1,2,n Rm。称 L(1,2,n)为A的列空间，记为 N(A)。A的行向量组 1,2,m Rn，称 L(1,2,m)为 A 的行空间，记为 N(AT)。4 向量组的线性相关性向量组的线性相关性一、线性相关与线性无关的概念一、线性相关与线性无关的概念比较两组向量：比较两组向量：(1)1=(1,0,1),2=(0,3,4)考察k1 1+k2 2=(k1,3k2,k1+4k2)当k1 k2=0 时k1 1+k2 2=0(2)1=(1,0,1),2=(2,0,2)当k1 k2=0 时k1 1+k2 2=0当 k1=2,k2=1时k1 1+k2 2=0定义定义4.1设 1，2，m 是m个n维向量，若存在 m 个不全为0的数1，2，m，使得1 1+2 2+m m=0 (4.1)则称向量组 1，2，m 线性相关，否则，称它们线性无关。注：注：1，2，m 线性无关1 1+2 2+m m=01=2=m=0例例4.1：考察 n 维向量组 解：设有一组数1，2，n。使得1e1+2e2+nen=0即：(1,0,0)+(0,2,0)+(0,0,n)=(1，2，n)=0 1=2=n =0所以 e1，e2，en 线性无关称 e1，e2，en 为 n 维单位向量组e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),en=(0,0,1)的线性相关性。例例4.2 设 1=(1,1,1)，2=(1,2,3)，3=(1,3,6)讨论其线性相关性。解：1 1+2 2+3 3=0设有一组数 1，2，3 使即：(1+2+3,1+22+33,1+32+63)=(0,0,0)有:1+2+3=01+22+33=01+32+63=0因为系数行列式所以方程组只有唯一的一组零解，1=2=3=0，故 1,2,3 线性无关。例例4.3 讨论向量组 1=(1,1,1),2=(2,0,2),3=(2,1,0)的线性相关性。解：设有一组数1，2，3,使1 1+2 2+3 3=0即(1+22+23,13,122)=(0,0,0)有1+22+23=01 3 =0 1 22 =0解得：3 =1取 1=2,得非零解 1=2，2=1,3 =2所以，向量组 1,2,3 线性相关。定义定义4.2对于 m+1 个 n 维向量 1，2，m 和，若存在m个数1，2，m，使得：=1 1+2 2+m m或称是 1，2，m 的线性组合，1，2，m 称为组合系数。则称向量 能用向量组 1，2，m线性表示，例例如如：Rn 中的任一个向量 =(x1,x2,xn)都是单位向量组的一个线性组合。=x1e1+x2e2+xnen定理定理4.1向量组 1，2，m (m 2)线性相关该向量组中至少有一个向量是其余 m1个向量的线性组合。证：必要性设 1，2，m 线性相关，则存在一组不全为零的数1，2，m，使得1 1+2 2+m m=0不妨设 m 0，则即：m是 1，2，m1的线性组合。充分性：设 m 是其余向量的线性组合，即存在数1，2，m1，使得 m=1 1+2 2+m1 m1有1 1+2 2+m1 m1+(1)m 0 1，2，m线性相关故推论：推论：两个非零向量 1，2 线性相关 定理定理4.2：若m个向量 1，2，m 中有一部分向量线性相关，则这m个向量也线性相关。即 1，2 对应坐标成比例 1=k 2，(其中 k 0)(部分相关 整体相关)证：不妨设前 r 个向量 1，2，r 线性相关，即存在不全为0的数 1，2，r，使得1 1+2 2+r r=0也有1 1+2 2+r r+0 r+1+0 m=01，2，r,0,0 不全为0故 1，2，m 线性相关推论推论1：包含零向量的向量组一定线性相关推论推论2：若m个向量 1，2，m 线性无关，则其中任一部分也线性无关。(整体无关 部分无关)二、向量组线性相关性的矩阵判定法二、向量组线性相关性的矩阵判定法则称：为由向量组 1，2，m 构成的矩阵定义定义4.3 2=(a21 a22 a2n),m=(am1 am2 amn)设有 m 个 n 维向量 1=(a11 a12 a1n),A定理定理4.3设有m个n维向量 1=(a11 a12 a1n),2=(a21 a22 a2n),m=(am1 am2 amn)则 1，2，m 线性相关 r(A)n，则m个n维向量必线性相关。(因为 r(A)min(m,n)=n m)推论推论3：n个n维向量 1，2，n 线性相关n个n维向量 1，2，n 线性无关m个n维向量 1，2，m线性无关r(A)=m|A|=0，即A降秩|A|0，即A满秩例例4.4 判定下列向量组是否线性相关(1)1=(1,2,1 ),2=(2,1,1),3=(7,4,0)解：由于而|A|=5 0所以 1,2,3 线性无关(2)1=(1,3,7 ),2=(2,0,6),3=(3,1,1)，4=(2,4,5)解：由于向量组的个数大于向量的维数，所以 1,2,3,4 线性相关。解：r1 r2(3)1=(2,1,7,3 ),2=(1,4,11,2),3=(3,6,3,8)r2 2r1r3 3r1r3 2r2r(A)=2 3所以 1,2,3 线性相关三、向量组的最大无关组三、向量组的最大无关组定义定义4.4设 1，2，r是某向量组 T 中的r个向量，若(1)1，2，r 线性无关；线性无关；(2)任取任取 T，总有总有 1,2,r,线性相关线性相关则称 1,2,r 为向量组 T 的一个最大线性无关组。简称最大无关组。例如：例如：对于向量组 T：1=(1,2,1),2=(2,3,1),3=(4,1,1)1,2 为 T 的一个最大无关组;2,3;1,2,3线性相关，因为 2 1+2 3=0 1,3 也是 T 的最大无关组。定定理理4.4 一个向量组的所有最大无关组含有的向量个数都相等。定义定义4.5向量组 T 的最大无关组所含向量的个数r称为向量组 T 的秩。设 1,2,r 为向量组T一个最大无关组，则任取 T，能用 1,2,r 线性表示。证：任取 T，由 1,2,r 是T的最大无关组，则 1，2，r、线性相关。存在不全为0的一组数1，2，r、使得：1 1+2 2+r r+=0则 0定理定理4.5事实上：若 =0有不全为0的1，2，r 使1 1+2 2+r r =0 成立 1，2，r 线性相关，矛盾所以即 能用 1，2，r 线性表示。定义定义4.6将每一行看成一个向量 i=(ai1 ai2 ain)(i=1,2,m)称为 A 的行向量，行向量组的秩称为A的行秩。对于矩阵将A的每一列也可看成一个向量(j=1,2,n)称为 A 的列向量，列向量组的秩称为A的列秩定理定理4.6 设 A 是 mn 矩阵r(A)=r A的行秩(或列秩)为r5 向量空间的基与向量的坐标向量空间的基与向量的坐标一、向量空间的基与维数一、向量空间的基与维数定义定义5.1且满足：(1)1,2,r 线性无关；线性无关；(2)V 中任一向量都可以由中任一向量都可以由 1,2,r 线性表示；线性表示；则称 1,2,r 为V的一组基底基底，简称基基，r 为V的维数维数，并称 V 为 r 维向量空间维向量空间。设V为向量空间，若存在 1,2,r V.注注1：若若将将向向量量空空间间V看看成成向向量量组组，其其基基底底就就是是其最大无关组，其维数就是其秩。其最大无关组，其维数就是其秩。注注2：零空间零空间 0 没有基，规定其维数为没有基，规定其维数为0。例如：例如：对于Rn(1)基本单位向量组e1,e2,en 是一组基，称为标准基标准基。(2)1=(1,0,0,0),2=(1,1,0,0),，n=(1,1,1)也是基。二、向量在给定基下的坐标二、向量在给定基下的坐标定义定义5.2设 1,2,n 是向量空间 V 的一组基，任取 V,都有 =x1 1+x2 2+xn n且组合系数 x1,x2,xn 唯一，称为向量 在基 1,2,n 下的坐标，记为(x1,x2,xn)例如：例如：在 R3 中，=(2,3,1)=2e13e2+1e3=2 i 3 j +1k 三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换1.设设n维向量空间维向量空间 V 有两组不同的基，分别为：有两组不同的基，分别为：1,2 ,n ,1,2,n ,则则 1=c11 1+c21 2+cn1 n 2=c12 1+c22 2+cn2 n n=c1n 1+c2n 2+cnn n(5.1)(5.1)利用矩阵形式可表为：(1,2,n)记称为由基 1,2,n到基 1,2,n的过渡矩阵，称(5.1)式或(5.2)式为基变换公式。=(1,2,n)(5.2)(5.2)2.设设 V，在基在基 1,2,n下的坐标为下的坐标为(x1,x2,xn)在基在基 1,2,n下的坐标为下的坐标为(y1,y2,yn)=x1 1+x2 2+xn n(5.3)(5.3)=y1 1+y2 2+yn n(5.4)(5.4)C由于 在基 1,2,n下的坐标唯一：公式(5.5)或(5.6)称为坐标变换公式所以(5.5)(5.5)或(5.6)(5.6)例例5.1 求Rn中向量 =(x1,x2,xn)在基 1=(1,0,0,0),2=(1,1,0,0),，n=(1,1,1,1)下的坐标。设 在 1,2,n 下的坐标为 y1,y2,yn解：(1,2,n)0过渡矩阵0有而00则 在基 1,2,n下的坐标为例例5.2 在平面直角坐标系xoy里，i和j为互相垂直的单位向量，它们构成R2的一个基；现将x轴和y轴绕原点 O 逆时针旋转角，令相应的单位向量为1、2，则1、2也是R2的一组基，换基公式：1=cos i +sin j2=sin i +cos j R2，若 在基 i,j 下的坐标为(x,y)，求 在基 1、2下的坐标(x,y)yxyj12oix解：过渡矩阵1=cos i +sin j2=sin i +cos j求出即x=x cos +y sin y=x sin +y cos 旋转坐标轴的坐标变换公式谢谢观看！谢谢观看！