高考数学大一轮总复习 课件 高考专题突破6套.pdf
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1、高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作第三章 一元函数的导数及其应用高考专题突破(一)高考中的导数综合问题 第一课时导数与不等式难点一不等式的证明SS角度1:差值函数法【例1】(2022赣州模拟)已知函数加)=1等,如)=生+:法,若曲线 尸危)Ji C Ji与曲线y=g(x)的一个公共点是且在点A处的切线互相垂直.(1)求,b的值;2(2)证明:当x三1时,“x)+g(x)三;.Ji【思路探索】(1)利用导数的几何意义求解.2(2)构造差函数/z(x)=+g(x)-,利用导数研究力的单调性,由单调性定义及 JiG1,得加力三(1)=0即可.Inx【解】因为於)=1下,J
2、i一.,lnx-1,所以/f(1)=-1.人一、.(2C.1 LL r、r,1因为&(工)=下+1公,所以g(x)=一百了一 C X C 九因为曲线y=/(x)与曲线y=g(x)的一个公共点是A(l,l),且在点A处的切线互相垂直,所以 g(l)=l,且/(D g (D=一L从而 g(l)=a+lb=L 且 g (1)=一8一1=1.解得“=b=-1.e 1(2)证明:由(1)知,g(x)=一?+;+工,C 42 In y p 1则於)+g a)2(0i一丁一段一1+xN。.九 九 C 九nx e 1令力(x)=l一三一一(+x(xNl),Iilx e 则/z(l)=O,h(x)=-+-e+1
3、In V p因为所以今任)=下+京+i o,Ji C号+LJv c所以/z(X)在1,+8)上单调递增,所以/z(x)2/z(l)=0,即 1?一:一:Ji C2故当1三1时,火x)+g(x)三/x三0.【反思感悟】运用差值函数法证明形如A(x)5(x)的不等式的4个关键点(1)构造新函数/z(x)=A(x)5(%).(2)求(x)=A,(x)B(x).(3)研究函数以工)的单调性、极值、图象等(无法进行时,继续求导,研究(X)的单 调性、极值、图象等,仍然无法进行时,继续求导研究).(4)通过研究导数的性质,获得丸(工)的性质,进而实现证明不等式A(x)3(x)的目标.x角度2:隔离分析最值
4、法【例2】已知函数/(x)=xlnxax.(1)当。=1时,求函数x)在(0,+8)上的最值;1 2(2)证明:对一切不(0,+),都有lnx+ly不成立.e c%【思路探索】(1)要求开区间(0,+8)上的最值,想到求犬X)的极值.(2)要证明的不等式中同时含有对数函数和指数函数,想到分离Inx和,两侧分别构 造函数求解.【解】(1)函数加)=xlnxqx的定义域为(0,+).当=一1 时,f x)=xlwc+x,f(x)=lnx+2.由/(x)=0,得 x=J.c当 0,,时,f(x)0.e所以)在10,2上单调递减,在J,+8上单调递增.1(11 1因此火X)在X=处取得最小值,即火X)
5、min=/=一却 但火X)在(。,+8)上无最大值.1 2 Y 2(2)证明:当x。时,lnx+l一面等价于x(lnx+l)FT e c%e c1 1由(1)知=一1时,“x)=xlnx+x的最小值是一?,当且仅当时取等号.C Cx 2设 G(x)=n或,xe(O,+).e cx 贝UG,(%)=尸,易知 G(X)max=G(l)=最,当且仅当X=1时取到,从而可知对一切x(0,+8),1 2都有/x)G(x),即 lnx+1+T72 7.e c%【反思感悟】一般地,要证明力(工)=4工)_4a)三0,当研究/?(%)的单调性很困难时,可以将不等式“一分为二”成两个函数4%),B(x),考虑证
6、人而n2 5(X)max是一种有效途径,这种方法 被称为隔离分析最值法.:角度3:放缩法2【例3】已知函数式x)=ln(x1)+=,其中为正实数.证明:当x 2时,玲)0;当 x(l,+8)时,“(%)2 时,ln(x1)0,t zln(x 1)(%2).要证/(x)0对于任意的x 2恒成立.%12令/?(%)=exx 7,x 2,x-l2贝lj/z(x)=e-2只需证 a(x2)+_ 1)%2a,因为x 2,所以。)0恒成立,所以力0)在(2,+8)上单调递增,所以 h(x)h(2)=e240,所以当 x 2 时,1)x2a.【反思感悟】导数方法证明不等式中,最常见的是e和lux与其他代数式
7、结合的问题,对于这类问 题,可以考虑先对e和Inx进行放缩,使问题简化,简化后再构建函数进行证明.常见的 放缩公式如下:(l)exl+x,当且仅当x=0时取等号.(2)1ilxx-1,当且仅当=1时取等号.变式训练1.(角度1,角度2)(2021.全国乙卷)设函数x)=ln(ax),已知x=0是函数了=求工)的极值点.求。;(2)设函数冢兀)=,证明:g(x)l.A/W【解】(1)由题意得 y=M=xln(一x),工(一8,),xy/=ln(ax)+x-(l)=ln(ax)_,(_ 00?q),ct x a x,.*%=0是函数丁=犹%)的极值点,ln(a0)7:=0,可得 a=l.a 0当。
8、=1 时,y=ln(lx)jTZ p xe(oo,1),JQ令(x)=ln(l-X)一二7,/1 1 x2则(的=口心孑=正仔,易知当工(8,1)时,p(x)0;当工(0,1)时,.(x)0,.函数y=M(x)=xln(lx)在(一8,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数.当=1时,x=0是函数丫=动力的极大值点.*.a=l.(2)证明:由知 4=1,A=ln(l-X),%(一叼 1),当(0,1)时,x)=ln(lx)0,就x)0,,xf(x)0,要证g(x)=状X)x/(x).只需证 x+ln(l%)xln(l x),只需证 x+(l x)ln(l x)0,令/z(x)=x+(lx)ln
9、(lx)f x(8,1),则/?(x)=lln(lx)1=ln(lx),当 x(O,l)时,h(x)0,/z(x)单调递增,当 x(8,0)时,h(x)/z(0)=0,x+(lx)ln(lx)0 在(-8,0)U(0,l)上恒成立.g(x)l.2.(角度3)(2022哈尔滨八校联考)设机R,函数於)=。2-ln(2 x一机).设x=0是八x)的极值点,求实数机的值,并讨论於)的单调性.(2)当mN2时,证明:人工)0.2 9【解】(1)因为/(x)=2 e2 xf(0)=0,即 2一,=0,所以m=1,(2.e./(x)=e2 xln(2 x+1),%一.+0,(x)=2 e2 xo !=0,
10、解得 x=0,当 x I/J 十 1()1)e 5,。时,f(x)o,止匕时,火的在一石,0上单调递减,在(0,+8)上单调递增,所以x=o是1X)的极小值点,满足题意.(2)证明:因为1(当且仅当x=0时等号成立),一ln(2 x相)三一(2xm)+1(当 且仅当2xm=l时等号成立),所以 e?ln(2 xm)2%+1(2%m)+1=2+m,当且仅当 x=0 且 2 xm 1,即 x=0且m=1时等号成立.因为机三一2,当根W 1 时,e2 xln(2 xm)2+m0(2%m 0);当m=1 时,e2 x-ln(2 x+l)2+m=l 0(2 x+1 0).故当相一2 时,人x)0 恒成立
11、.难点二不等式恒(能)成立问题角度1:单变量不等式恒(能)成立问题1 I Injr【例4】已知函数八x)=二x(n若函数次X)在区间。,上存在极值,求正实数,的取值范围;(2)如果当无三1时,不等式外)三士恒成立,求实数左的取值范围.4I L(n【思路探索】(1)求出加0的极值点均,则司,十5,同时 0.分离参数匕再转化为函数的最值求解.【解】(1)函数的定义域为(0,+8),八1 1一1一1nx Inx 人,口/(%)=?=一/,令/(欠)=。,得尸1.当x(0,D时,/0,危)单调递增;当 日1,+8)时,/(龙)0,於)单调递减.所以x=l为函数次x)的极大值点,且是唯一极值点,所以 0
12、a la+9 故;0,所以g(x)为单调增函数,所以g(x)2 g(l)=2,故左W2,即实数上的取值范围是(一8,2,k【变条件】本例中若改为:三工1,e,使不等式五的三不成立,求实数上的/V I-L取值范围.【解】当XR1,e时,左w+D+l-)有解,人(x+1)(1+lnx)令 g a)=i32a口,e),由本例解题知,g(x)为单调增函数,2所以 g Q)max=g(e)=2+:C/2(2所以上W2+不即实数上的取值范围是一8,2+-【反思感悟】(1)不等式恒成立问题的求解策略分离参数法i.分离变量.构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.ii 芸/0)恒成立=。芸/(X)max.a
13、恒成立台。(/(好而小a三兀r)能成立4/0)min.a勺能成立0。Wr)max.如果无法分离参数或分离参数后函数太复杂时,可以考虑对参数或自变量进行分类 讨论求解,如果是二次不等式恒成立的问题,可以考虑二次项系数与判别式的方法(。0,/0 或 0,/0)求解.(2)不等式存在性问题的求解策略“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即对于恒成立,应求外)的最小值;若存在使得加02 g(Q)成立,应求7U)的最大值.特别需要关注 等号是否成立,以免细节出错.:角度2:双变量不等式恒(能)成立问题【例 5】设y(x)=+xlnjr,g(x)=x3x3.X如果存在为,历。,2,使得g S)g
14、(%2)NM成立,求满足上述条件的最大整数(2)如果对于任意的s,r21-2,-,都有八s)2 g成立,求实数。的取值范围.【思路探索】(1)问题等价于g(%l)g(X2)max.(2)分别将两个变量的恒(能)成立问题转化为最值问题,原问题等价于加0ming OOmax.【解】存在修,%2 e 0,2,使得g(Xi)g(%2)NM成立,等价于这(月)一g(X2)maxNM成立.g(x)=3%22x=x(3x2),2令,(x)=0,得 1=0或1=,852 7又 g(0)=3,g(2)=l,当工0,2 时,g(%)max=g(2)=l,_ g OOmin g、385=一药 一(85)112加、1
15、1一司=亓,满足条件的最大整数M为4.(2)对任意的s,旧去2有危)2 g,贝 U min 三 g(%)max 由知当 2 时,g(X)max=g(2)=l,21-2,e 当时,火x)=9+xlnx三1恒成立,即三xf1nx恒成立.xh(x)=xx2lnx,2,/.h(x)=1 2 xlnx-x,令(x)=1 2 xlnxXi cp(x)=32 1nx z 时1-T-当 1,2时,hf(x)W0,力在)在/i上单调递增,在口,2上单调递减,乙/z(x)max=/z(l)=l,故。三1.J实数的取值范围是1,+8).【反思感悟】“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含条件,
16、进行等价 变换,常见的等价转换有:(l)Vxp X?GD,火Xl)g(X2)Q/U)min g(X)max-(2)X/修 M。2,1)g(刀2)/(工)111111冢工)向11.(3)三不。1,初。2,犬Xl)g(X2)Q/U)max g(X)max.变式训练3.(角度1)(2020全国卷I)已知函数人%)=/+依2%当=1时,讨论加元)的单调性;1(2)当工三0时,火工)三/3+1,求的取值范围.【解】(1)当=1 时,fix)=+xxj f(x)=ex+2 x1.故当 x(8,0)时,f(x)0.所以“x)在(-8,0)单调递减,在(0,+8)单调递增.(2)解法6zx2+x+1 e Wl
17、.J(设函数ax2+x+1 e(x三0),J则 g (x)1 2 3、2 a x+x+l+2qx1 e-%xx2(2+3)x+4+2 e-1 一一/(工2a1)(%2)e.1若2q+1W0,即5,则当x(0,2)时,g (x)0.所以g(x)在(0,2)单调递增,而 乙g(0)=l,故当 x(o,2)时,g(x)l,不合题意.若 02 a+l2,即一;,则当 x(0,2 a+l)U(2,+8)时,/(%)0.所以 g(x)在(0,2q+1),(2,+8)单调递减,在(2+1,2)单调递增.由7e2 7 e2 1于g(O)=l,所以g(x)Wl当且仅当g(2)=(74)。2W1,即三.所以当a
18、时,g(x)Wl.(1 A若2+122,即则g(x)W 旷+1+1 e.,7 一 e2 1由于。7,5,_ 4 乙)故由可得.3+x+1 J”W 1.g(z时1-2 当 故7-e2)综上,的取值范围是T,+8;1 1解法二:由“X)+1得,e+af1三/3+1,其中 乙 乙当工=0时,不等式为121,显然成立,符合题意;当Q 0时,分离参数Q得,ex-%1心 2,ex%3X1记 g(x)=一 0,/V(1 1(x2)ex x2x 1则g,J-0,g(x)单调递增;当x(2,+8)时,g(x)0,g(x)单调递减,7e2因止匕,g(x)max=g(2)=一,r7-e2)综上可得,的取值范围是n,
19、+-.4.(角度2)已知函数兀r)=lnx+J1.Ji(1)求函数於)的单调区间;(2)设机RR,对任意的(1,1),总存在的1,e,使得不等式机“一/(司)o.令r a)o,得61,因此函数人无)的单调递增区间是(1,+8).令尸a)o,得oxi,因此函数加o的单调递减区间是(0).(2)依题意,机”/(X)max.由知,於)在日1,e上是增函数.所以 r)max=/e)=lne+1-l=1.C C/1 1所以ma-,即ma 二2.1 1 X【证明】於)=皿:一2+1,x 0,f(x)=一一、易知函数人工)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,且力30,八2)0,故函数加)的两个
20、零点修,冗2(不妨设巧42)满足0Xi1X22.证法一:令 F(x)=x)f(2x),0 x0在(0,1)上恒成立,所以尸(x)在(0,1)上单调递增,/(x)1,2修1,x)在(1,+8)上单调递减,所以m2一修,即修+乃2.证法二:记/?(%)=/(1+%)/(1工),0 x 0,所以函数/?(x)在区间(0,1)上单调递增,所以/z(x)0,即火1+x)/(I%)0,故式1+x)次 1 X).而 0%11%22,0%211,所以 02必2%2,即为+必2.拓展探究对称变化主要用来解决与两个极值点之和或差相关的不等式的证明问 题,解题要点如下:(1)定极值点:即利用导函数求出函数的极值点的
21、.(2)对称构造:即根据极值点司构造对称函数尸a)=/o+x)八加一x)或F(x)=f(x)f(2xQx).(3)比较大小:即利用导数讨论函数F(x)的单调性,判断其符号,进而得到式的+x)与 凡打一x)或者/(%)与12%()x)的大小关系.(4)转化所证:即根据函数兀r)的单调性,将兀r o+x)与八司一x)或者火x)与火2的一x)的大 小关系转化为两个极值点之间的大小关系,进而得到所证或所求.=:技法2:比(差)值换元消参【例2】已知函数x)=我一.求函数x)的单调区间;(2)若修三工2且汽修)=於2),求证:Xi+x22.【角星】(l)f(1)=。一%(1x),令 f(x)0 得 xl
22、;令 f(x)1,则 F(x)=f(x)-f(2x)=e X(1x)+ex-2(x_ l)=(x l)(ex 2-e,当 x l 时,xl 0,ex-2e x 0,:.F(x)0,方(%)在(1,+8)上单调递增,.F(x)F(l)=O,故当尤 1 时,/(2-x),(*)由/(工1)=/(冗2),XiWq,可设 的112,将初代入(*)式可得/te)次2初),又火工1)=人元2),式修)次2 一工2)又为1,2%22%2,X1+122.证法二(比值代换法):设。修142,火苞)=火工2)即e苞=%2。一必,取对数得 Inxi-Xi=lwc2x2.令r=邃1,则X2=tXi,代入上式得111%
23、1修=1皿+111%1 比1,得看=XInttint二T,2=P+1)1皿 21)二 X+q=1 2 OlnZ匚10,t1 t+1、几 2。-1)设g=1皿一.+(61),./1_2+1)2(1)(If g一厂 0+1)2 9+1产6 当1时,g单调递增,gg(l)=O,.A nt0,故 修+%22.L I 1拓展探究比(差)值换元的目的也是消参,就是先根据已知条件建立极值点之间的 关系,然后利用两个极值点之比(或差)作为变量,从而实现消参、减元的目的.设法用两 个极值点的比值或差值表示所求解的不等式,进而转化为相应的函数问题求解,多用来研 究含对数(或指数)式的函数的极值点偏移问题.其基本解
24、题步骤如下:(1)建等式,即利用极值点所满足的条件建立两个关于极值点修,初的方程.(2)设比差,即根据两个数值之间的大小关系,选取两数之商或差作为变量,建立两个 极值点之间的关系.(3)定关系,即用一个极值点与比值或差值表示另一个极值点,代入方程整理,通过两 个方程之差或商构造极值点与比值或差值之间的关系,进而通过解方程用比值或差值表示 两个极值点.(4)构函数,即将关于极值点的目标代数式用比值或差值表示出来,构造相应的函数.(5)解问题,即利用导数研究所构造的函数的单调性、极值、最值等,解决相应的问题.高三大一轮总复习精准备考方案数学新教材版高考命题专家倾情巨作 第三章 一元函数的导数及其应
25、用 高考专题突破(一)高考中的导数综合问题第二课时导数与国数的零点难点一 判断、证明或讨论函数零点个数【例1】(2021.四川天府名校5月诊断)已知函数次工)=犹+优求函数人x)的单调区间和极值;(2)画出函数1x)的大致图象,并说明理由;(3)求函数g(x)=x)R)的零点的个数.【思路探索】(1)求/(%),令/(x)=0,列表求单调区间和极值.(2)由(1)的结论及函数人x)的正负、图象走势画图.(3)将g(x)的零点问题转化为y=/(x)与y=a两个函数图象的交点个数问题,数形结合分析.【解】易知函数火X)的定义域为R,/任)=。+1)/+3=(工+2贮,令f(x)=0,解得x=-2.
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