云南省2010届高考数学热点:数列和解析几何.doc
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1、高考数列考查趋势及重点热点问题一、考查方式及走向按新课程标准命制的海南、宁夏卷08(一小一大)年考了一个纯等差数列的大题,07(两小)、09(两小)年没有数列大题二、考试要求与知识要点1、常见递推数列的类型和解法:(累加法); (连乘法); (倒数法);(待定系数法);(除法除、待定系数法)等。,待定系数法,转化为等比数列求解。5、已知和的关系,求或,常用作差法,转化的思想。三、近几年考题分析例1、(2009年全国卷即云南卷、理19)设数列的前项和为 已知(I)设,证明数列是等比数列 (II)求数列的通项公式。 ()例2、(2009年全国卷、理20)在数列中, .设,求数列的通项公式; ()求
2、数列的前项和 ()例3、(2008年全国卷即云南卷、理20)设数列的前n项和为.已知,.()设,求数列的通项公式;()若求a的取值范围。 分析:(1) (2) 注:注意分析已知求的三条思路。待定系数法,转化法的应用。恒成立问题的解法。例4、(2008年全国卷、文22)在数列中,()设证明:数列是等差数列;()求数列的前n项和.分析:(1) (2)由错项相减法得例5、(2007年全国卷即云南卷、理21)设数列的首项()求数列的通项公式;()设证明:,其中n为正整数。 分析:(1) 例6、(2007年全国卷、理22)已知数列中()求数列的通项公式;()若数列中,证明:分析:(1) 例7、(2006
3、年全国卷即云南卷、理22) 设数列的前n项和为,且方程有一根为()求;()求的通项公式; 分析:(1);。(2)猜想:由已知得,然后用数学归纳法证明。例8、(2006年全国卷、理22) 设数列的前n项和()求首项与通项;()设证明:分析:(1)由已知得,。(2) 四、数列中的常见问题4.1、数列的概念(及其关系)例9、已知数列的前n项和满足,则数列的通项公式是 。答:例10、已知数列中,则数列是 (A)(A)单调递增数列 (B)单调递减数列 (C)摆动数列 (D)先递增后递减数列4.2、等差、等比数列的概念与性质例11、记等差数列的前n项和为,若,则该数列的公差d=(C) (A)7 (B)6
4、(C)3 (D)2例12、已知数列对任意的满足,那么等于(C) (A)-165 (B)-33 (C)-30 (D)-21例13、设是公比为正数的等比数列,若,则数列前7项的和为(C) (A)63 (B)64 (C)127 (D)128例14、已知等比数列中,则前3项的和的取值范围是(D)(A) (B) (C) (D)例15、(08海南、宁夏17)已知是一个等差数列,且(1)求的通项;()(2)求前n项和的最大值。(的最大值是4)4.3、递推数列例16、在数列中,(A) (A) (B) (C) (D)例17、设数列满足; (1)求数列的通项公式; () 特征根法 例18、已知数列中,(1)证明:
5、数列是等比数列; (2)求数列的前n项和分析:(1) (2) 例19、设数列的前n项和(1)求; (2)证明:是等比数列; (3)求的通项公式。 答:例20、在数列中,.(1)、证明数列是等比数列;(2)、求数列的前n项和;(3)、证明不等式,对任意.皆成立。答:,作差比较法。例21、已知,点在函数的图象上,其中(1)、证明数列是等比数列;(2)、设,求及数列的通项。答:,例22、数列的前n项和为,(1)、求数列的通项;(2)、求数列的前n项和.答: 4.4、数列的极限与数学归纳法 例23、已知数列中, 。 答: 例24、在数列中,且成等差数列,成等比数列(1)求,由此猜想的通项公式,并证明你
6、的结论。 答:;数学归纳法证明。例25、在数列中,数列的前n项和满足,为与的等比中项,.(1)、求的值;(2)、求数列的通项公式。 答:4.5、数列与函数、不等式的综合问题例26、已知是由正数组成的数列,且点在函数的图象上。(1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求证:(,作差比较法)五、展望未来高考,数列试题仍会稳定趋易,可化为等差、等比的递推数列是热点,且转化为等差、等比的过程一般都有提示。明年的高考复习关注一下形如(分式型)、的递推数列(例17-例20),数列与数学归纳法的综合,归纳、猜想、证明的思想方法以及合情推理。高考解析几何考查趋势及重点热点问题 云南省 祥云一中 董正洪 邮编
7、(672100)一、考查方式 解析几何的基本思想是借助坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,用代数的方法研究几何问题。一般情况下,解析几何在高考中以三小一大的形式出现;小题常考直线和圆,圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等;大题考查直线与圆锥曲线的位置关系,用设而不求的思想,借助韦达定理、弦长公式,采用方程的手段、以平面向量、不等式特别是均值不等式为工具来解决问题,计算量大、综合性强,需较强的代数式化简能力。解析几何的学科特征是“算”,特别重视算理和算法,解题时首先将几何条件转化为代数语言,从而把问题转化为方程或函数问题。二、知识要点1、掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的
8、参数方程。2、掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质。了解椭圆的参数方程,了解圆锥曲线的初步应用。3、轨迹问题。4、几何问题代数化的思想,曲线与方程的思想,数形结合的思想。5、韦达定理、弦长公式。6、平面向量、均值不等式。三、圆锥曲线内接四边形面积的最值问题不知为什么?近几年高考反复考查圆锥曲线内接四边形面积的最值问题。例1、(2009年全国卷、理16)已知、为圆O:的两条相互垂直的弦,垂足为,则四边形的面积的最大值为 。1、合情推理、大胆猜测由已知可得四边形ABCD的面积。由均值不等式启发,猜想当和一个最大,一个最小或两者相等时有最值。过圆内一点最大的弦为直径,最小的为垂直
9、于直径的弦,易求得为2,所以S=4;当和相等时,由于AC与垂直,为的平分线,可求得点到的距离为,得,同理,所以。有理由大胆猜测结果是,的最大值为,最小值为。2、综合推理、实证结果分析:可利用韦达定理、弦长公式,转化为函数的最值问题,但由于点的位置不特殊,计算量太大,不易算不下,特别是最小值,很难求出来(不妨自己尝试一下)。又由于 ,故可采用转换命题法,把M点的坐标换为,四边形ABCD的面积也不变。设四边形的面积为,则。()、当和的斜率一者为,另一者不存在时,可求得,。()、当的斜率存在且不为时,设其斜率为。则由弦长公式得 同理可得即当且仅当时,有最大值综上所述得 ,四边形PMQN的面积S的最小
10、值为4,最大值为5。若只求最大值,也可采用下面的方法:当且仅当,即时,有最大值。3、题源探究、寻根找法高考试题具有很强的连续性,命题人员经常改编以往的考题作为新的考题,已出现过很多次了。由于圆可看作椭圆的特例,例1实际上是下面例2特殊化的结果。例2、(05年全国卷21题) P、M、Q、N、四点都在椭圆上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,已知与共线,与共线,且,求四边形PMQN的面积的最小值和最大值。分析:由得,所以四边形PMQN的面积;(1)当PQ、MN中有一者斜率为0。另一者的斜率不存在时,有 =(2)当PQ的斜率存在且不为0时,设其斜率为k,则有=当且仅当,即时,取等号,。综上所述得 ,四边
11、形PMQN的面积S的最小值为,最大值为2。若只求最小值,还有下面的解法:=当且仅当,即时,取等号,S有最小值注:此题可推广到一般,请自己尝试得出一般性结论,结论是什么呢?把例1和例2对照一下,可看到其解法都是以均值不等式为工具,借助韦达定理、弦长公式。内接四边形的共同特征均是对角线互相垂直,面积均是对角线积的一半。例1中S取得最大值时,对角线相等;S取得最小值时,对角线一个最大为直径4,一个最小为2。例2恰好相反,S取得最大值2时,对角线一个最大为长轴,一个最小为;S取得最小值时,对角线相等。4、借助结论、另觅它法定理:过半径为r,圆心为O的圆内一点M作两条互相垂直的弦AC、BD,则两弦长的平
12、方和为定值。且( 唐秀颖主编数学题解辞典(平面解析几何)315页第512题)分析:实证结果中的解法提供了此定理的一种解析证明,可设圆O的方程为,点M的坐标为,借助韦达定理、弦长公式证之。平面几何证法:作图,由弦长、矩形、勾股定理知:这一定理既是例1的题源之一,又提供了此题的一种解法。分析、设四边形的面积为,则。利用以上结论得当且仅当时,四边形ABCD的面积S有最大值5。例3、(2009年全国卷、理21) 如图,已知抛物线与圆相交于、四个点。(I)求得取值范围;(II)当四边形的面积最大时,求对角线、的交点坐标分析:(I)将抛物线与圆的方程联立,消去,整理得()抛物线与圆相交于、四个点的充要条件
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