1-第一章-误差.pptx
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1、1第一章第一章 误差误差第一章第一章 误差误差一一.误差的来源误差的来源:1.1.模型误差模型误差2.2.观测误差观测误差3.3.截断误差截断误差4.4.舍入误差舍入误差二二.绝对误差绝对误差、相对误差和有效数字相对误差和有效数字2为准确值为准确值x的一个近似值,称的一个近似值,称 绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字若若 的的绝对误差限绝对误差限,简称,简称误差限误差限.通常称通常称为近似值为近似值定义定义2 设设(1-3)记为记为 即即准确值之比为近似值准确值之比为近似值为近似值为近似值的的绝对误差绝对误差,简称,简称误差误差.(1-1)称绝对误差与称绝对误差与为准确值
2、为准确值 x 的近似值,的近似值,的相对误差,的相对误差,(1-2)定义定义1 1 设设3由于在计算过程中准确值由于在计算过程中准确值x总是未知的,总是未知的,绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字故一般取相对误差为故一般取相对误差为 则称则称 为为 的的相对误差限相对误差限.使得使得(1-4)如果存在正数如果存在正数4如果近似值如果近似值 准确到小数点后第准确到小数点后第n位位,并从第一个非零数字到并从第一个非零数字到这一位的所有数字均称为这一位的所有数字均称为有效数字有效数字.绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字 有效数字有效数字的误差限是的误差限是则
3、称则称取前八位数得近似值取前八位数得近似值 例如,例如,取前四位数得取前四位数得1.414有有4位有效数字位有效数字.1.4142136有有8位有效数字位有效数字.5(1-5)一般地,如果近似值一般地,如果近似值其中其中m为整数,为整数,绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字为为0 0到到9 9之间的整数之间的整数.如果如果(1-6)则称近似值则称近似值有有n位有效数字位有效数字.例如例如有有4位有效数字位有效数字.故故的规格化形式为的规格化形式为6绝对误差、相对误差和有效数字绝对误差、相对误差和有效数字若若x的近似值的近似值至少具有至少具有n位有效数字位有效数字.有有n位有
4、效数字,位有效数字,则则误差限误差限.反之,反之,的相对误差的相对误差定理定理1.11.1为其相对为其相对满足满足若若则则7(1-12)(1-11)(1-13)数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播 例例设近似数设近似数是某真值是某真值 x 经四舍五入经四舍五入所得所得,试求其绝对误差限和相对误差限试求其绝对误差限和相对误差限.解解由于由于a经四舍五入得到经四舍五入得到,故故89例例1:2,求求数值计算中误差的传播数值计算中误差的传播 1.经四舍五入得经四舍五入得试问它们有几位有效数字?试问它们有几位有效数字?的绝对误差限的绝对误差限.解解故故分别具有分别具有5位有效数字位有效数字10数值计
5、算中误差的传播数值计算中误差的传播 例例2:2:要使要使的近似值的相对误差限小于的近似值的相对误差限小于0.1%,应取应取取几位有效数字取几位有效数字解解:的首位数是的首位数是2,设近似数设近似数有有n位有效数字位有效数字,只须取只须取n使使即即取取n=4,即取即取4位有效数字位有效数字,近似值的相对误差限小于近似值的相对误差限小于0.1%.数值计算中的一些原则数值计算中的一些原则1.1.避免两个相近的数相减避免两个相近的数相减2.2.避免大数避免大数“吃吃”小数的现象小数的现象3.3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值4.4.要简化计算,减少运算次数,提
6、高效率要简化计算,减少运算次数,提高效率5.要有数值稳定性要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播即能控制舍入误差的传播例如例如 为提高数值计算精度为提高数值计算精度,当正数当正数x充分大时充分大时,应将应将改写为改写为11例例 如何计算下列函数值才比较精确如何计算下列函数值才比较精确(1)对对解解(1)要使计算准确要使计算准确,应避免两个相近的数相减应避免两个相近的数相减(2)对对(2)要使计算准确要使计算准确,应避免两个相近的数相减应避免两个相近的数相减故变换所给公式故变换所给公式故变换所给公式故变换所给公式12第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法设有线性方程组设有线性
7、方程组Ax=b,其中其中第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法为为n阶阶非奇异矩阵非奇异矩阵,x和和b为为n维列向量维列向量.(一一)高斯消元法高斯消元法高斯消元法就是对增广矩阵高斯消元法就是对增广矩阵进行初等行进行初等行变换变换,从而把原从而把原方程组化为等价的三角形方程组方程组化为等价的三角形方程组,然后然后进行回代求解进行回代求解.1.列主元素法列主元素法是在每次消元前,在要消去未知数的系数中找到是在每次消元前,在要消去未知数的系数中找到绝对值最大的系数作主元,通过方程对换将其换到绝对值最大的系数作主元,通过方程对换将其换到对角线上,然后进行消元。对角线上,然后进行消
8、元。(二二 )主元素法主元素法114第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法2 2 全主元素法全主元素法如果不是按列选主元,而是在全体待选系数如果不是按列选主元,而是在全体待选系数中选取主元,则得到全主元中选取主元,则得到全主元素法素法.(三三)直接三角分解法直接三角分解法其中其中L为单位下三角矩阵,为单位下三角矩阵,U为上三角矩阵。为上三角矩阵。高斯消元法的消元过程实际上是把系数矩阵高斯消元法的消元过程实际上是把系数矩阵A分解分解成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积的过程。成单位下三角阵与上三角矩阵的乘积的过程。上述分解称为上述分解称为杜利特尔(杜利特尔(Doolittle)分
9、解)分解,也称为,也称为分解分解.15第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法定理定理2 2.设设为为n阶方阵,若阶方阵,若的顺序主子式的顺序主子式均不为零,则矩阵均不为零,则矩阵存在唯一的存在唯一的Doolittle分解。分解。等价于求解两个三角形方程组等价于求解两个三角形方程组和和当系数矩阵进行三角分解后,求解方程组当系数矩阵进行三角分解后,求解方程组这种求解方程组的方法称为直接三角分解法这种求解方程组的方法称为直接三角分解法.16第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法且且L的对角元素皆为正数。的对角元素皆为正数。(四四)平方根法(平方根法(Chole
10、sky分解法)分解法)如果如果A是对称正定矩阵是对称正定矩阵,则存在唯一的非奇异则存在唯一的非奇异下三角阵下三角阵L,使得使得此分解称为此分解称为平方根平方根分解分解或或Cholesky分解分解.当矩阵当矩阵A 完成完成Cholesky分解后,求解方程组分解后,求解方程组就转化为依次求解方程组就转化为依次求解方程组Cholesky分解法。分解法。求解线性方程组的上述方法称为平方根法,也称为求解线性方程组的上述方法称为平方根法,也称为17第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法(五五)改进的平方根法改进的平方根法其中其中L为单位下三角矩阵,为单位下三角矩阵,D为对角阵为对角阵.
11、对称正定矩阵对称正定矩阵A又可以做如下又可以做如下分解:分解:法法)矩阵矩阵作作分解后,解方程组分解后,解方程组可分两步进行:先解方程组可分两步进行:先解方程组,再由再由求求求解线性方程组的这一方法称为改进平方根法,也叫求解线性方程组的这一方法称为改进平方根法,也叫法法.(六六)解三对角方程组的追赶法解三对角方程组的追赶法第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法例例1 1 用列主元素法求解线性方程组用列主元素法求解线性方程组 解解 按列主元素法,求解过程如下按列主元素法,求解过程如下:6第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法7由回代过程得解由回代过程得解等
12、价的三角方程组为等价的三角方程组为8例例2 2 用直接三角分解法求解线性方程组用直接三角分解法求解线性方程组解解:设设9p1310第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法 所以所以由由即即解得解得11解得解得由由即即解得解得12第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法(2)2 (1)1(2)2(6)6解解213p9第二章第二章 解线性方程组的直接方法解线性方程组的直接方法所以所以解方程组解方程组解得解得142.5 误差分析误差分析(1 1)2 2范数范数常用的向量范数有以下三种:常用的向量范数有以下三种:(2 2)1 1范数范数(3)范数范数15设设2.5
13、误差分析误差分析常用的矩阵范数有三种常用的矩阵范数有三种,是由三种常用的向量范数,是由三种常用的向量范数为为n阶方阵。阶方阵。诱导出的矩阵范数:设诱导出的矩阵范数:设(1)1 范数范数(列范数列范数)(行范数行范数)其中其中是矩阵是矩阵的最大特征值。的最大特征值。范数范数(3)2 范数范数162.5 误差分析误差分析定义定义3.3 设设A为为n阶方阵,阶方阵,为为A的特征值,的特征值,称特征值模的最大值为矩阵称特征值模的最大值为矩阵A 的的谱半径谱半径,记为记为定义定义2.3 对非奇异矩阵对非奇异矩阵A,称数,称数为矩阵为矩阵A的条件数,记为的条件数,记为称为矩阵称为矩阵A的谱的谱.172.5
14、 误差分析误差分析例例3 已知已知于是有于是有求求解解:182.5 误差分析误差分析例例4 4 设设于是有于是有求求解解:即即19例例5 已知已知求求解解故故20解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法迭代法的收敛条件迭代法的收敛条件定理定理.对任意初始向量对任意初始向量和右端项和右端项由迭代格式由迭代格式产生的向量序列产生的向量序列收敛的充要条件是收敛的充要条件是第三章第三章 解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法推论推论在定理在定理3.6的条件下若的条件下若则则收敛收敛.推论推论松弛法收敛的必要条件是松弛法收敛的必要条件是21解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法几个常用的收敛条件几个
15、常用的收敛条件.设有线性方程组设有线性方程组下列结论成立:下列结论成立:1.若若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵,则则Jacobi迭代法和迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛迭代法均收敛.2.若若A为严格对角占优阵为严格对角占优阵,则松弛法收敛则松弛法收敛.3.若若A为对称正定阵为对称正定阵则松弛法收敛则松弛法收敛.因此有因此有:若若A为对称正定阵为对称正定阵,则松弛法收敛的充分必要则松弛法收敛的充分必要条件是条件是4.若若A为对称正定阵为对称正定阵,则则Gauss-Seidel迭代法收敛迭代法收敛.22解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法
16、例例6 对方程组对方程组计算计算的收敛性的收敛性解解 (1)由原方程组得由原方程组得(1)写出写出Jacobi迭代格式与迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式迭代格式(2)考察考察Jacobi迭代格式与迭代格式与Gauss-Seidel迭代格式迭代格式(3)取初始值取初始值用用Gauss-Seidel迭代格式迭代格式23p25P29Jacobi迭代格式为迭代格式为24Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法(2)解解1:方程组的系数矩阵为方程组的系数矩阵为由于由于故故A严格对角占优阵严格对角占优阵,因此因此Jacobi迭代法与迭代法与Gauss-
17、Seidel迭代法都收敛迭代法都收敛25p23Jacobi迭代格式为迭代格式为迭代矩阵为迭代矩阵为故故Jacobi迭代法收敛迭代法收敛.26(2)解解 2:解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为即为即为27解线性方程组的迭代法解线性方程组的迭代法Gauss-Seidel迭代矩阵为迭代矩阵为故故Gauss-Seidel迭代法收敛迭代法收敛.28即即Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为又又解线性方的迭代法解线性方的迭代法(3)Gauss-Seidel迭代格式为迭代格式为29p23设函数设函数在区间在区间上有定义上有定义,它在该区间上它在该区间上
18、n+1个互异点个互异点处的函数值为已知处的函数值为已知,记为记为若存在一个简单函数若存在一个简单函数使得使得成立成立,就称就称为为的的插值函数插值函数,点点称为称为插值节点插值节点,区间区间称为称为插值区间插值区间,求插值函数求插值函数的方法称为的方法称为插值法插值法.30第五章第五章 插值法插值法若若是次数不超过是次数不超过n的代数多项式的代数多项式,就称就称为插值多项式为插值多项式,相应的插值法称为相应的插值法称为多项式插值多项式插值;若若为分段多项式为分段多项式,就是就是分段插值分段插值;(一一)函数插值函数插值求一个至多求一个至多n次的多项式次的多项式(5(51 1)使其在给定点处与使
19、其在给定点处与同值,即满足插值条件同值,即满足插值条件(5(52)2)称为插值多项式称为插值多项式,称为插值节点称为插值节点,简称简称节点节点,称为称为插值区间插值区间.插值法插值法31只要只要n+1个节点互不相同,满足插值要求式个节点互不相同,满足插值要求式的插值多项式(的插值多项式(51)(52)是存在唯一的是存在唯一的.定理定理5.1 设设是区间是区间上的互异节点上的互异节点,是过这组节点的是过这组节点的n次插值多项式次插值多项式.如果如果在在上上n+1次连续可导次连续可导,则对则对内任意点内任意点x,插值余项为插值余项为插值法插值法32插值多项式与被插函数之间的差插值多项式与被插函数之
20、间的差称为称为截断误差截断误差,又称为,又称为插值余项插值余项.其中其中拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式为插值多项式为插值余项为插值余项为(二二)拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值33且且用拉格朗日二次插值多项式计算用拉格朗日二次插值多项式计算 解解 取三个节点取三个节点插值法插值法例例7 已知已知函数表如下函数表如下的近似值的近似值.34二次二次Lagrange插值多项式为插值多项式为3536Newton插值多项式插值多项式余项为余项为例例 设设则则 (三三)Newton插值插值37建立三阶牛顿插值多项式建立三阶牛顿插值多项式 解解 插值法插值法例例8 已知已知函数表
21、如下函数表如下并写出插值余项并写出插值余项.构造差商表如下构造差商表如下38插值法插值法39故故插值法插值法余项为余项为40(四四)Hermite插值多项式为插值多项式为插值法插值法41插值余项为插值余项为数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法对给定的数据组对给定的数据组 多项式多项式(mn)求一个求一个m次次使得使得为最小,为最小,即选取参数即选取参数 使得使得这就是数据的多项式拟合,这就是数据的多项式拟合,称为这组数据的称为这组数据的最小二乘最小二乘m次拟合多项式次拟合多项式。42第六章第六章 函数逼近函数逼近其中其中H为至多为至多m次多项式集合次多项式集合.(6-5)(6-5)多项式拟
22、合多项式拟合这是最小二乘拟合多项式的系数这是最小二乘拟合多项式的系数应满足的方程组,称为应满足的方程组,称为正则方程组或法方程组正则方程组或法方程组。由函数组由函数组的线性无关性可以证明的线性无关性可以证明,方程组方程组(6-5)存在唯一解,存在唯一解,且解所对应的多项式且解所对应的多项式43的的最小二乘最小二乘m次拟合多项式次拟合多项式.必定是已给数据组必定是已给数据组 当当时时,正则方程组为正则方程组为由此解的由此解的而得拟合直线而得拟合直线44例例9 9 已知数据组所给出的函数关系。已知数据组所给出的函数关系。i123424681.12.84.97.2求最小二乘求最小二乘一一次拟合多项式
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