数学分析简明教程答案(尹小玲 邓东皋).pdf
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1、前t数学分析是数学类各专业的最重要的一门基础课程,是数学类 各专业及一些信息、计算机类专业硕士研究生入学考试的必考课程 之一,同时也是大学生入学后遇到的第一门内容抽象的课程,对初 学者来说,其中的许多概念难懂,方法抽象,解题难以入手.因此,如何把握课程的内容,掌握正确的学习方法显得至关重要.另外,有一些理论问题和解题的方法与技巧在该课程的教学中不能充分地 展开,在本科高年级开设数学分析选讲是十分必要的,能够使报考 硕士研究生的学生从容地面对入学考试.基于上述原因,我们编写 了这本书,以帮助学生学好数学分析,满足广大读者学习和考研复 习的需要.全书采用分类、分块的方法,系统地总结了数学分析中的基
2、本 内容和基本方法,以邓东阜、尹小玲编著的数学分析简明教程(以下简称教程)的课后习题解答为主线,给出了 300多道典型 例题.通过一系列典型例题,由浅入深地介绍了数学分析的学习方 法和解题方法,同时注重一题多解、一题多证.特别是通过对典型 例题的分析和注释,使学生能够更好地融会知识、理解概念和掌握 方法,以提高学生的分析问题和解决问题的能力.本书包括:函数与极限、实数理论的基本定理、一元函数微分 学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、数项级 数和函数项级数、反常积分和含参变量积分共八章.各章节的内容结构分为基本要求、主要概念和结论、常用解题 方法与典型例题、综合例题四部分内容.一
3、、基本要求,根据我们自己对数学分析教学大纲的理解,列出了需要掌握的知识点.由于没有统一要求,仅供参考,1*二、主要辞念和结论.按基本要求列出基本内容,帮助读 者抓住重点,全面把握章节内容.-三、常用解题方法及典型例题.根据编者的教学实践,选 解了大量课程内容要求的典型例题和教程的主要习题,对具有 代表性的题目给出了多种解题方法,对常用解题方法进行了分析、注释和总结.四、综合例题.为了满足进一步深造的同学的需求,我们选 解了大量综合性的题目和部分理工科大学的研究生入学试题.书后的附录1给出了教程的主要习题解答与提示,附录2 给出了东北大学和北京师范大学近几年的硕士研究生入学考试试 题,本书由王晓
4、敏、李晓奇、惠兴杰主编;副主编为王书田(河北 工业职业技术学院)、张建波、马祥、张子选.由于编者水平所限,加上时间仓促,不妥与错误之处在所难 免,所作的解答也未必是最好的,恳请读者批评指正.编者2005年7月于东北大学秦皇岛分校 2 目 录第一章函数与极限.1 I 函数.12数列极限.43函数的极限与连续性.74 综合例题.12第二章 实数理论的基本定理.231实数连续性及其等价描述.232闭区间上连续函数的性质.293 综合例题.34第三章一元函数微分学.391导数与微分.392微分中值定理及其应用.483综合例题.64第四章一元函数积分学.67 1 不定积分.672 定积分.753定积分的
5、应用.894综合例题.94第五章多元函数微分学.1031多元函数的极限与连续性.1032 偏导数与全微分.1133 隐函数存在定理及其应用.1274几何应用、极值与条件极值.133 5 综合例题.142第六章多元函数积分学.146 1重积分.1462 曲线积分与曲面积分.1573各种积分之间的联系.1694 综合例题.180第七章 数项级数与函数项级数.1851 数项级数.185 2 函数项级数.2003耗级数.2084 傅里叶级数.2145 踪合例题.217第八章广义积分与含参变量积分.229 1 广义积分.2292含参变量积分.2433 综合例题.256附录1数学分析简明教程典型习题解答.
6、267附录2部分高校数学分析考研试题与模拟试题.379附录3常用数学符号一览表.394附录4 中英文人名对照表.395参考文献.396 2 第一章函数与极限数学分析这门课程研究的对象是函数,而它是用极限方法研究函数的.从 方法论的角度来说.这是数学分析区别于初等数学的显著性标志.数学分析中几乎所有的概念都离不开极限,极限概念是数学分析的重要 概念,极限理论是数学分析的基础理论和核心,它贯穿于数学分析的全部内容 之中.1函数一.基本要求1.理解函数的概念,理解复合函数、分段函数的概念.2.掌握基本初等函数的性质及其图形.3.掌握几种重要的非初等函数.4.会判断函数的有界性、奇偶性等性质.二、主要
7、概念和结论1.函数的定义 设X是某实数集合,若存在一对应法则f.使得对于X 中的任一实数力,存在惟一的实数yWR与之对应,则称f是定义在X的函数,记为ftX-R 或 f:篦一或 意人工).X称为函数f的定义域,工称为自变量,y称为因变量.函数的确定取决于两个因素;定义域X;对应法则12.初等函数六种基本初等函数 常值函数、骞函数、指数函数、对数函数、三角函数 和反三角函数.初等函数 由基本初等函数经有限次的四则运算和有限次的复合运算所 得的函数.3.几种常用的重要函数 1,(1)振荡函数f xf lsin-工#0y=x I。,X=0(2)取整函数丁=了.(3)狄利克雷函数、/L Z为有理数【0
8、,工为无理数(4)符号函数(1.工 0sg n(j r)=a 0,x=0.l-l,jc0,且工+T6X,有/(/+=则称八工)为周期函数,T为八工)的周期.(4)有界性 若mM0,V/WX,有WM,则称人工)在X有 界.三.常用解题方法与典型例题【例 1-1】求证 max(a,b)=%:+.;min(a,b)=a 一 l y=*_2.【证明】若则max(*6)=a,中+%/=中+宁=a,从而max(a,6)=甲+匕4;若同法可证结果成立.同理可 证 min(at b)=。-”.【例12证明f(工)=生二在(8,十8)有界.X*+1 2【证明】V-8,+8),由1+12 G知,W1.故 X+1l
9、/(x)=-y-777&母即 了(工)在(-8,+8)有界.【例13】叙述函数无界,并证明义)二三在(0,1)无界.x【解】设函数人工)在X有定义,若VM0,三工0 6X,使得|(椀)|M.则/(二)在X无界.VM0,取工0=1),贝 N/(“q)|=1+MM.故 71+M 武/(上)在(0,1)无界.【例14】设)为定义在(-8,+8)内的任何函数,证明了(工)可分 解成奇函数与偶函数之和.I证明】构造函数 g(x)=-/(-x),Zi(Jr)=-/(x)+f(H),则 g(-4=/-g(w),X)=/(-X)十,(=M).即g(H)为奇函数,分(工)为偶函数.而/(H)=g(N)+Zt(X
10、),故八比)可分解成奇函数与偶函数之和.【例1-5用肯定语气叙述在(-8,+8)(1)尸1)不是奇函数;(2)/(工)不是单调上升函数;(3)FG)无零点;4)f(工)无上界.【解】(1)若三对(-8,+8),使得人对)-1 0),则人工)在(-8,+8)不是奇函数.(2)若三工1,6(-+00)且工1 f(工2),则 f(N)在(-8,+8)不是单调上升函数.(3)若 VxW(l8,+8),都有|y(x)|0,则(工)在(-8、4 8)无 零点.(4)若 V M 0,三工0(-8.(-8,+8)无上界.+8),使得八福)M,则“工)在【例1-6】设卡*:3()=t 了.工0 I函数Ag G)
11、,函.【解】因屋G W。,所以h W0工。.求复合F(g(i)=一&(%)-1=一工1.hWO 工2-1,X 0 3 易知当一1工0时,/(x XO;当x 0时./(x)0.于是g(f(工)/(工),/(x XO-/(%)./(x)0上 一 1 1 2.-l Wz 02 数列极限.一、基本要求1-掌握数列极限的、定义,会用它们证明数列极限及有关命题,2,掌握收敛数列性质(惟一性、单调性、保号性及不等式性质等)及四则 运算法则.3.掌握数列极限存在的两个准则.二、主要概念和结论L数列极限的定义 若VOO,EN6N+f V,N,有|4-a|则称数列与|以a为极限.记作l ima”=或方一.九8.也
12、称t与J收敛于8a.若I工的极限为0,则称此为无穷小丑,若YG0,3NN V誓,N,有|h/G,则称t 4J为无穷大量.2.收敛数列的性质 若与一(-8),则数列|与具有下列性质:(1)有界性 3M0,VmGN 有 IgJMM.(2)保号性 若l im%,=a0,则 mN N.Y nN,有了(3)保序性 若=且 a6,则 V N,0-8 8有1川 y,(4)极限不等式 若l ima=a,l im%=6,且mNCNj Y nN.有 ff 0 0(衣一*0 0jW%,则 aN.有工=a,则=a.(3/单调有界原理单调有界的数列必有板限.(4)重要极限 1而(1+1)=e.B 1/I/(5)若IAI
13、是无穷小量.R/是有界数列,则丘,是无穷小母.三、常用解题方法与典型例题【例1-7 用定义证明l im 3 土&=等.【证明】V 0,取双二+1,则当兀N时,有I 3 五+1 31-J 2_ 一一 3 _4 yfn-2 2+2(-/h 1)2-/n fn0,取N=max l L+1 ,则当 N时,有|10 c 1 0 X1 QX-X1 0 1 0 X X1 0八4 1 0-T 一=.丫-m 77T-3-M 1).L 8Q刀【证明】令a=l+A,A0,则a“=(1+为尸工 1+油+“(、一 D/1 2十十于是0;71-0(麓-8).由夹迫准则知,1加孑=0,a n-l)h l80【例1-1 0求
14、极限l im i2+、2-L 8S(九+1)2n)J 5,18 由于,L=+-+皿 田丁)2)2)ZM+(2 n)2 n2 M=咤,而日丹一0,吟f OG s).由夹迫准则知,原式=0,n,(2)公m Ml 求根限变J COSH.【解】由于iim石=1,则l im(l-惠I=0,而Ic o sM是有界数列,故原式L8 L*l V 2/,注本题的典型错误解法是 l imc o s?:-0,l imc o sn=0-N-R*f 8【例1.12 设h”=/2“二1,n=2,3,,求证l im比”存在,并求其值.L 8【证明】0工1=及V2,假设。工“2,贝1|0引.1=/2/2;2=2.由归纳法知,
15、院有上界.由三=&3皿1=/工21知,一是单调 Hjj-i 7 V-1上升的.根据单调有界原理,的极限存在,设为a.由l im4二附8l im,2工“T可得,a=/五,解得a=2(舍去0).“一8【例 1-1 3求下列极限(1)l im(1+2);(2)l im 1+I.加f 8 I W/“-R I fl n Il解】原式=1必,(1+卡)=1.(2)由上+4=中1)得w n n*nz-1 1(】+*0,当0|上一卬|8时.有1人工)-Al 0,三为满足 0 0,30,当 0 h 一 知6 时,有I/(X)-A I 0,30,当-3%-4d0 时,有 f(w)-A I 0,3 50,当 0|I
16、一No l G.=Ve0,3X0,当|h|X 时,有 1/(工)一人|0,3X0,当工X 时.有 8=8;VG 0,33 0,当-3 V 工z o G.2.设在自变坦的某个变化过程中,函数的极限为0,则称其为无穷小量.,3.函数极限的性质(仅以比一“为例)(1)局部有界性 设=则三30,使得,(工)在(ho-五孙)U(工3+8)有界.,(2)局部保号性 若iim,G)=A.Aor则aer o,当o|工一工。|B,贝!,一飞当0|w-n oI 以工).(4)极限不等式 若l imf l j t Ju A,Um g(x)=B,且三6 0,当 r 一上。其一400|工一6时,有/()0,8(在(工。
17、16.x0)U(x g,彳。+6)有 界,则1 1 m f Q)g(工)=0.I。(2)若人)在(-6)单调上升且有上(下)界,则l im/(工)(HmJ(工)存在;对Ro(a,b)9则l im f(工)和1吗.(工)都存在,但不一 定相等.(3)两个重要极限 l im比二1,l im(1+x)i-l im 1+1=e.5.函数的连续性(1)定义 设义工)在包含丸的某开区间有定义,若l im/(#)=/(10),则称函数工)在顶点是连续的.8 若】i(工)=,(工0),称在工0点右连续;若l i吗/(工)=/(工Q)g称 f(工)在工Q点左连续.从而,八工)在工。点连续八工)在皿)点既右连续,
18、又左连续.若Vx o WL都有/(工)在“0点连续,则称/(z)在连续.(2)间断点 若了(在工0点不连续,则称义上)在小点间断,NO称为间 断点.(3)间断点的类型 设工0为/(工)的间断点.可去间断点 若l im/(o:),即存在;工-上;一汇第一类间断点 若l im”工)与l imf(i)都存在,但l im/(工)#+l im/(x);第二类间断点 若l im/(比)与l im八工)至少有一个不存在.+6.无穷小域的比较 设a,f为无穷小地.(1)若mA.B0,使OVAW 耕 MB,则称。与/?为同阶无穷小坦:.需 要注意的是,当方-时,a与0为同阶无穷小员.(2)若太一 1,则称a与月
19、为等价无穷小此 记为a.(3)若g-0.则称a为比。高阶的无穷小员,或称p是较&低阶的无穷 小此记为a=o(p).(4)把工作为基本无穷小此若拿一Z(2#0),称a为工的欠阶无穷小 量.三、常用解题方法与典型例题【例1/4】用极限定义证明l im/一=e.l t 1上-9 2【证明】限制Ih+1|V1,则-2工1.VeO.取3=min l,2.则当 0|”-(1)|二|N+1|8 时,有23 _1_ x+1,I.:11,-9一2 12(773)2 e-9 这就证明了妈“却一1,【例115】计算极限l im壬小(右加为正整数).一 x 1【解】/1w-l-jt-2-.1 +工-2 4 1,+1)
20、原式=l im工-1 乂力1+工,十十=qT-Z-=旦.不一1(1-1)(工加 1+2+1)l im(xOT 1+xm 2+*+1)X-*J 1 1-1 6求函数工):卜血丁 在工=0点的左、右极限.1+2 2.N l im/(x)=l im(1+x2)-1-【例1/7】证明=A的充要条件是对每一个严格上升趋于+8 的数列H/,有l im/(工”)=A.Hg【证明J必要性.设她/(h)=A,则Ve0,3M0,V*M有 1工)-A|(苍,)一人|0,VM0,使得|/(n)-A|?与取必=1,3 x iMn 使|(二1)-A|;取 M2 =ma*l 2 工人 3x2 M2,使 I/(叫)A|取 M
21、*max|%xn-1L 3 xuMn,使|f(%)-A|这样可以得到严格上升趋于+8的数列|可,而If(马)-A|?“,即 1人工“)1不收敛于A,矛盾.注 本例结论是海涅定理对单侧极限的更强的表述形式,同样建立了函 数极限与数列极限的密切关系.对其他类型的单侧极限也有类似的结论.【例18】求极限l im Sn”丁巴L。X2 sin2 彳 F-1 COSJCw 2 c o s 工eo sxNT 10【例 LI 9】求极限 l im 工sir t r;l imj r sin ;l imsin x;l im xsin ,X-*0 JC Jr一口 工 Jr8 1 K-B 工分析在考察函数极限时,要特
22、别注意自变量的变化趋势及同一个函数 在不同的自变显的变化趋势下的极限.r【解J l im工sir ur为重要极限,所以l im,sin a=1;x-*Q=一。X对于l imHsin上,由于 sin 1.所以l imj c sin 工=0;L。工 工 x对于 由于 l s in j r&l,当 h-8 时,-O,所以 Um 上=工8 N JC JC0;8).有f(才)-A(九一8)(A可取无穷大).【证明】这里仅对A为有限数时给出证明.必要性.由于l im/(x)=A,故Ve0,3 X 0f当工X时,有|人工)-A I 0,3NN+,当kN-g时.有孙,X,于是(叫)-A|0,VXOt 3xxX
23、fX-4 B使l/Gx)-特别地,取Xl”(z:=L 2,),则相应地mf x川二力,使得|/(见1-A l l q.于是得到数列|工,满足巧一+8(,8),但 卜工这与/(4)f Af 8)矛盾.【例1-2 3J用定义证明函数y=sin在其定义域内连续.【证明】易知函数;y=sin 5的定义域为(-8,0)U(0,+8).VhoG(0,+8).V 0,取 8=min ai0,徐)则当|工一工。|0,mNRN,VnNlf 有|一 a|Ni 时,12(。1-a)+(0 2 _ a)+(/一。)n+。2+_+/n.W|(初-a)+(/-。)|+(I-I+|册q|)n 1 1 1 n 1 1 1其中
24、 M=|(。1-a)+(”N 一。)|.又对上述 0,取 Nz=9+1,则 有那 N,有注(1)本例的证明方法是一种典型的方法.为估计(1)式右边,将其分 子分成两部分,前一部分有N项,除以“后可任意小(当n充分大时);后一 部分放大为N项,每一项都小于e/2.从而由给定的c最终确定出N.(2)可类似地证明当a=+8或。=8时,结怆仍成立.0 IJ 1-2 6(斯图茨定理)若1-1和小满足义%;l im%=N-B+8;l im91二=A(A为有限数或无穷大),则Hm马二A.由此证明若 010,3 MeN+,当a2 M 时,有2 9 2 即对=M*M+L,有(八2)(l 3%)Hm+1 工旧 (
25、A+?)(+1)*分别以.=M+l,,-1代入上式,并将得到的兀-M个不等式相 加,得(A-引(乂-)m)引一工M-VM).即王二二wM-W由条件l im%=+8,3 N M,当m N时.有01-纶“-y t f ynV,AN,有-A 2.这就证明了 l im 与1HA.,yn l,用数学归纳法容易证明0册1.由条件 3=1 4L知对单调 a”下降趋于0,于是工-*十8(”-8).令*“=明八=J-,则由斯 a 卅 Qti图茨定理得,_ V 3(1 一%J,、1=hm-2-n hm(-arJ=1.a-8 a:界-注(1)斯图茨定理实质上是已知数列|工与正无穷大数列t y 的各自相邻两项增长率之
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