高考数学大复习小题课时训练 双曲线 解析版.pdf
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1、课时37双曲线(基础题)一、单选题2 21.(2019上海宝山高三二模)已知双曲线会-1=1.0,。0)的右焦点为/(c,0),直线丁=左(c)与 双曲线的右支有两个交点,则a.阳_ b.阳 _ c.ki _ d.ki 一a a a a【答案】A【分析】求得双曲线的渐近线方程,结合图象可得直线的斜率k的范围.1*2 v2 b【详解】解:双曲线亍-1=1(0力0)的渐近线方程为)=夕,直线经过焦点y=c),F(c,o),b当左0时,可得,一,a当左 0时,k ,a故网a故选A.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程的运用,考查数形结合思想方法,属于基础题.2 22.(2021上海普
2、陀高三二模)设7根16,则双曲线一一+工一=1的焦点坐标是()16-m 7-mA.(4,0)B.(3,0)C.(0,5)D.(0,4)【答案】B【分析】确定双曲线的焦点位置,求出。的值,即可得出双曲线的焦点坐标.V-2 V2【详解】v7/7216,则16 根0,7-m0,所以,双曲线的标准方程为-=1,16-m m-1所以该双曲线的焦点在轴上,一日.a?=16,b2=m 7,则c=,片+后=3,因此该双曲线的焦点坐标为(3,0).故选:B.2 23.(2021上海高三专题练习)过双曲线C:二-2=1的右顶点作轴的垂线与。的一条渐近线相交于点A,a b若以C的右焦点为圆心,以2为半径的圆经过A、
3、。两点(。为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.-/=13C f2 y2B.%22_=13D f,2-l2 6【答案】B【分析】FO=2,故c=2,不妨设渐近线方程为y=2%,则A(q,。),根据AF=2,计算得到答案.【详解】连接AF,FO=2,故c=2,不妨设渐近线方程为y=则A(a,b).a2故22=+(2-4)2,解得。=1/=6,故双曲线方程为Vq_=i二、填空题24.(2017上海虹口高三二模)已知双曲线2-4=l(fl0),它的渐近线方程是y=2%,则。的值为 a【答案】22【详解】因为双曲线20=1(。0),它的渐近线方程是y=2x,a所以可得y=以=2工=2.5.(2018
4、上海高三一模)双曲线2y2=i的焦距为【答案】272【解析】由双曲线的方程可得:/=/=1,贝卜2=/+从=2,双曲线的焦距为2c=20.2 26.(2019上海普陀高三二模)双曲线C:土-乙=1的顶点到其渐近线的距离为16 9-12【答案】y【分析】先由双曲线方程得到其顶点坐标,与渐近线方程,再由点到直线距离,即可求出结果.V2*9 v2 h 32又因为02=储+火所以解得=912=1,所以双曲线方程为:卷-尤2=,y2因此该双曲线的标准方程为V 一匕=1.92故答案为:=19【点睛】本题考查了双曲线方程的求法,考查了双曲线渐近线方程,考查了分类讨论思想,考查了数学运 算能力.【详解】因为双
5、曲线C:土-匕=1的顶点为(4,0),渐近线方程为:y=Z%=-%,16 9 a 4即 3x4y=0,因此顶点到渐近线的距离为:尔4|考V32+42 512故答案为最【点睛】本题主要考查双曲线顶点到渐近线的距离,熟记双曲线的性质,以及点到直线距离公式即可,属 于基础题型.7.(2020上海奉贤高三一模)若双曲线的渐近线方程为y=3x,它的焦距为29,则该双曲线的标准 方程为.2【答案】2一21=19【分析】根据双曲线的焦点的位置,分类讨论求出双曲线的标准方程.【详解】双曲线的焦距为2厢,所以c=J记.b当双曲线的焦点在横轴时,因为双曲线的渐近线方程为y=3x,所以一=3n0=3a,a又因为。2
6、=+火所以解得/=1,/=9,所以双曲线方程为:尤2_(=1;9当双曲线的焦点在纵轴时,因为双曲线的渐近线方程为y=3x,所以:=3na=3b,b2 2 2 28.(2020上海高三二模)已知双曲线C:-4=1(0,h0)的实轴与虚轴长度相等,则C:三-2=1 a b a b(。0,b0)的渐近线方程是.【答案】y=x【分析】根据实轴与虚轴的定义可得。=人根据双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意得2a=勃,即”6,2 2 j所以C:一讶=1(。,0)的渐近线方程是丁=;工=X.故答案为:y-x【点睛】本题考查了双曲线的实轴,虚轴,渐近线,属于基础题.2 2 29.(2020上海市建平中学
7、高三模拟预测)椭圆会+%=1伍0)与双曲线7V=i有公共的焦点,贝回【答案】4【分析】本题利用焦点相同,建立等量关系,即可求解【详解】由题意得两条曲线的值相等,回25-/=8+1,求得从=16,又因为人0,贝m=4.故答案为:h=4.【点晴】本题考查了椭圆和双曲线的基本性质,属于基础题.10.(2019上海高三模拟预测)已知双曲线一二士=1的离心率为无,则团=_.m+2 m+1 2【答案】2或-5 2 2【解析】双曲线-=1,当焦点在X轴时,a2=m+2,b2=m+l,m+2 m+1可得c2=a 2+b2=3+2m,双曲线一士=1的离心率为立,所以2磐=,.根=2 m+2 m+1 2 m+2
8、4-3-2m 7当焦点在 y 轴时,a2=-m-l,b2=-m-2,c2=a2+b2=-3-2m,所以-=;.m=-5-m-1 4故答案为2或-5.点睛:本题考查双曲线的简单性质的应用,考查计算能力,因为没有指出焦点在哪个轴上,所以讨论两种 情况,要抓住双曲线方程的特征得出。2,,,2即可得解 2 211.(2021上海嘉定高三二模)已知点A,8分别是双曲线C:点-2=1(。0力0)的左、右顶点,点P是双曲线C上异于4 B的另外一点,且是顶角为120。的等腰三角形,则该双曲线 的渐近线方程为.答案】xy=O【详解】如图所示,过点。作。曲轴,因为M8|=|P8|=2a,回P8C=60。,所以18
9、cl=a,%=|PC|=6a,2 2点P(2a,指a),将P代入=1中得a=b,所以其渐近线方程为x士y=0.12.(2019上海杨浦高三一模)已知双曲线/一2=1,则其两条渐近线的夹角为.【答案】I【分析】先计算渐进线为丁=出,计算其倾斜角,得到答案.【详解】双曲线-2=1的渐近线为:y=x,对应倾斜角为f,若,故渐近线夹角为f4 4 2TT故答案为:【点睛】本题考查了渐近线夹角,属于简单题型.2 213.(2018上海闵行高三一模)已知耳、尸2分别是双曲线二-3=1(。0)的左右焦点,过耳且倾斜 a b角为30。的直线交双曲线的右支于P,若则该双曲线的渐近线方程是.【答案】y=+y2x【分
10、析】设|PFi|=m,PFi=n,F1F22c,由双曲线的定义和直角三角形中的性质,可得m,c的关系,由a,b,c的关系可得b,再由双曲线的渐近线方程即可得到所求.【详解】解:PFi=m,PF2=n,FiF2=2c,在直角国PF1F2 中,PFiF2=30,可得m=2n,贝!m-n=2a=n,即 a=一,22c=a/3n,即 0=走,2b=y/c2 a2=n,2b可得双曲线的渐近线方程为y=2x,a即为 y=&.x,故答案为:y=&x.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,注意运用双曲线的定义和解直角三角形,考查运算能力,属于中档题.2 214.(2017上海浦东新高三一模)过双曲线C:=
11、-上=1的右焦点F作一条垂直于x轴的垂线交双曲线C 矿 4的两条渐近线于4 B两点,O为坐标原点,则。钻的面积的最小值为.【答案】8【分析】求得双曲线的b,c,求得双曲线的渐近线方程,将x=c代入双曲线的渐近线方程,可得4 B的坐标,求得回。八B的面积,运用基本不等式可得最小值.2 2【详解】解:双曲线C:=-二=1的b=2,c2=a2+4,(a 0),a2 42设F(c,0),双曲线的渐近线方程为y=x,a由x=c代入可得交点八(c,),e(c,-),a a.1 4c即有团048的面积为S c*2 a一+4 4 I4 c2-=2(a H)4./a =8,a a a当且仅当a=2时,回048的
12、面积取得最小值8.故答案为:8.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程的运用,考查三角形的面积的最值求法,注意运用基本不等式,考查运算能力,属于中档题.2 215.(2017上海青浦高三二模)已知双曲线三-1三e=l(0)的一条渐近线方程为丁=2/则。=【答案】3b b【分析】根据双曲线的标准方程可判断焦点在轴上,则渐近线方程为丁=g,即2=2,故可得+3=人=2,a a求解即可【详解】因为渐近线方程为y=2%,且焦点在X轴上,b所以=2,即万=2。,a 因为“0,所以+30,贝!+3=人=21,所以=3故答案为:3【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的应用,考查双曲线的几何性质1
13、6.(2017上海高三模拟预测)若、工是双曲线72=1的两个焦点,点尸(8,%)在双曲线上,则M Pg 的面积为_.【答案】56【分析】求出焦点坐标,把尸(8,%)点坐标代入双曲线方程求出加,由面积公式计算三角形面积.【详解】根据题意,双曲线的方程为:-*2=1,【答案】3【分析】由双曲线的性质结合题意可得,=2,即可得解.a【详解】双曲线*-:/=1(。0)的一条渐近线方程为2%丁=0,a:.,=2 即 q=L a 2故答案为:【点睛】本题考查了双曲线性质的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.2 218.(2020上海高三模拟预测)已知双曲线土 21=1的一个焦点耳(5,0),其中一条渐近
14、线为/,过作 m 16片A_U交/于A,则A到原点距离是.【答案】3【分析】利用双曲线的方程及焦点坐标得出根=9,则可写出渐近线/的方程,然后根据题目条件利用几何 法解出.点A到原点的距离.4其焦点在轴上,且c=7T=逐,则其焦点坐标为(土石,则田图=26,2 _又由点。(8,%)在双曲线上,则有,一巾=1,解可得为=而,故八片。鸟的面积5=白尻卜山用=56,故答案为:5G.【点睛】本题考查双曲线中焦点三角形面积,求出焦距和双曲线上点的纵坐标,利用三角形面积公式计算.17.(2020上海金山高三二模)已知双曲线士-y2=i(qo)的一条渐近线方程为2工一丁=0,则实数。=a【详解】由题意得:m
15、+16=25,解得机=9,4 4 3设渐近线/:y=1X,则ta n?AO片所以cos?AOK又因为|。耳|=5,故|Q4|=5cos?AO6 3.故答案为:3.【点睛】本题考查双曲线的标准方程及渐近线的应用,较简单.解答时,注意数形结合,利用几何法求解.2 219.(2018上海浦东新华师大二附中高三三模)如果双曲线工-匕=1的焦点在y轴上,焦距为8,则实 3m m数相:_【答案】-4【分析】先化为标准式,再由焦距为8,列出m方程,即可得到结论.【详解】由题意,双曲线工-匕=1的焦点在y轴上,则?=1,半焦距为4,则-m-3m=16,3m m-m-3m0m=-4.故答案为-4.【点睛】本题考
16、查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质,属于基础题.20.(2017长宁上海市延安中学高三三模)如图,在矩形ABCQ中,AB=12,3C=5,以A、3为焦点的 2 2双曲线M:=1恰好过C、0两点,则双曲线M的标准方程为_.矿 hDycBx2 2【答案】f【分析】根据焦点坐标和半通径长可构造方程组求得进而得到所求标准方程.2 2 2+)2=6?=36 r 2=16【详解】设双曲线M标准方程为:0-斗=1 二,解得::一a2 b2 =5 Z?2=20、a2 2双曲线M标准方程为土-L=116 20Y2 V2故答案为:土-匕=116 20【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解问题,属于基础题.21.(
17、2020上海崇明高三一模)若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为10,则它的标准方程为.r2 v2【答案】二-匕=1 9 16【分析】根据顶点坐标求得根据焦距求得进而根据从=2一4求得乩进而求得双曲线的标准方程.【详解】依题意可知。=3/=5回 h=025-9=4根据顶点坐标可知焦点在1轴,光2 V20双曲线的方程为土-乙=1.9 16v-2 2故答案为:土-匕=19 16【点睛】本题考查了由Q,b,c求双曲线的标准方程,需熟记02=储+,属于基础题.22.(2021上海高三专题练习)设厂为双曲线=ieo)的右焦点,O为坐标原点,P、Q是以。尸 b为直径的圆与双曲线渐近线的两个交点.若归。
18、=|0耳,则人=.【答案】1【分析】由已知得出点坐标,代入渐近线方程即可.【详解】由已知|PQ|=|O外可得P(U又点在渐近线.上,二:二.;A1/2 2 a 2。2又。=1,.b=l 三、解答题223.(2019上海黄浦高三二模)已知双曲线C:Y-2T=190).b(1)若双曲线c的一条渐近线方程为y=2x,求双曲线c的标准方程;(2)设双曲线C的左、右焦点分别为6,B,点夕在双曲线。上,若尸6J尸工,且AP6/7的面积为9,求。的值.2【答案】f 一匕=1;b=342【分析】(1)由双曲线C:%2二=1(80)的渐近线为y=Zzx,而它的一条渐近线为y=2%,所以人=2,b从而可得双曲线的
19、标准方程;(2)由尸,_LP居,且心耳工的面积为9,可得|尸/讣|尸周二18,由双曲线的定义可知|尸6HpM=2a=2,两边平方,再结合勾股定理和c2=a 2+可求出匕的值.2【详解】因为双曲线C:%21=1伍0)的渐近线为度法,而它的一条渐近线为y=2%,所以匕=2,2所以双曲线的标准方程为X2 一乙=1,4(2)因为尸片_LP&所以=:疗用廿周,因为AP K的面积为9所以|尸耳卜|尸国=18,又因为为耳|一|玛|=2。=2,所以四-2冏卜|尸马+|产乙=4,所以归耳+忸闾2=40,又因为|出+|产研=山段2=公2,所以。2=10,所以1+从=1(),所以。=3.【点睛】此题考查的是双曲线的
20、基本运算,属于基础题.224.(2017上海崇明高三一模)已知点耳、鸟为双曲线C:%2 一%=1SO)的左、右焦点,过尸2作垂直于工 轴的直线,在入轴的上方交双曲线C于点M,且/叫尸2=30。.求双曲线C的方程;(2)过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为8、辱求西理的值.【答案】x2-=1;(2)|【分析】在直角三角形肛鸟中,根据=30。,可以求出孙,鸟的长,利用双曲线的定义得到等式,可以求出c,也就能求出匕,最后写出双曲线的方程即可.确定双曲线的渐近线方程,设出点P的坐标,根据点到直线距离可以求出国|,|珂的长,利用平面向量数量积的定义,两条渐近线的夹角,最后求出所配
21、的值.【详解】在直角三角形5鸟中,因为居=30。,所以有tan/MFF?=鲁,cos/MRF2=债=MF?=:6c,MR=:Gc,由双曲线的定义可知:l r 2 LV1.1.D Ja q _ 2鸟一孙=2。=2=7辰一77=2=。=6,。=7开=2=2,所以双曲线。的方程是X2匕=1.3 3 2设尸(%,为)是双曲线C上任意一点,故有2焉-第=2两条渐近线方程为::岳y=04:岳+y=O,设4:6y=0的倾斜角为。,故ta na=0,设两条渐近线在第一、四象限夹角为仇所以1 f o tn j 1.cos=cos la -=,于是有 cosPq,PA=-cos。=一.1+ta n-a 3 3因为
22、P到双曲线两条渐近线的距离为:ie I后-%距龙。+%1时巫=他黑尼富lcos西西=吗咧一29【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了平面向量数量积的运算,考查了数学运算能力.技能专题练J(能力题)一、单选题2 21.(2019上海宝山高三一模)设点M、N均在双曲线C:?-;=1上运动,K、尸2是双曲线。的左、右焦点,则|丽+近一2丽|的最小值为()A.2a/3 B.4 C.2币 D.以上都不对【答案】B【分析】根据向量的运算,化简得|颂+砧-2丽卜|2曲-2丽卜2|而结合双曲线的性质,即可求解.【详解】由题意,设。为小耳的中点,根据向量的运算,可得必+MF;-2网=12Mo-2砌=斗叫,又由N
23、为双曲线C:-1=1上的动点,可得|而上。,所以防+*-2砌=2M22。=4,即MF;+-2砌的最小值为4.故选:B.【点睛】本题主要考查了向量的运算,以及双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用,其中解答中利用 向量的运算,合理化简,结合双曲线的几何性质求解是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能 力,属于中档试题.2 22.(2019上海杨浦复旦附中高三三模)42是圆锥曲线三-J=l的焦距与实数2无关的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【分析】将曲线分为椭圆或双曲线两类,利用椭圆或双曲线的性质列不等式,由此求得4的取值范围,进而 判
24、断出充分、必要条件.2 2 2 2【详解】若圆锥曲线/J=l,即上+=1为椭圆,则/=心+5-(4-2)|=7,即焦距与几无 A+5 2-A 2+5 2-2 1 1卜+50关.此时卜一20,解得;l2.兄+5/几一22 2若圆锥曲线三-7=1为双曲线,则。2=,+5+(2-刈=7,与4无关.此时(X+5)(2-为0,解得4+5 2-X5 v X v 2.2 2所以当5,2)口(2,内)时,圆锥曲线/二一4=1的焦距与实数几无关.4+5 2 Z2 2所以“丸2是圆锥曲线二-d=1的焦距与实数丸无关的充分不必要条件.2+5 2-A故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆和双曲线的几何性质,考查分类讨论的
25、数学思想方法,考查充分、必要条件 的判断,属于中档题.3.(2019上海松江高三二模)过点(1,。)与双曲线上-2=1仅有一个公共点的直线有()4A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】D【分析】可判断出点(1,。)不在曲线上,依据其几何性质可判断切线与平行于渐近线的直线均满足只有一个公 共点的条件【详解】由题可知点(1,0)不在双曲线上,则过该点可作双曲线的切线有2条,平行于渐近线的直线由2条,这4 条直线与双曲线均只有一个公共点故选D【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系,当过双曲线外一点作直线与双曲线只有一个公共点,由两种情况:(1)直线与双曲线相切;(2)直线平行于双曲线的渐近线
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