求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法-毕业设计(论文).pdf
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1、硕士学位论文求解一类非线性抛物型方程的局部一 维化方法Locally one-dimensional methods for solving a class of nonlinear parabolic equations:万方数据大连理工大学硕士学位论文摘 要偏微分方程数值解的理论和方法是计算数学研究领域中非常具有挑战性的课题,随 着计算机技术的日益发展,通过数值计算求解实际物理过程中的数学模型,越来越成为 国内外科研发展的前沿。而抛物型方程作为一类重要的偏微分方程,其理论研究和解法 近年来逐渐趋于成熟,这使得其在各大学科领域的研究和应用更为广泛。目前求解此类 方程,常采用有限差分法进行离散
2、,由于其简单直观、易于操作等优点,在众多方法中 占有十分关键的地位。其中,显格式计算方便且容易实现,但精度低且不能保证稳定性;隐格式虽与显格式相比稳定性更好,但在实际数值模拟过程中,往往需要计算高维或非 线性方程,其在处理高维问题时导致计算量较大。本文主要考虑如下的非线性抛物型方程(组):Qu=V(o(x,y,z,/,u)VM)4/(x,z,/,M),x,y,z e Q,/0 ut对于此方程(组)的初边值问题,在多数情况下解决的是的情形,即a与 无关,但在本文主要讨论a=。(口)的情形,即a与u相关。本文主要采用由Dya konov和 Ya nenk。提出的局部一维化方法(简称LOD),此方法
3、主要用于求解高维方程,但由于 非线性问题的固有特性,非线性项难以处理且其过渡层的值是难以确定的,使得求解过 程困难,即使给出一些简化方法,计算精度也会受到影响。针对上述的一系列问题,本 文在已有的LOD方法的基础上进行改造,提出了对于非线性项的两种处理方法,相比以往文献中所给的方法,本文所构造出的差分格式具有计算量较少,误差易于掌握,程序不难实现等优点。文章的主要内容安排如下:第一部分,介绍非线性抛物型方程的研究背景及意义,以及现有的求解此类方程的 理论和方法。第二部分,介绍一些关于几种差分格式的相关内容。第三部分,介绍局部 一维化格式,给出了其离散过程,并针对线性抛物型方程进行了截断误差与稳
4、定性分析,数值计算的结果也表明了方法的有效性。第四部分,介绍针对非线性抛物型方程的非线 性项。()的两种处理方法,此部分是对上一部分的结果做了进一步的改进,并给出两组 数值实验。最后,给出总结与展望。关键词:三维非线性抛物方程;非线性项;有限差分;局部一维格式;误差估计万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法Loca lly one-di mensi ona l meth ods for solvi ng a cla ss of nonli nea r pa ra boli c equa ti onsAbstractIn th e resea rch fi eld of computa
5、 ti ona l ma th ema ti cs,th e th eory a nd meth od of numeri ca l soluti on of PDE i s a very ch a lleng i ng ta sk.Wi th th e i ncrea si ng development of computer tech nolog y,people use numeri ca l computa ti on to solve ma th ema ti ca l model i n th e a ctua l ph ysi ca l process,a nd i t h a
6、s i ncrea si ng ly become th e forefront of th e resea rch a nd development a t h ome a nd a broa d.Pa ra boli c equa ti ons a re a n i mporta nt cla ss of pa rti a l di fferenti a l equa ti ons,a nd th ei r th eoreti ca l study a nd soluti on a re well studi ed i n recent yea rs,wh i ch ma ke th ei
7、 r resea rch a nd a ppli ca ti on more wi dely i n th e ma jor subject a rea s.At present,th e fi ni te di fference meth od(F DM)i s usua lly used to solve th ese equa ti ons.Beca use of i ts si mple a nd i ntui ti ve opera ti on,th e F DM pla ys a very i mporta nt role i n ma ny meth ods.Among th e
8、m,th e expli ci t sch eme i s ea sy to i mplement,but i t often h a s low preci si on a nd poor sta bi li ty.Th e sta bi li ty of th e i mpli ci t sch eme i s better th a n th a t of expli ci t sch eme,but i n th e a ctua l numeri ca l si mula ti on process,i t i s often requi red to ca lcula te h i
9、 g h di mensi ona l or nonli nea r equa ti ons,wh i ch lea ds to a la rg e a mount of computa ti on wh en dea li ng wi th h i g h di mensi ona l problems.In th i s pa per,loca lly one-di mensi ona l meth ods a re consi dered for solvi ng th e followi ng nonli nea r pa ra boli c equa ti ons=V(a(x,y,z
10、 J,u)V u)+f(x,y,z,t,u),x,y,zeQ,t0.dtIn th ese equa ti ons,th e i ni ti a l bounda ry va lue problem i s ma i nly di scussed.F or th e a bove problems,i n most ca ses,people work on th e si mple ca se a h a(u).Th a t i s,th e a h a s noth i ng to do wi th u.But now we a re g oi ng to di scuss th e ca
11、 se a=a(u).Th i s pa per a ppli es th e tech ni que of loca lly one-di mensi ona l(a bbrevi a ted a s LOD)meth od proposed by Dya konov a nd Ya nenko.Th i s meth od i s pri ma ri ly used to solve h i g h di mensi ona l equa ti ons.However,due to th e i nh erent ch a ra cteri sti cs of nonli nea r pr
12、oblems,th e nonli nea r term i s di ffi cult to h a ndle a nd i t i s di ffi cult to determi ne th e va lue of th e buffer la yer,so th e process i s h a rd to solve.Even th oug h some si mpli fi ed meth ods a re g i ven,th e ca lcula ti on a ccura cy i s a lso a ffected.F ocusi ng on a seri es of q
13、uesti ons for th e a bove problems,on th e ba si s of th e exi sti ng LOD meth od,th i s pa per sug g ests to use two meth ods to dea l wi th nonli nea r terms a(u).Compa red wi th th e meth ods g i ven i n th e previ ous li tera ture,th e di fference-II-万方数据大连理工大学硕士学位论文sch eme constructed i n th i
14、s pa per h a s th e a dva nta g es of less computa ti on,ea sy to g ra sp a nd ea sy to i mplement a nd so on.Th e ma i n works of th e th esi s a re a rra ng ed a s follows:Th e fi rst ch a pte r i ntroduces th e resea rch ba ckg round a nd si g ni fi ca nce of th e nonli nea r pa ra boli c equa ti
15、 on,a s well a s th e exi sti ng th eory a nd meth od for solvi ng th i s ki nd of nonli nea r pa ra boli c equa ti ons.In Ch a pter 2,some rela ted contents of severa l di fferent sch emes a re i ntroduced.Ch a pter 3 descri bes th e loca lly one-di mensi on forma t a nd g i ves i ts di screte proc
16、ess.Th e trunca ti on error a nd sta bi li ty a na lysi s of li nea r pa ra boli c equa ti ons a re a lso ca rri ed out.And i ts effecti veness i s sh owed i n th e numeri ca l experi ment results.In Ch a pter 4,two processi ng meth ods for nonli nea r pa ra boli c equa ti ons a re i ntroduced.Th i
17、s ch a pte r ma kes a furth er i mprove ment for th e result of th e la st ch a pter,a nd two sets of numeri ca l experi ments a re a lso g i ven i n th i s pa rt.F i na lly,a summa ry ch a pter i s g i ven.Key Words:3-D nonli nea r pa ra boli c equa ti on;nonli nea r term;fi ni te di fference sch e
18、me;loca lly one-di mensi ona l sch eme;error esti ma ti on-i n-万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法目 录摘 要.IAbstra ct.II1绪论.11.1 非线性抛物型方程研尢背景及意义.11.2 非线性抛物型方程国内外研究现状.313 本文主要的研究内容.42传统有限差分格式.62.1 引言.62.2 古典显式差分格式.62.3 古典隐式差分格式.82.4 Cra nk-Ni ch olson 隐式差分格式.92.5 本章小结.113线性抛物型方程的局部一维化方法.123.1 引言.123.2 差分格式的建立.123
19、.3 收敛性分析.133.4 数值实验.153.5 本章小结.174非线性抛物型方程的局部一维化方法.184.1 引言.184.2 一维非线性抛物型方程差分格式的建立.184.3 三维非线性抛物型方程差分格式的建立.224.4 数值实验.294.5 本章小结.31结 论.32参考文献.33攻读硕士学位期间发表学术论文情况.36致 谢.37大连理工大学学位论文版权使用授权书.38-IV-万方数据大连理工大学硕士学位论文1绪论偏微分方程数值解的理论和方法是计算数学研究领域中非常具有挑战性的课题,很 多实际问题都可以转化为此类方程的数学模型。本章主要介绍非线性抛物型方程发展背 景及意义,同时介绍了偏
20、微分方程的一些基础知识和相关性质,阐述了抛物型方程的定 义和性质,并对本文的研究内容做了大致的介绍。1.1非线性抛物型方程研究背景及意义随着科技进步和社会发展,大量复杂的计算问题不断出现在人们面前,而数值计算 方法的出现,解决了一系列复杂的计算问题。如然科学与实际工程中的很多运动发展轨 迹与平衡现象等,都可以转化为数学模型,用偏微分方程来描述【I】。微积分理论的成立,极大地推动了计算数学的发展,偏微分方程被人们用作描述、说明、预测各种自然界的现象和本质,而后人们将研究方法与成果应用于各个研究领域,成效卓著,展现了偏微分方程在人类认识自然界奥秘中的巨大作用。求解以自然科学中的实际应用问题为背景的
21、数学模型的算法,成为计算数学的重要 研究方向,它连接着许多自然现象和实际工程问题,不断地给人们提出新的课题和方法,并被广泛应用于数学的各个分支,促进其发展的同时又引入若干处理问题的有效工具。至此,近年来偏微分方程己经占据数学学科中的重要地位,成为一座连接数学学科各大 分支和其它领域之间的重要桥梁。定义1.产设自变量为小再,,x.(A2),未知函数为“=马,天),则表示为关于的偏微分方程。对”=”力,天,天)及其各阶偏导致的全体都是线性的,则称之为线性的,反之称为 非线性的。例如对于下面的线性偏微分方程工与&门户+丑方/不广力善+仪不丹川二/区,X“)(1.2)M dx,dxJ 片 因当为血,c
22、均为常数时,此时称之为常系数的,反之称为变系数的;当/三0时,此 时称之为齐次方程,反之称为非齐次。对于非线性情况,形如下面方程:万方数据求解一类非线性抛物型方程的局部一维化方法6,加 加、d2u.duM 弼 况 四为 曲,X.)(1.3)当最高阶微分表现为线性形式,此时称之为拟线性的;当最高阶微分不是线性形式,称方程为完全非线性的。由定义可以看出,大多数情况下,偏微分方程的解析解,很难以一个精确表达式来 给出,即使给出也无法保证误差性,对于非线性情况下处理的难度更大。因此,通常以 数值计算的方法得到其近似解。近半个世纪,偏微分方程数值解的理论研究和解法逐渐趋于成熟,这使得其在各大 学科领域的
23、研究和应用更为广泛。定义1.2二阶线性方程弋 d2u 3,du,其中=1,n),c及/是维空间(玉,x”)的某区域C中的函数,为=不同时为零,且不失一般性,可设%=%。引入二次型。(=Z ajp(1.4)(1.5)取Q中一点p(x;,曜),则(1)若其在点p处正定或负定,则称在点p处为椭圆型方程。若Q中处处为椭圆 型,则我们称方程是椭圆型;(2)若其在点p为退化,其有同号的特征值且只有一个特征值为0,则称在点p处 为抛物型方程。若C中处处满足,则我们称方程是抛物型;(3)若其在点p不退化,又不为正(负)定,且有-1个特征值同号,则称方程 在点为双曲型,若方程在C中的每一点都为双曲型,称方程在区
24、域Q中为双曲型。诸如石油开采、核污染、统计物理、声热同传现象、生物种群演化模型、水文地质 制图等问题模型的研究,很多情况下,都可转化为抛物型的数学模型,且由于其复杂的 关系描述,大部分情形下都是#线性的MJ。因此,对此方向的研究,具有非常深刻的价 值。例如抛物型方程的几个经典实例有:扩散方程-2-万方数据大连理工大学硕士学位论文如=口(。/+S(1.6)dt其中8=3(、,丁/,1)代表扩散场(时亥打在(x,y,z)上的分子浓度);。为扩散系数,S为扩散函数。热传导方程Cp=(kVT)-q dt(1.7)其中。代表比热,T=T(x,y,z J)代表温度,左为热传导系数,夕为热源函数。薛定渭方程
25、讪生=-七50科+Ve(1.8)其中为代表普朗克常数,机为质量,/为位势,。为波函数。1.2 非线性抛物型方程国内外研究现状迄今为止关于非线性抛物型方程,沈隆钧、周毓麟、袁光伟、ASKa la sh ni kov等人,在理论研究方面得到了极具价值的优秀成果g山。在数值分析研究方面以J.Doug la sl2!等为代表,提出并探究了方程的解(经典解、广义解、数值解等)。在进行计算的过程 中,对于求解非线性抛物型方程时,仅个别情形下可以方便地求得其精确解(且往往难 以保证求得解的精度与稳定性),一般来说,当所求方程比较复杂,或其精确解不能或 难于求得,这样代替改为应用数值计算来求得定解问题的数值解
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