解竞赛题的钥匙:算谜问题、凑凑、估估、揭谜底.pdf
《解竞赛题的钥匙:算谜问题、凑凑、估估、揭谜底.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《解竞赛题的钥匙:算谜问题、凑凑、估估、揭谜底.pdf(189页珍藏版)》请在咨信网上搜索。
1、解竞赛题的钥匙一算谜问题凑凑、估估、揭谜底算谜问题是一类趣味性较强的数学游戏,它不仅加深对小学数学基本知识的 理解,对于培养学生的观察能力、分析能力、推理判断能力非常有益。1958 年开始,心理学家以算谜为例子,研究人类解决问题的思维过程。由于算谜问题 构思精巧,变化多端,并且具有不同的难度层次,所以经常被智力竞赛和数学竞 赛所选用。算谜问题,一般指那些含有未知数或待定的运算符号的算式。这种不完整的 算式就像“谜”一样,要我们根据运算法则和逻辑推理方法进行推理、判断把算 谜“猜”出来,使不完整的算式补充完整。我们通过一些例子来讲述解答算谜问题的思考方法和技巧。例 1 901307=100140
2、205=把+、-、X、分别填在适当的圆圈中,并在长方形中填上适当的整数,可 以使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几?(1986年第一届“华罗庚金杯赛”决赛试题)解法:先考虑第一个等式,等式右边是100比9、13、7大得多,所以等式 的圆圈里首先应考虑+”或“X”,但9X13=117比100大,所以得9+13X7=100。第二个等式中,题意要求在长方形中填整数,而且只剩下减号和除号,所以 得 14 2-5=2。即长方形中的数是2。例2在15个8之间添上+、-、义、使得下面的算式成立:8888888888888881986(北京市第二届小学生“迎春杯”数学决赛题)分析:这个式子数字很大,我
3、们先凑出与1986较接近的数,如:8888-8+888=1999。这个数比1986大13,这样原问题就转化为:能否用剩下的七个8 经适当的四则运算得出一个等于13的算式呢?还是用上面的想法:11与13 较接近,而88+8=11这样一来问题就转化为能否用剩下的四个8写出一个等于 2的算式。而这是不难办到的。如:84-8+84-8=2解法:8888 4-8+888-88 4-8-8 4-8-8 4-8=1986用上面类似的方法你能找到另外的解答吗?以上二例是填写运算符号,例1是根据运算结果进行逆推,是解答算谜问题 的常用方法。例2用逆推的方法比较麻烦,因此,我们先经过估算,凑出一个与 结果较接近的
4、数,然后凑凑、算算,使算式成立。下面我们来讲述填补等式或竖式的算谜问题。例3将0,1,2,3,4,5,6这七个数字填在圆圈和方格内,每个数字恰 好出现一次,组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数是几?O X 0-0-0 4-O(1986年第一届“华罗庚金杯赛”复赛试题)解法:要求用七个数字组成五个数,根据算式,应当三个数是一位数,两个 二位数,二位数应是积和被除数。和1不宜做一位数,一位数如果是2,则会出现2X6=12(2重复出现),2X5=10(经试验不行),2X4=8(7个数中没有8),2X3=6(6不能成为商),因此,2也不能做一位数。0、1和2只能用来组成二位数,它可以组成
5、12和21,经验算,21不能填 在方框内,于是得到3X4=12=60+5。即填在方框内的数是12。例4下面的算式里,每个方框代表一个数字。问:这6个方框中的数字的 总和是多少?(1991年第三届“华罗庚金杯赛”初赛试题)+19 9 1分析:解决这样的问题,我们需要认真审题,抓住式中的某些特点,寻找突 破口。这个题目的突破口在百位上,由于十位至多向百位进1,且百位上两个口内 数字之和加上十位向百位的进位等于19,可以推出百位上两个口内数字均填9,且十位向百位进1;同理,由于十位上两个口内数字之和加上个位向十位的进位 等于19,可以推出十位上两个口内数字均填9,且个位向十位进1;由此推出个 位上两
6、个口内数字之和等于11。解法:由于两个加数的十位和百位数字均为9,两个加数的个位数字之和为 11,因此所有口内数字之和为9X4+11=47。1口例5右式的每个口内填入“0,1,2,2 3,4,5,6,1口7,8,9”中的某一个数字,使得该除式成立。(上海市1988年小学数学竞赛试题)分析:根据除式条件,首先可知除数的十位数字是1,第一次相除后,余数 是32,由此推出商数的个位数字只能是2,除数的个位数字也只能是6。解法:1 21 6)1 9 2 1 6FT3 2-0例6在口中填上适当的数字,使算式成立。1 7 1 6第一行 第二行 第三行分析:因为除数是三位数,并且百位数为6,它和商的首位的乘
7、积也是三位 数,所以商的首位是1;因为第一行的个位数是7,所以除数的个位数也是7;因为第二行的个位为1,所以商的个位为3。因为3X7=21,必须向十位进 2,所以根据十位上的6,推知除数的十位是8。商与除数确定后,其他数字都易 于确定。解法:6 8 718 9316 8 72 0 6 12 0 6 1例7 屈也表示一个四位数,EFG表示一个三位数,A、B、C、D、E、F、G、代表19中的不同的数字。已知ABCD+EFG=1993,问:乘积咫瓦X闲的最大值与最小值差多少?(1993年第三届“华罗庚金杯赛”决赛第一试试题)分析:这是一道数字谜的最值问题,要选择好“突破口”通常从首位或未位 数字入手
8、。解法:由已知条件A B C DE F G9 9 3首先确定A=l,然后再看被加数与加数的个位数字之和:D+G=3或13,由 题意A、D、G代表不同的数字,于是D+CN2+3=5,因此有D+G=13。同理,被 加数与加数的十位数字之和:C+FW8+9=17。这样可以断定C+F=8,最后可以 推知,被加数与加数的百位数字之和B+E=9,下面考虑乘法算式IBCDXEFGo为了使乘积最大,显然乘数的首位数字E应该尽可能大,而B+E=9。于是B 应该尽可能小,这样可以断定取B=2,E=9,根据同样理由,可以确定乘数的十 位数字F应该取5,因为这时C的最小值可取3;最后确定C=9,D=4,所以乘积菽5X
9、而后的最大值是1234X759=93660 6o类似地,为了使乘积最小,可以依次确定B=7,E=2,C=5,F=3,D=9,C=4,所以乘积咫瓦X菽的最小值是1759X234=411606。936606-411606=525000。所以,乘积ABCDXEFG的最大值与最小值差525000。例8在右边的算式中A、B代表不同的数字,若算式成立,求出A、BoA BX BA1 1 43 0 43 15 4(1980美国长岛小学数学奥林匹克竞赛试题)解法:算式中,ABXA=114将114分解因式,114=2X3X19,然后将114 写成一个二位数与一个一位数的积。114=52X2=38X3=19X6,显
10、然 38X3 符合要求,所以 A=3,B=8。例9右边乘法算式中的来参加数学邀请赛”来参加数学邀请赛”八个字 各代X赛表一个不同的数字,其中赛代表来来来来来来来来来9,来代表,参代表,加代表,数代表,学代表,邀代表,请代表 o(1986年“小学生数学报”数学邀请赛试题)解法:已知赛代表9,赛X赛=9X9=81,所以来代表1,即乘积为lllllllllo 根据积小 一个因数=另一个因数,可以求得被乘数111111111+9=123456789。从而得出:参代表2,加代表3,数代表4,学代表5,邀代表6,请代表7。例10下面乘式中的“趣味数学”四个字各代表一个互不相同的数字,每 个方框中可以填0至
11、9任何一个数字,但最高位不能填0,试确定算式中的每一 个数字。趣味数学-趣味数学 .第-*行 第二行 口口 口.第三g.第四行解法:为叙述方便,把每行中的数字从上到下称为第一行,第二行,从第二行看,“数”代表0。从第三行看,“趣”代表的数自乘后仍是一位数,所以这个数必须小于等于 3。而且当“趣”代表3时,“味”必须小于等于2。从第四行看,第三行的第一个数字必须是9,因此“趣”代表3。又因“数”代表0,如果“味”代表1,那么第二行的第一个数“3”与第三 行的第二个数“3”相加就没法进行。所以,“味”必须是2。于是“趣”、“味”、“数”分别为“3”、“2”、“0 o最后看第一行“学”不能大于3,否
12、则第一行将是五位数,又因为四个数字 表示互不相同的数,所以学只能是“1”。通过上面例题分析,解答算谜问题要注意:1.首先要注意算式中的各个文字、字母、符号都只能取0至9中的某一个数 字。2.要认真分析已知算式中给出的各种数量关系,根据这些数量关系,选择“突破口”。3.突破口的选择往往从确定一个数(乘数,被乘数,除数或商)的个位、首 位或其他数位上的数字入手。4.必要时要采用枚举和筛选相结合的方法,淘汰那些不合题意的解,寻找正 确答案。5.运用估算的方法,缩小枚举和试验范围以减少试验次数。习题一1.在1199之间填上适合的运算符号,使等式成立。1199=10(天津市第一届小学生“我爱数学”邀请赛
13、试题)2.填上合适的符号,使等式成立。4444=14444=24444=34444=44444=5(天津市第二届小学生“我爱数学”预赛试题)3.在下面式中填上算术运算符号、括号,使式子成立:(1)1 2 3=1;(2)1 2 3 4=1;(3)1 2 3 4 5=1;(4)1 2 3 4 5 6=1;(5)1 2 3 4 5 6 7=1。(1984年重庆市小学数学竞赛试题)4.填上适当的运算符号,使下式成立:1 2 3 4 5=100(1983年小学生报数学邀请赛)5.在下面十五个9之间添上+、-、X、)使下面算式成立:99999999999999 9=20006.在被除数小于100的情况下,
14、在右图口内填上适当的数:=44+c z也都是奇数,连同b 2=5共有六个奇数,矛盾(如图2)。(2)如果a2为偶数,那么a3、cz为偶数。又因为C3为奇数,as+b s+c s=c i+c+c尸15,所以b 3、G为偶数。这样就有5个偶数,矛盾(如图3)。所以&不能为奇数。同理可证J、C3、a,都不能为奇数。弄清了这一点就可填写三阶幻方(如图 4、图 5)。图4图5例2把4至12填在3X3的方格内,制成三阶幻方。解:(1)求幻和:(4+5+12)+3=72+3=24。(2)求中心数:V72+3b 2=24X4,,3b 2=24,,b 2=8。(3)确定四角数:由上题九个数中有五个为奇数,中心数
15、为奇数,四角数 为偶。现在九个数中五个为偶数,中心数为偶数,猜想四角数应为奇数,经验证 这个猜想是正确的,所以在四个角上填7、5、9、11。填其余数字就容易了(如 图6)。图6数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、既辐 射又封闭的复合型数阵。例3将1至7七个数字填入图中的圈内,使每条线上的三个数的和相等。解:首先确定中心数。不妨设中心数为a,则l+2+3+4+5+6+7+2a能被3整 除。所以,(28+2a)4-3=284-3+2a4-3o 其中,284-3 商 9 余 1。因此,2a+3 的余数必须是2,刃陷 当a是什么数时2a+3的余数才是2呢?为此,我们在1 7六
16、个数中试验选择如下:当a=l时,2a+3=2+3商0余2;(符合要求)当 a=2 时,2a+3=4+3 商 1 余 1;当 a=3 时,2a+3=6+3 商 2 余 0;当a=4或7时,余数也是2。(符合要求)所以,当a=l、4、7时,2a+3的余数是2,即中心数为1,4,7。当a=l时,(28+2)4-3=10,所以除中心数外,其他两个数的和是10 T=9,只要把2、3、4、5、6、7按和为9分成三组填入。内即可。当a=4时,(28+8)4-3=12,除中心数外其他两个数的和为8。当a=7时,(28+14)4-3=14,除中心数外其他两个数的和为7。因此,可得三个解:例4将1至6分别填入圈内
17、,使各边上三个。内数字和相等。解:首先应确定三个顶点上。内的数字。用k表示每边上三个。内的数字和,用a、b、c分别表示三个顶点。内的数 字,因为三个顶点上的数在求和时多用了一次,所以l+2+3+4+5+6+a+b+c=3k,21+a+b+c 3k,即 k=(21+a+b+c)43。又因为a、b、c可以分成七组数:1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6;1,2,6;1,3,5;2,4,6O我们把这四组a+b+c的和与k的值列表如下:a bca+b+ck=(21+b+c)+31、2、3691、2、69102、3、49101、3、5910J3、4、5121112、4、612114、5、615
18、12从表中看出,当a+b+c的最小值是1+2+3=6时,k的最小值是9。当a+b+c的值最大是4+5+6=15时,k的最大值是12。1.当 a+b+c=6,k=9 时,a、b、C 分别是(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1),那么,其余三个。内分别 填4、5、6o我们可以填出六种解法:从上面答案可发现,只要把一个解中的数左右旋转或适当调换就可以得到其 余的五个解。我们把第一个解叫做基本解,其余的五个解看作与基本解是同一个 解。2.当a+b+c=9,k=10时,试验如下:(1)如果a=l,b=2,c=6(如右图),那么在三角形底边上只有填2
19、,才能 使底边上。内数的和是10,但这样重复,因此无解。(2)如果a=l,b=3,c=5,那么其余三个。内分别填2、4、6,得本题的第 二个基本解。(3)a=2,b=3,c=4 时,无解。3.当a+b+c=12,k=ll或a+b+c=15,k=12时,用上面同样的方法得到下 面的两个基本解:从上面分析,我们可以看到,每一个基本解可得六个解,本题共有24个解,但是今后解答这类问题时,只要求基本解就可以了。例5把1至8八个数分别填入图中的八个。内,使每个圆周上五个数的和 都等于21。解:设两个圆的交叉点上的两个。内各是a、bQ那么,在计算两个大圆周 上10个数的和时,a、b两数都多加了一次,所以1
20、+2+8+a+b除以2 应该是21,即36+a+b=21 X2,从而得a+b=6。在1至8八个数中,只有1和5,2和4这两组数的和是6。(1)如果中间两个。内分别填1和5,另外三个。内三个数的和都应当 是21-6:15,在2,3,4,6,7,8这六个数中,和相等的数只有2,6,7和3,4,8o(2)如果中间两个。内填2和4,其他的数可分成两组1,6,8和3,5,7,分别填入。中。例6把1至7七个数填在右图的。内,使每条线上三个数的和都相等。(1988年无锡市小学生数学竞赛试题)解:本题是例3的发展,设中心数为x,其余各数分别为a、b、c、d、e、fo 根据例3的分析,x可取1、4、7O(1)当
21、=1时,则得每条线上三个数的和为10。a+b+c+d+e+f=28-x=-27 o但 a+c+e=10,b+d+f=10,于是 a+b+c+d+e+f=20 0两种结果产生矛盾,因此,x不能为1。(2)当x=4时,则得每条线上三个数的和为12。a+b+c+d+e+f=28-x=24。但 a+c+e=12,b+d+f=12,于是 a+b+c+d+e+f=24。两种结果一致,因此,x可为4。因为 1+7+4=12,6+2+4=12,5+3+4=12,而且 7+2+3=12,1+6+5=12,所 以可得解(见右图)。图中当1的位置确定后,5与6可以对换,(3与2也相应的对换),因此 有两种不同的形式
22、。而1在外圈上有三个位置可选择,有三种不同形式,这样就 有2义3=6种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换,因此,本题 有6X2=12种不同形式。(3)当x=7时,无解。习题二1.在下面的方格内,每边加起来的数都是5,总数是12,现在请你用任何数 字重新排列,每边加起来仍是5,但总数是13、14。212112122.把 5、7、9、11、13、15、17、19、:使每行、每列、对角线上三个数的和都相等。21分别填入下面正方形的方格里,3.右图中的 A=,B=,C=,D=,E=时,它可能构成一个三阶幻方?4.将1至8八个数填入右图的八个方格内,使上面四格,下面四格,右边四 格,中间四格
23、,对角线上四格和四角四格内的四个数的和都是18。5.用1至5这五个数填入右图中使每行和每列的3个数的和相等。6.将1至9这九个数分别填入右图的。内,使每条辐射支上的三个数的和都 相等。7.将1至11这11个数,分别填入右图中,使每条线段上三个。内数的和都 相等。8.在右图的每个圆圈里填上适当的质数(不得重复),使每条直线上三个数 的和都相等,且均为偶数。(安庆市首届小学数学竞赛试题)9.请将1至8这八个数字填入右图的空方框内,使每条直线上三个数的和都 为质数。(张家口市1990年小学五年级数学竞赛(复赛试题)10.把1至7七个自然数分别填入右图中的圆圈里,使每条线上三个数的和 相等。(1990
24、年济南历下区小学五年级数学竞赛试题)11.把20、21、22、23、24、25这六个数分别放在图中的一个圆圈中,使这 个三角形各边上的三个数之和是相等的。(天津市第二届“我爱数学”竞赛题)12.将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分别填在右图的三角形的圆圈 里,使每条边上的四个数字和等于17。(1983年洛阳市小学生数学竞赛试题)13.如图,四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上 六个质数,它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。问这 六个质数的积是多少?(1986年“华罗庚金杯”决赛试题)14.把1至10这十个数填入右图的十个。内,使每个正方形四个顶
25、点上各数 的和都等于24。15.把5、6、7、8、9、10、11、12、13、14填入右图中的小圆中,使每个 大圆圈中六个数的和是55。(长春市1988年四年级数学竞赛题)16.将195、196、197、198、199、200、201七个数分别填入右图的小圆圈 内,使每条直线上和每个圆上的三个数的和都是594。(石家庄市长安区1989年五年级数学复赛试题)17.将1至10这十个数分别填入图中。内,使每条线段上四个。内数的和相 等。每个三角形三个项点上O内数的和也相等。数列问题从高斯的故事谈起高斯是19世纪德国的著名数学家。他从小喜欢学数学,善于思考,聪明过 人。据说他在读小学三年级的时候,一次
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 竞赛题 钥匙 问题 凑凑 谜底
1、咨信平台为文档C2C交易模式,即用户上传的文档直接被用户下载,收益归上传人(含作者)所有;本站仅是提供信息存储空间和展示预览,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容不做任何修改或编辑。所展示的作品文档包括内容和图片全部来源于网络用户和作者上传投稿,我们不确定上传用户享有完全著作权,根据《信息网络传播权保护条例》,如果侵犯了您的版权、权益或隐私,请联系我们,核实后会尽快下架及时删除,并可随时和客服了解处理情况,尊重保护知识产权我们共同努力。
2、文档的总页数、文档格式和文档大小以系统显示为准(内容中显示的页数不一定正确),网站客服只以系统显示的页数、文件格式、文档大小作为仲裁依据,平台无法对文档的真实性、完整性、权威性、准确性、专业性及其观点立场做任何保证或承诺,下载前须认真查看,确认无误后再购买,务必慎重购买;若有违法违纪将进行移交司法处理,若涉侵权平台将进行基本处罚并下架。
3、本站所有内容均由用户上传,付费前请自行鉴别,如您付费,意味着您已接受本站规则且自行承担风险,本站不进行额外附加服务,虚拟产品一经售出概不退款(未进行购买下载可退充值款),文档一经付费(服务费)、不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
4、如你看到网页展示的文档有www.zixin.com.cn水印,是因预览和防盗链等技术需要对页面进行转换压缩成图而已,我们并不对上传的文档进行任何编辑或修改,文档下载后都不会有水印标识(原文档上传前个别存留的除外),下载后原文更清晰;试题试卷类文档,如果标题没有明确说明有答案则都视为没有答案,请知晓;PPT和DOC文档可被视为“模板”,允许上传人保留章节、目录结构的情况下删减部份的内容;PDF文档不管是原文档转换或图片扫描而得,本站不作要求视为允许,下载前自行私信或留言给上传者【曲****】。
5、本文档所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用;网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽--等)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。
6、文档遇到问题,请及时私信或留言给本站上传会员【曲****】,需本站解决可联系【 微信客服】、【 QQ客服】,若有其他问题请点击或扫码反馈【 服务填表】;文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“【 版权申诉】”(推荐),意见反馈和侵权处理邮箱:1219186828@qq.com;也可以拔打客服电话:4008-655-100;投诉/维权电话:4009-655-100。