解竞赛题的钥匙：算谜问题、凑凑、估估、揭谜底.pdf

解竞赛题的钥匙一算谜问题凑凑、估估、揭谜底算谜问题是一类趣味性较强的数学游戏，它不仅加深对小学数学基本知识的 理解，对于培养学生的观察能力、分析能力、推理判断能力非常有益。1958 年开始，心理学家以算谜为例子，研究人类解决问题的思维过程。由于算谜问题 构思精巧，变化多端，并且具有不同的难度层次，所以经常被智力竞赛和数学竞 赛所选用。算谜问题，一般指那些含有未知数或待定的运算符号的算式。这种不完整的 算式就像“谜”一样，要我们根据运算法则和逻辑推理方法进行推理、判断把算 谜“猜”出来，使不完整的算式补充完整。我们通过一些例子来讲述解答算谜问题的思考方法和技巧。例 1 901307=100140205=把+、-、X、分别填在适当的圆圈中，并在长方形中填上适当的整数，可 以使上面的两个等式都成立。这时长方形中的数是几？（1986年第一届“华罗庚金杯赛”决赛试题）解法：先考虑第一个等式，等式右边是100比9、13、7大得多，所以等式 的圆圈里首先应考虑+”或“X”，但9X13=117比100大，所以得9+13X7=100。第二个等式中，题意要求在长方形中填整数，而且只剩下减号和除号，所以 得 14 2-5=2。即长方形中的数是2。例2在15个8之间添上+、-、义、使得下面的算式成立：8888888888888881986（北京市第二届小学生“迎春杯”数学决赛题）分析：这个式子数字很大，我们先凑出与1986较接近的数，如：8888-8+888=1999。这个数比1986大13,这样原问题就转化为：能否用剩下的七个8 经适当的四则运算得出一个等于13的算式呢？还是用上面的想法：11与13 较接近，而88+8=11这样一来问题就转化为能否用剩下的四个8写出一个等于 2的算式。而这是不难办到的。如：84-8+84-8=2解法：8888 4-8+888-88 4-8-8 4-8-8 4-8=1986用上面类似的方法你能找到另外的解答吗？以上二例是填写运算符号，例1是根据运算结果进行逆推，是解答算谜问题 的常用方法。例2用逆推的方法比较麻烦，因此，我们先经过估算，凑出一个与 结果较接近的数，然后凑凑、算算，使算式成立。下面我们来讲述填补等式或竖式的算谜问题。例3将0,1,2,3,4,5,6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰 好出现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式。问填在方格内的数是几？O X 0-0-0 4-O（1986年第一届“华罗庚金杯赛”复赛试题）解法：要求用七个数字组成五个数，根据算式，应当三个数是一位数，两个 二位数，二位数应是积和被除数。和1不宜做一位数，一位数如果是2,则会出现2X6=12（2重复出现），2X5=10（经试验不行），2X4=8（7个数中没有8）,2X3=6（6不能成为商），因此，2也不能做一位数。0、1和2只能用来组成二位数，它可以组成12和21,经验算，21不能填 在方框内，于是得到3X4=12=60+5。即填在方框内的数是12。例4下面的算式里，每个方框代表一个数字。问：这6个方框中的数字的 总和是多少？（1991年第三届“华罗庚金杯赛”初赛试题）+19 9 1分析：解决这样的问题，我们需要认真审题，抓住式中的某些特点，寻找突 破口。这个题目的突破口在百位上，由于十位至多向百位进1,且百位上两个口内 数字之和加上十位向百位的进位等于19,可以推出百位上两个口内数字均填9,且十位向百位进1；同理，由于十位上两个口内数字之和加上个位向十位的进位 等于19,可以推出十位上两个口内数字均填9,且个位向十位进1；由此推出个 位上两个口内数字之和等于11。解法：由于两个加数的十位和百位数字均为9,两个加数的个位数字之和为 11,因此所有口内数字之和为9X4+11=47。1口例5右式的每个口内填入“0,1,2,2 3,4,5,6,1口7,8,9”中的某一个数字，使得该除式成立。（上海市1988年小学数学竞赛试题）分析：根据除式条件，首先可知除数的十位数字是1,第一次相除后，余数 是32,由此推出商数的个位数字只能是2,除数的个位数字也只能是6。解法：1 21 6)1 9 2 1 6FT3 2-0例6在口中填上适当的数字，使算式成立。1 7 1 6第一行 第二行 第三行分析：因为除数是三位数，并且百位数为6,它和商的首位的乘积也是三位 数，所以商的首位是1；因为第一行的个位数是7,所以除数的个位数也是7；因为第二行的个位为1,所以商的个位为3。因为3X7=21,必须向十位进 2,所以根据十位上的6,推知除数的十位是8。商与除数确定后，其他数字都易 于确定。解法:6 8 718 9316 8 72 0 6 12 0 6 1例7 屈也表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A、B、C、D、E、F、G、代表19中的不同的数字。已知ABCD+EFG=1993,问：乘积咫瓦X闲的最大值与最小值差多少？（1993年第三届“华罗庚金杯赛”决赛第一试试题）分析：这是一道数字谜的最值问题，要选择好“突破口”通常从首位或未位 数字入手。解法：由已知条件A B C DE F G9 9 3首先确定A=l,然后再看被加数与加数的个位数字之和：D+G=3或13,由 题意A、D、G代表不同的数字，于是D+CN2+3=5,因此有D+G=13。同理，被 加数与加数的十位数字之和：C+FW8+9=17。这样可以断定C+F=8,最后可以 推知，被加数与加数的百位数字之和B+E=9,下面考虑乘法算式IBCDXEFGo为了使乘积最大，显然乘数的首位数字E应该尽可能大，而B+E=9。于是B 应该尽可能小，这样可以断定取B=2,E=9,根据同样理由，可以确定乘数的十 位数字F应该取5,因为这时C的最小值可取3；最后确定C=9,D=4,所以乘积菽5X而后的最大值是1234X759=93660 6o类似地，为了使乘积最小，可以依次确定B=7,E=2,C=5,F=3,D=9,C=4,所以乘积咫瓦X菽的最小值是1759X234=411606。936606-411606=525000。所以，乘积ABCDXEFG的最大值与最小值差525000。例8在右边的算式中A、B代表不同的数字，若算式成立，求出A、BoA BX BA1 1 43 0 43 15 4（1980美国长岛小学数学奥林匹克竞赛试题）解法：算式中，ABXA=114将114分解因式，114=2X3X19,然后将114 写成一个二位数与一个一位数的积。114=52X2=38X3=19X6,显然 38X3 符合要求，所以 A=3,B=8。例9右边乘法算式中的来参加数学邀请赛”来参加数学邀请赛”八个字 各代X赛表一个不同的数字，其中赛代表来来来来来来来来来9,来代表,参代表,加代表,数代表,学代表,邀代表,请代表 o（1986年“小学生数学报”数学邀请赛试题）解法：已知赛代表9,赛X赛=9X9=81,所以来代表1,即乘积为lllllllllo 根据积小 一个因数=另一个因数，可以求得被乘数111111111+9=123456789。从而得出：参代表2,加代表3,数代表4,学代表5,邀代表6,请代表7。例10下面乘式中的“趣味数学”四个字各代表一个互不相同的数字，每 个方框中可以填0至9任何一个数字，但最高位不能填0,试确定算式中的每一 个数字。趣味数学-趣味数学 .第-*行 第二行 口口 口.第三g.第四行解法：为叙述方便，把每行中的数字从上到下称为第一行，第二行，从第二行看，“数”代表0。从第三行看，“趣”代表的数自乘后仍是一位数，所以这个数必须小于等于 3。而且当“趣”代表3时，“味”必须小于等于2。从第四行看，第三行的第一个数字必须是9,因此“趣”代表3。又因“数”代表0,如果“味”代表1,那么第二行的第一个数“3”与第三 行的第二个数“3”相加就没法进行。所以，“味”必须是2。于是“趣”、“味”、“数”分别为“3”、“2”、“0 o最后看第一行“学”不能大于3,否则第一行将是五位数，又因为四个数字 表示互不相同的数，所以学只能是“1”。通过上面例题分析，解答算谜问题要注意：1.首先要注意算式中的各个文字、字母、符号都只能取0至9中的某一个数 字。2.要认真分析已知算式中给出的各种数量关系，根据这些数量关系，选择“突破口”。3.突破口的选择往往从确定一个数（乘数，被乘数，除数或商）的个位、首 位或其他数位上的数字入手。4.必要时要采用枚举和筛选相结合的方法，淘汰那些不合题意的解，寻找正 确答案。5.运用估算的方法，缩小枚举和试验范围以减少试验次数。习题一1.在1199之间填上适合的运算符号，使等式成立。1199=10(天津市第一届小学生“我爱数学”邀请赛试题)2.填上合适的符号，使等式成立。4444=14444=24444=34444=44444=5(天津市第二届小学生“我爱数学”预赛试题)3.在下面式中填上算术运算符号、括号，使式子成立:(1)1 2 3=1；(2)1 2 3 4=1；(3)1 2 3 4 5=1；(4)1 2 3 4 5 6=1；(5)1 2 3 4 5 6 7=1。(1984年重庆市小学数学竞赛试题)4.填上适当的运算符号，使下式成立：1 2 3 4 5=100(1983年小学生报数学邀请赛)5.在下面十五个9之间添上+、-、X、)使下面算式成立:99999999999999 9=20006.在被除数小于100的情况下，在右图口内填上适当的数：=44+c z也都是奇数，连同b 2=5共有六个奇数，矛盾（如图2）。（2）如果a2为偶数，那么a3、cz为偶数。又因为C3为奇数，as+b s+c s=c i+c+c尸15,所以b 3、G为偶数。这样就有5个偶数，矛盾（如图3）。所以&不能为奇数。同理可证J、C3、a,都不能为奇数。弄清了这一点就可填写三阶幻方（如图 4、图 5）。图4图5例2把4至12填在3X3的方格内，制成三阶幻方。解：（1）求幻和:（4+5+12）+3=72+3=24。（2）求中心数：V72+3b 2=24X4,，3b 2=24,，b 2=8。（3）确定四角数：由上题九个数中有五个为奇数，中心数为奇数，四角数 为偶。现在九个数中五个为偶数，中心数为偶数，猜想四角数应为奇数，经验证 这个猜想是正确的，所以在四个角上填7、5、9、11。填其余数字就容易了（如 图6）。图6数阵是一种由幻方演变而来的数字图。数阵可以分为辐射型、封闭型、既辐 射又封闭的复合型数阵。例3将1至7七个数字填入图中的圈内，使每条线上的三个数的和相等。解：首先确定中心数。不妨设中心数为a,则l+2+3+4+5+6+7+2a能被3整 除。所以，（28+2a）4-3=284-3+2a4-3o 其中，284-3 商 9 余 1。因此，2a+3 的余数必须是2,刃陷 当a是什么数时2a+3的余数才是2呢？为此,我们在1 7六个数中试验选择如下：当a=l时，2a+3=2+3商0余2；（符合要求）当 a=2 时，2a+3=4+3 商 1 余 1；当 a=3 时，2a+3=6+3 商 2 余 0；当a=4或7时，余数也是2。（符合要求）所以，当a=l、4、7时，2a+3的余数是2,即中心数为1,4,7。当a=l时，（28+2）4-3=10,所以除中心数外，其他两个数的和是10 T=9,只要把2、3、4、5、6、7按和为9分成三组填入。内即可。当a=4时，（28+8）4-3=12,除中心数外其他两个数的和为8。当a=7时，（28+14）4-3=14,除中心数外其他两个数的和为7。因此，可得三个解：例4将1至6分别填入圈内，使各边上三个。内数字和相等。解：首先应确定三个顶点上。内的数字。用k表示每边上三个。内的数字和，用a、b、c分别表示三个顶点。内的数 字，因为三个顶点上的数在求和时多用了一次，所以l+2+3+4+5+6+a+b+c=3k,21+a+b+c 3k,即 k=（21+a+b+c）43。又因为a、b、c可以分成七组数：1,2,3；2,3,4；3,4,5；4,5,6；1,2,6；1,3,5；2,4,6O我们把这四组a+b+c的和与k的值列表如下：a bca+b+ck=(21+b+c)+31、2、3691、2、69102、3、49101、3、5910J3、4、5121112、4、612114、5、61512从表中看出，当a+b+c的最小值是1+2+3=6时，k的最小值是9。当a+b+c的值最大是4+5+6=15时，k的最大值是12。1.当 a+b+c=6,k=9 时，a、b、C 分别是(1,2,3)、(1,3,2)、(2,1,3)、(2,3,1)、(3,1,2)、(3,2,1),那么，其余三个。内分别 填4、5、6o我们可以填出六种解法：从上面答案可发现，只要把一个解中的数左右旋转或适当调换就可以得到其 余的五个解。我们把第一个解叫做基本解，其余的五个解看作与基本解是同一个 解。2.当a+b+c=9,k=10时，试验如下：(1)如果a=l,b=2,c=6(如右图)，那么在三角形底边上只有填2,才能 使底边上。内数的和是10,但这样重复，因此无解。(2)如果a=l,b=3,c=5,那么其余三个。内分别填2、4、6,得本题的第 二个基本解。(3)a=2,b=3,c=4 时,无解。3.当a+b+c=12,k=ll或a+b+c=15,k=12时，用上面同样的方法得到下 面的两个基本解：从上面分析，我们可以看到，每一个基本解可得六个解，本题共有24个解,但是今后解答这类问题时，只要求基本解就可以了。例5把1至8八个数分别填入图中的八个。内，使每个圆周上五个数的和 都等于21。解：设两个圆的交叉点上的两个。内各是a、bQ那么，在计算两个大圆周 上10个数的和时，a、b两数都多加了一次，所以1+2+8+a+b除以2 应该是21,即36+a+b=21 X2,从而得a+b=6。在1至8八个数中，只有1和5,2和4这两组数的和是6。(1)如果中间两个。内分别填1和5,另外三个。内三个数的和都应当 是21-6:15,在2,3,4,6,7,8这六个数中，和相等的数只有2,6,7和3,4,8o（2）如果中间两个。内填2和4,其他的数可分成两组1,6,8和3,5,7,分别填入。中。例6把1至7七个数填在右图的。内，使每条线上三个数的和都相等。（1988年无锡市小学生数学竞赛试题）解：本题是例3的发展，设中心数为x,其余各数分别为a、b、c、d、e、fo 根据例3的分析，x可取1、4、7O（1）当=1时，则得每条线上三个数的和为10。a+b+c+d+e+f=28-x=-27 o但 a+c+e=10,b+d+f=10,于是 a+b+c+d+e+f=20 0两种结果产生矛盾，因此，x不能为1。（2）当x=4时，则得每条线上三个数的和为12。a+b+c+d+e+f=28-x=24。但 a+c+e=12,b+d+f=12,于是 a+b+c+d+e+f=24。两种结果一致，因此，x可为4。因为 1+7+4=12,6+2+4=12,5+3+4=12,而且 7+2+3=12,1+6+5=12,所 以可得解（见右图）。图中当1的位置确定后，5与6可以对换，（3与2也相应的对换），因此 有两种不同的形式。而1在外圈上有三个位置可选择，有三种不同形式，这样就 有2义3=6种不同形式。外圈上三个数与内圈上三个数可同时交换，因此，本题 有6X2=12种不同形式。（3）当x=7时，无解。习题二1.在下面的方格内，每边加起来的数都是5,总数是12,现在请你用任何数 字重新排列，每边加起来仍是5,但总数是13、14。212112122.把 5、7、9、11、13、15、17、19、：使每行、每列、对角线上三个数的和都相等。21分别填入下面正方形的方格里,3.右图中的 A=,B=,C=,D=,E=时,它可能构成一个三阶幻方？4.将1至8八个数填入右图的八个方格内，使上面四格，下面四格，右边四 格，中间四格，对角线上四格和四角四格内的四个数的和都是18。5.用1至5这五个数填入右图中使每行和每列的3个数的和相等。6.将1至9这九个数分别填入右图的。内，使每条辐射支上的三个数的和都 相等。7.将1至11这11个数，分别填入右图中，使每条线段上三个。内数的和都 相等。8.在右图的每个圆圈里填上适当的质数（不得重复），使每条直线上三个数 的和都相等，且均为偶数。（安庆市首届小学数学竞赛试题）9.请将1至8这八个数字填入右图的空方框内，使每条直线上三个数的和都 为质数。（张家口市1990年小学五年级数学竞赛（复赛试题）10.把1至7七个自然数分别填入右图中的圆圈里，使每条线上三个数的和 相等。（1990年济南历下区小学五年级数学竞赛试题）11.把20、21、22、23、24、25这六个数分别放在图中的一个圆圈中，使这 个三角形各边上的三个数之和是相等的。（天津市第二届“我爱数学”竞赛题）12.将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数分别填在右图的三角形的圆圈 里，使每条边上的四个数字和等于17。（1983年洛阳市小学生数学竞赛试题）13.如图，四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上 六个质数，它们的和是20,而且每个小三角形三个顶点上的数之和相等。问这 六个质数的积是多少？（1986年“华罗庚金杯”决赛试题）14.把1至10这十个数填入右图的十个。内，使每个正方形四个顶点上各数 的和都等于24。15.把5、6、7、8、9、10、11、12、13、14填入右图中的小圆中，使每个 大圆圈中六个数的和是55。（长春市1988年四年级数学竞赛题）16.将195、196、197、198、199、200、201七个数分别填入右图的小圆圈 内，使每条直线上和每个圆上的三个数的和都是594。（石家庄市长安区1989年五年级数学复赛试题）17.将1至10这十个数分别填入图中。内，使每条线段上四个。内数的和相 等。每个三角形三个项点上O内数的和也相等。数列问题从高斯的故事谈起高斯是19世纪德国的著名数学家。他从小喜欢学数学，善于思考，聪明过 人。据说他在读小学三年级的时候，一次老师布置一道题目：“把从1到100 的自然数加起来，和是多少？”正当同学们埋头一个数一个数加的时候，小高斯 很快报出答数为5050,这使得老师非常吃惊。小高斯是采取什么办法巧妙地进行计算的呢？先来观察一下题目，发现数字的排列是有规律的。1+2+3+4+5+6+7+8+9+.+100 0这是按自然数排列的，后面一个数都比前面一个数大1,好比上体育课同学 们排成一队，叫做队列，这就叫做数列。请观察下面的数列：1,3,5,7,9,11；2,6,10,14,18,22；5,10,15,20,25,30o这些数列的两个数之间的差都是相等的，所以叫做等差数列。既然这些数列 排列都有规律可找，因此可以发现许多数学问题，这些就是数列问题。小高斯做的题目是最简单的数列问题。100个数相加大多了。我们先用九个 数来研究一下：1+2+3+4+5+6+7+8+91 101010这样凑成4个10再加上5,和为45。还有一个办法:1+2+3+4+5+6+7+8+9=和9+8+7+6+5+4+3+2+1=和10+10+10+10+10+10+10+10+10=90把数列颠倒过来相加，所得结果是和的2倍，只要除以2就得到答案：和=90+2=45。按照这个道理，可以得到求等差数列的和的一般公式：(首项+末项)X个数把小高斯做的题目：1+2+3+4+5+-+10 0代入公式：(1+100)X 10 0 4-2=10 1X10 0-?2=10 10 0 4-2二5050例 1 1+2+3+250=31375(1+250)X250 4-2二251X250 0 2二62750:2二31375例 2 1+3+5+7+9+199=10000这是一列奇数数列，也可代入公式(首项十末项)X个数+2(1+199)X 10 0 4-2=20 0 0 0 4-2=10 0 0 0怎样算出连续奇数的个数，不必一个一个地数出来。只要(首项+末项)+2,就能求出个数。例 3 101+103+105+199二？这道题和上面讲的有所不同。它虽然也是求连续奇数的和，但却不是从1 开始的。其实也不难，只要先算出从1到199的连续奇数的和，再减去从1到 99的连续奇数的和，问题就解决了。1+3+5+99=2500,1+3+5+199=10 0 0 0,二 101+103+105+199=10 0 0 0-2500=7500。例 4 2+4+6+10 0=?这道题一看就知道，是求从2开始连续偶数的和。同样可用上面的公式代入(2+100)X504-2=51004-2=2550o要知道从2开始连续偶数的个数，也不用一个一个地去数，只要把最后那个 偶数除以2就可以了。例5五个连续偶数的和是150,这五个偶数是哪几个数？粗看这道题目觉得很难，感到无从下手。可以先枚举几组五个连续偶数观察 一下：记个50：.T46+48+!50：+52+54=2502个502个70 的不两rz-1-t66+68+:70：+72+74=350 I.I2个70请你仔细观察分析，就会发现规律，五个连续偶数的和，凑巧是中间数的5 倍。中间数找到了，前后四个数就能写出来了。解例5：先求出五个连续偶数的中间数：150+5=30。所以这五个连续偶数是：26,28,30,32,34。例6已知四个连续偶数的和是84,这四个偶数是哪几个数？这道题是四个连续偶数，没有中间数，上面的办法不适用了，要根据上题的 思路重新想办法。先枚举几组题目观察一下：50 24+24+26+28=100I I5070I I32+34+36+38=140I I70从上面两组题发现，四个连续偶数分成两个数对，每个数对的和是相等的。根据这个特点，可以从这个和中先求出一个数对，然后再推算出四个连续偶数来。84+2=42然后推算出这个四个偶数：18,20,22,24O例7 10到80之间能被7整除的各数之和是多少？10到80之间，7的最小倍数是14,7的最大倍数是77,这是一列7的倍数 的数列：14+21+28+77=455。代入求等差数列之和的公式得：(14+77)X 10 4-2=910 4-2=455O例8-+-+-+,+-1X 2 2X3 3X4 99X 10 0求这一数列各数之和，如果按照普通方法计算实在太麻烦了。你愿意试一下 的话，恐怕半天还算不出来呢。从何下手呢？首先要仔细分析题目，看看这些分数有什么特点。不难看出，这99个分数的分子都是1,分母都是两个连续的自然数的乘积。这一数列的编 列是有规律可找的。根据分数乘法的法则，它们都可以分成两个分数相乘，如:-=-X-=-X-1X 2 1 2 2X 3 2 3,1_ 1 _ 3-2 _ 123=6=6,1111.-X-=-o2 3 2 3根据上面分析，两个分数的积与这两个数的差可能相等。但这两个分数不是 任意的，它们必须符合一定的条件。具体地说，就是它们的分子都是1,分母分 别是两个连续的自然数中的一个。分析到这里，爱动脑筋的同学会恍然大悟解答例8可以找到简便方法了。只 要用两个分数的差的形式代入式子里：-+-+-+-1X2 2X 3 3X4 99X 10 01 1+2 21 1-+3 31-+4 99+99 1W01 _ 99 100=10 0 同学们看到这里一定会高兴得跳起来。这个方法太巧妙了！13+13不是都等于。吗？最后就只剩下第一个数和最后一个带“一”号的数，即1-击，所以立即可以算得吉禾 100 一道复杂繁难的题目，现在竟不费吹灰之力就解决了。所以学习数学，一定 要勤于思考、善于分析。练习三1.101+102+103+104+.+200=2.1+3+5+7+.+259=3.52+54+56+.+150=4.72+74+76+.+200=5.比101小的所有的偶数的和是多少？（天津市小学生红花奖竞赛中年级试题）6.全部三位数的和是多少？（哈尔滨市第八届小学生数学竞赛试题）7.三个连续自然数的和是231,这三个数中最大的一个是多少？（江西省1990年“八一杯”小学数学比赛题）8.三个连续自然数的积是2730,这三个数分别是多少？（宜兴市1990年第五届小学生数学竞赛试题）9.一个数分别与相邻两个偶数相乘，所得的积相差50,这个数是多少？（北京市第三届小学生“迎春杯”数学竞赛试题）四假设问题以“假”求“真”，化难为易用假设的方法来解答问题是一种极其重要的思维方法。恩格斯曾经指出：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假设。”科学史上的许多有重大影响的科学理论，如门捷列夫的元素周期表、哥白尼 的太阳中心说等等，最初就是以假设的形式出现的。在解答数学问题中，假设未知数为x,列出方程进行解题，就是建立在假设 的思想基础上的。由于假设，可以把未知看作已知，可以把复杂的数量关系简单 化。我国古代算术中的“鸡兔同笼”问题，就是用假设法来解的，它往往先假设 某种现象的存在，得到和已知条件不同的“差异”，再分析“差异”的原因，进 行适当的调换，使问题得到解决。例1笼中共有鸡兔100个头，350只脚，问鸡兔各有多少头？（1990年济南市历下区小学数学五年级竞赛题）分析：假设100头全为兔，则应有4 X 100=400只脚，比实际多了 40 0-350=50 只脚，如果把一只兔换成一只鸡，那么可减少4-2二2只脚，要减少50只脚，就 要换50+2=25头鸡，这样就求出了鸡的头数。解法一：（4X10 0-350）4-（4-2）=25（头）.鸡，10 0-25=75（头）.兔。或者（350-2X10 0）4-（4-2）=75（头）兔，10 0-75=25（头）.鸡。解法二：设：鸡有x头，则兔有（10 0-x）头。2x+4X（10 0-x）=350,解之得x=25。10 0-25=75（头）.兔。答：鸡有25头，兔有75头。例2光明书店卖出甲、乙两种书共120本，甲种书每本5元，乙种书每本 3.75元，卖出的甲种书比乙种书多收入162.5元。甲、乙两种书各卖出几本？（小学生数学报第五届初赛题）分析L假设全部卖出的为甲种本，则甲种本比乙种本多收入5X 120-3.75X0=60 0元，比实际的相差数多60 0-162.5=437.50元。如果甲种 本换一本为乙种本（也就是甲种本少卖一本，乙种本多卖一本），那么甲种本的 收入比乙种本少5+3.75=8.75元，要减少437.50元，就要换几次（也就是乙种 本的本数），437.50 4-8.75=50（本）。解法1：（5X120-162.5）4-（5+3.75）=50（本）.乙种本,120-50=70（本）.甲种本。分析2：假设甲、乙各卖出120+2=60本，则甲比乙多收入（5-3.75）X60=75元，比实际的相差数少162.5-75=87.5元（说明甲不止60本）。如果 乙换一本为甲，那么乙的收入比甲少5+3.75=8.75元，要增加87.5元，就要换 几次（也就是需要增加甲种本的本数），87.54-8.75=10（本），所以卖出的甲种本有60+10=70（本）。解法2：162.5-（5-3.75）X（120 4-2）4-（5+3.75）=10（本）60+10=70（本）.甲种本，60-10=50（本）.乙种本。答：卖出的甲种本有70本，卖出的乙种本有50本。你还有其他假设的方法吗？你能用列方程的方法解答吗？例3有1元、5角、2角三种人民币11张，共值4.7元，其中2角的张数 比5角多3张。三种人民币各有几张？分析：由于2角与5角的张数不同，在调换时较难进行。如果5角多3张，那么题意改为“有1元、5角、2角的人民币共11+3=14张，共值4.7+0.5X3=6.2 元（62角），其中2角的张数与5角的同样多，求各有几张？”再用假设法解 题。根据以上的改题，可以假设全是1元（10角）的，则共值10义14=140角，比实际多140-62=78角，如果用2张10角的，调换：1张2角、1张5角的（总 张数不变），那么可少10 X2-2-5=13角，要减少78角，就要换几次（也就是2 角或5角的张数），78:13=6（张），就是原来2角的有6张，原来5角的有 6-3=3 张。解法：10 X（11+3）-（47+5X3）（10 X2-2-5）=6（张）.2 角，6-3=3（张）5角，14-2X6=2（张）1元。答：1元有2张，5角有3张，2角有6张。如果原题中“2角的减少3张，你能解答吗？你能用列方程的方法解答 吗？通过以上例题，可以看到用假设法解答“鸡兔问题”时，它的一般解题规律 是：（1）假设结果（如笼中都是兔）；（2）求出相差（如脚的只数与某一已知条件有“差异”）；（3）进行调换（如一只兔调换一只鸡，使兔的只数减少）；（4）由甲入手，求出是乙（假设笼中的动物都是兔，但先求出的倒是鸡的 头数）。例4买语文书30本，数学书24本，共花41.7元，已知每本语文书比每本 数学书贵0.22元，语文书每本多少元？数学书每本多少元？（1990年长春市小学数学竞赛五年级试题）分析：假设语文书的单价便宜0.22元，那么数学书和语文书的单价就相 同了，买30本语文书就可便宜0.22X30=6.6元。41.7元减去6.6元所得的差 正好是30+24=54本数学书的总价。这样，就可求出数学书的单价了。解法：（41.7-0.22X30）4-（30+24）=0.65（元）数学书单价。0.65+0.22=0.87（元）.语文书单价。答：语文书每本0.87元，数学书每本0.65元。例5少年宫开办音乐、美术两个培训班，去年共招收200人。今年计划招 收246人，其中音乐班人数比去年增加25%,美术班人数比去年增加20%。求 今年计划招收的音乐班、美术班各有多少人？分析：假设美术班今年比去年也增加25%,则今年计划招收200X（1+25%）=250人，比实际多250-246=4人，这是因为美术班今年比去 年增加的百分数与实际相比较多了去年的25%-20%=5%,这里的5%,就是4 人的对应分率，所以去年美术班有4 5%;80人。解法：20 0X（1+25%）-2461 4-（25%20%）=80人.去年美术班人数，80X（1+20%）=96人今年美术班人数，246-96=150人 今年音乐班人数。答：今年音乐班计划招收150人，美术班计划招96%人。假设“音乐班今年比去年增加20%，那么怎样解答呢？你去试一试看。例6甲原有的故事书是乙的6倍，两人各再买2本，则甲现有的书是乙的 4倍。甲、乙两人原来各有故事书多少本？分析：假设要使甲现有的书仍是乙现有的书的6倍，则甲应买2X6=12本，但甲只买了 2本，少买了 12-2=10本，这样甲现有的书就只有乙现有的书的4 倍了，比实际少买了乙现有的书的6-4=2倍，所以乙现有的书是10+2=5（本），乙原来的书有5-2=3本。解法：（2X6-2）4-（6-4）=5（本）.乙现有的书,5-2=3（本）乙原来的书，3X6=18（本）甲原来的书。答：甲原来有18本故事书，乙原来有3本故事书。你能用列方程的方法解 答吗？练习四1.学校买来100张电影票，一共用去22元。票价有0.2元和0.25元两种。问0.2元的有多少张？0.25元的有多少张？（北京市东城区1988年小学数学竞赛题）2.一个中学生一顿饭可以吃3个馒头。三个幼儿一顿饭吃1个馒头，现在有 中学生和幼儿共100人，一顿饭正好吃100个馒头。有幼儿多少人？（北京市第五届小学“迎春杯”数学竞赛题）3.12张乒乓球台上共有34人在打球，问：正在进行单打和双打的台子各有 多少张？4.松鼠妈妈采松籽。晴天每天可以采20个。有雨的天每天只能采12个。它 一连几天采了 112个松籽，平均每天采14个。问这几天当中有几天有雨？（首届“华罗庚金杯”初赛试题）5.五年级数学竞赛题共10题，规定做对一题得15分，做错一题倒扣10分,小亮在这次竞赛中得了 100分，你知道他做错了多少题？6.李强把自己储存的17枚硬币，合计6角4分捐献给有关部门抢救大熊猫。已知硬币有1分、2分、5分三种，并且1分与2分的枚数相等。求三种硬币各 有多少枚？（1990年东台市小学生数学竞赛预赛题）7.丰庆百货公司委托运输公司包运1000块玻璃，议定每块运费0.50元 如 损失一块，不但没有运费，并且要赔偿成本费3.50元，货物运到目的地后，运 输公司获得运费480元，损失的玻璃有多少块？（四川省1990年小学生“天府杯”数学题）8.某农民饲养鸡兔若干，已知鸡比兔多13头，鸡的脚比兔的脚多16只，问 鸡和兔各几头？9.某班42个同学参加植树，男生每人平均种3棵，女生每人平均种2棵，已知男生比女生多种56棵。求男、女生各多少人？10.蜘蛛有8只脚，蜻蜒有6只脚和两对翅膀，蝉有6只脚和一对翅膀，现 在有这三种小虫18个，共有脚118只，翅膀20对，问每种小虫各有多少个？11.两数相除商3余2,被除数、除数、商与余数的和是179,被除数比除数 大多少？（1990年少年报有奖测试题）12.三只船运木板9800块，第一船比其余两船共运的少1400块，第二船比 第三船多运200块，三只船各运木板多少块？13.某车间男工人数是女工人数的2倍，若调走18个男工，那么女工人数是 男工人数的2倍，这个车间有女工多少人？（福州市1990年小学生“迎春杯”数学题）14.果园里苹果树的棵数是桃树的3倍，管理人员每天能给25棵苹果树和 15棵桃树喷洒农药，几天后当桃树喷完农药时苹果树还有140棵没有喷药。果 园里这两种树共有多少棵？15.某商店里花布是白布的2倍，如果每天卖30米白布和40米花布，几天 后，白布全部卖完，而花布还剩120米。原来库存花布多少米？五方程问题巧设未知数，列好等量式在小学阶段解答应用题时，大多数使用的是算术解法，但是这种解法只限于 对已知数之间进行计算，不允许未知数参加计算。而用列方程的解法，未知数与 已知数同样都是运算的对象（也就是把未知数看作已知数），再找出“未知”与“已知”之间的等量关系（也就是列出方程），从而得到问题的解。所以对于应 用题，列方程的方法往往比算术解法易于思考、易于解答。对于参加竞赛的同学,只有简易方程的知识是不够的，还必须补习一些一元一次方程的内容。列方程解应用题的一般步骤是：（1）理解题意，找出一个（或几个）适当的未知数，用一个（或几个）英 文字母来表示；（2）找出应用题中数量间的等量关系；（3）根据等量关系列出方程；（4）解方程并检验、验算，写出答案。其中布列方程是关键的一步，其实质是将同一个量用两种方式表示出来写成 等量关系，而这等量关系的建立必须对题目作细致的分析，灵活运用基本的数量关系式，列出正确的方程。（一）列一元一次方程解应用题例1两个数的和是10,差是4,求这两个数。解法1：设较大的数是x,贝I根据“两个数的和是10”可得较小的数是（10-x）,按“差是4”为等量关系列方程，得x-（10-x）=4。解方程，得x=7,较小数是数-7=3。解法2：设较小的数是x,则根据“两个数的和是10”可得较大的数是（10-x）,按“差是4”为等量关系列方程，得(10-x)-=4o解方程，得x=3,较大数是10-3=7。解法3：设较大的数是x,则根据“差是4”可得较小数是(x-4),按“两个数的和 是10”为等量关系列方程，得 x+(x-4)=10。解方程，得x=7,较小数是10-7=3 o解法4：设较小的数是x,则根据“差是4”可得较大数是(x+4),按“两个数的和 是10”为等量关系列方程，得x+(x+4)=10解方程，得x=3,较大数是3+4=7。答：较大数是7,较小数是3。例2有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果增加一条船，正好每条 船坐6人；如果减少一条船，正好每条船坐9人。问：这个班共有多少同学？(第二届“华罗庚金杯”初赛题)解法L显然，每条船坐9人时所租用的船比每条船坐6人时要少用1+1=2条船。设每条船坐9人时租船x条，则每条船坐6人时租船(x+2)条。按“两种 计算全班人数的结果相等”为等量关系列方程，得9x=6(x+2)o解方程，得x=4,，全班有9X4=36（人）。解法2：设每条船坐6人时租船x条，则每条船坐9人时租船（x