高等数学公式汇总(适合在职与非在职考研学员学习使用).pdf
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1、高等数学公式汇总(适合在职与非在职考研学员学习使用)导数公式:(zgx)r=secI 2 xI Y+a2dx=+a2+-ln(x+x2+/)4-C,2 2(cigx)(=esc J x(sec x)f=sec x igx(esc x)f=esex etgx=c/In 1Q c名 a 工)=xli i ai ar c sin x)f=.、.jKCatccos,1Jl-x2(a rcgx)(=14-x,1(a rcctgx)=_ 1j j基本积分公式:|igxdx=In|cos|+C|ctgxdx=In|sm 司+C*|sec xdx=In 卜巳c:y+恒;口+匚|esc xdx=hi|csc x
2、 庚切+Cdx.x._,.-=ar esm +1_-a2 x2 a;dx;2,n|-=I sec xa x=*cos2 XI dx f 2?I-5=I esc xa x=etgx+G sin x I sec x-tgx=sec x+C.I esc x-ctgxdx=esc x+CI aKdx=+C-In a|shxdx=chx+CI chxdx=shx+C|,=ln(x 4-Jx2/)+C三角函数的有理式积分:一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦,shx=-2双曲余弦:chx=r si n xhm-=1Q xli m(1+3*=2/7 18281828459045.XT9 X双曲正切:弧=叫二
3、学a rshx=ln(x+J x+1)a rchx-ln(x+Jx2-1).1,1+工a rthx=I n-2 1-x三角函数公式:和差角公式:si n(色土户)=si n Ofcos 户cosasi n 尸 cos(fT 密=cosu cos 户干 si n or si n 产 名=皆吗吟必二强生幽里ctgjSctga和差化租公式:口si n d+si n#=2si nsi n d-stn 产=2 cosa+8 a-B-cos 2-2a+8 a-B-si n-cost+cos =2 cos2 2仪+户 a-j8-cos-22cos 所 cos p=2si na+6,a-B-si n-22倍角
4、公式一,si n 2仪=2si n qcosacos2=2cos 比-1=1-2si n a:=cos 仪一si n an cta-cig2a=-2ctgatg2a:=2tga l-g%si n 3a:=3si n 值-4 strr aC 0s3of=4cos3 仪-3 cos a迤空交-3tga半角公式:一.a sm 二2a,(1-cosci f 1-cosa si n atg =I-=-=-2 Yl+cosa si n a:1+cosOf*正弦定理:二办-f-=2五 si n A si n B si n Ca cos=2,a.114-cos a l+coscv si n a ctg-J-=
5、;-=-2 V1-cosar si n a 1 cos a1余弦定理 c2=a2+i2-2cos C,yr反三角函数性质:arcsi n x=-arccos x 27Ta rctgx=-a rcctgx 2育阶导致公式-莱布尼益(Leibniz)公式二Q u产二金片小-外Jfc-0=叫,+WW+砂S/TW+型01也土幺尸-%+口M2!k中值定理与导致应用:7拉格朗日中值定理:f(b)/=/(4)3 0)柯西中值定理:/一/F(b)-F(a)尸 自)当F)=x时,枸西中值定理就是拉格朗日中值定理曲率::弧微分公式:ds=Jl+y公,其中;/=坦d平均曲率:友=|等卜%从M点到Ml点,切线斜率的倾
6、角变化量;As:M夕弧长。M点的曲率:玄=11m4=牛=-厂上一 3。As ds J(l+y,2)3直线s K=0r半径为s的圆:K=-.诱导公式:反sin+3立时-a*?-弧好-t叱-其叱900-a以8对90+的-以酰 11800-i熟/+_Q,QS您-以g!斯18。0+*-副麴Jtgg270-1K变欺-确断elg+据射2700+a-&/藏加斯-以-两3600-a-叙欧.3.思好-垢!为一以酬360c+a-巨迫斯S魅欺空间解析几何和向量代数:,空间2点的距离:d=Mi舷/=盯一公/+Sa-巧产+(马一句.尸向量在轴上的投影:Prj B=网,cqs8先是工B与以轴的夹角。Pr j&a+各)=P
7、r J 31+Pr 圾a后二同|T|cos&=%勾+%+%纥,是一个数量,两向量之间的夹角:cos6=;f a=T+叼+/也+与+九i j kc=a x.b=aK ay%,同二同忖si n8例:线速度:v=wxr bx bv bs n Ji%叼%向量的混合积:拓口=叵办酋=瓦%纥=gx斗同C 0SUQ为锐角时,/5 J代表平行六面体的体积。平面的方程:1点法式:-西)+3-尢)+3-0)=0,其中拓=应尻C,Mj(Xq,为,而)2、一般方程:出+劭+2+D=0M截距世方程,+3+工=1 a b c平面外任意一点到该平面的距离:底曲黑守空间直线的方程,二包=匕也=x=Xq=,其中g=附达,参数方
8、程:当口=ux,y),?=时,du du dv dva n=a x+a y a v=a x 4-a ydx dy dx dy隐函数的求导公式:五一泰-&加+一a噎隐函数广()=0,率=.a xFx ndy dx2=9 dx,+“一显).空 苏dx隐函数户Oj,n)=0,生=-,dz _OX陟隐函数方程组JO%”=;G(xryrtirv)=0dF dF_ 风F _du dv凡凡地产)dG 3G5 5du dv电荔电1双况G)J 3(x,v)1双凡G)J 5(v,v)3 宙,G)3Q,x)如)1.J1.J-英一分五竟分法在几何上的应用:X=事心空间曲线T=必。在点,每,既*0)处的切线方程:三苕=
9、21=小 M&J go)Z=m在点乩故L的法平面方程:9工电)(五一河)+4(o)Cv-乂I)+)9 一%)=0若空间曲线方程为产w)=,则切向量(5G(x,y,z)=0 Gj,曲面m(Xy,z)=0上一点贝U:1、过此点的法向量:=(Fk(x0,y0,z0),Fy(xQ,y0rzQ),Fs(x0,0,z0)2、过此点的切平面方程:凡.(而,z0)(一一而)+芬(-0,.v0/口)0一M,)+Fs(x0fyQfz0)(z-z0 工 过此点的法线方程:一一=匕3=一工(而/口_)斗(而,M,ZO)凡(湎,乂,,z0)数与梯度:“函数z=/(工,力在一点7(O)沿任一方向炳方向导数为:W=要cq
10、s中+?sin中 ol ox qy其中S为蚌由到方向上的转角。函数z=1y)在一,点手O,v)的才用.度:gr ad/,Cx,)=舁,+后了 ox dy它与方向导数的关系是:刍=gmd_ f(工j)-声,其中苕=cos 8 9+sir i8j 为方向上的单位向量。.*”是giwd/,(xy)在上的投影。ol多元函数的极值及其求法:)而,%J=力(而J。)=。,令:了标(氏口,九)=4(尤。,汽)=况/砂(而,必)=。则:A C-B2 Q时/A C-B2 0时,A C-B2=0时,4 0,(而,乂,)为极小值 无极值 不确定重枳分及其应用:|f x,y)dxdy=11(不 cos 8,尸 sin
11、&)rdrd8平面薄片的重心:元=曲面z=/Of)的面积4=j|xpxryyda旦=互_,歹=”M I j p(.x?y)dcr M*yp(x,y)dcr平面薄片的转动惯量:对于蚌由4=j6)db,一|j*()db对于专由勺=xp(xry)da-彳平面薄片(位于天拜面)对鼐上质点MCOQ办go)的引力:户=凡内/,其中:W(一十/十。2/芬=4|上F(,十yf 2产-问.同”小工 a(,十八英曲线积分:川第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):设/位在上上连续,工的参数方程为卜=3q 鱼则:y=奴G声 _ r _ 2J J(才J)ds=j九双必罚(0+状(&dy Qz-v vL J 乙 乙高斯公式
12、的物理意义-通量与散度:散度:出守日=空+也+至,即:单位体积内所产生的流体质量,若dwi75则为消共 S二金 也通量:11 N 近烝1=11 Ands=|(P+Q cos 产+cos y)公 工 s s因此,高斯公式又可写 成川Tdu=石4/斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的美系衣尸&?.dP dR.x,.dQ dP*cz(k ox ox tjyC-tdyciz.dzdx dxdy上式左端又可写成旧 dx dy dz P Q R空间曲线积分与路径无关的条件:空=军,及)dxdy=卞 Pdx+Qdy+Pdz=)1r一诙 R=C-尸 跑私 osAe,C 餐 Q-C OS8募F苏一市旋度:roL-4
13、=k 3 一也火 Jse iAaxF向量场-五沿有向闭曲线厂的环流量:+Qdy+Rdz=(2 Ids r r常数顶级数:+等比数歹IJ:1+1+1+产=上岂1一4等差数歹限1+2+3+您=业.2调和级数:1+H-F工是发散的2 3 理级数审夔法:一1、正项级数的审敛法根植审敛法(柯西判别法):力 1时,级数发散注一9r=1时,不确定2、比值审敛法:*1时,级数.发散理T9 UK 户=1时,不确定3,定义怯:4二4+%1-s*存在,则收敛;否则发散。交错级数为-%+%-卫4 (或-舟a-%H 0)的审敛法-莱布尼兹定理:如果交错级数满足屋口昼,那么级数收敛且其和sM%,其余项q的绝对值区力。绝对
14、收敛与条件收敛;一(1)/+%H-F tin+3 其中 4 为任实(2)卜1|+卜/+归+-一+k+-*如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数;如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。调和级数:中工发散,而k X收敛;一附 一戏级数:二口收敛:7级数-F 2 1时发散f户1时收敛寡级翦h1 2 3 X 小|1时,收敛于 一14-X4-X2 4-x3+-4-xm 4-(1 1 1-x%|之1时,发散对于级数即+的彳+%/H-许/-*,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全/卜|立时收敛数轴上都收敛,则必存在见 使(因笈时发散,其中笈称为收敛半径。国=我时不定/户=0时,
15、求收敛半径的方法:设111112=户,其中豆,4+1 是的系数,则(夕=0时,R=-wB p=4o0时,R=0函教展开成嘉缎数:+函数展开成泰勒级数:小)=与)炽-曲)+与2(”方+-+E2与2(彳炉+.2!M余项:&-而)加J可以展开成泰勒级数的充要条件是:11m&=0“(总+1)!%=时即为麦克劳林公式:/=/(0)+/(0求+工5叟/+.+d1犬+.2!M一些函数展开成幕级数:*(1+4=1+皿+里曰3+陋伽一 1)出一向小+2!M4 X5 户tsi n x=x-+-F-H(-)x +oo)3!5!(2-1)!欧拉公式:脑(1K1)加 q-cosx+zsi n xcosx=或,si n
16、x=三角级数:+,f(f)=Ai+二 A 由(甩面+我)=?+二(%c M-1 匚 M-l其中,劭=久=乩sin/,丸=典cos孕 正交1 注:l,sm x,cos x,sm 2x,cos 2x-sm nx,cos 上的积分=0。使立叶级数:+f(x)=+二(外 cos?3X+%sin 施工),周期=2 21 ,.ax=一|y(x)cosxdx(融=0,1,2 7).,7F u其中“1 9,.-bx=|f(x)sm nxdx(盟=1,2,3一)l*一 i i 工 L i i i学 52 8 /2 32 41 1 1 7T2/Lill22 42 62 24/22 32 42正弦级数:久=0,也=
17、|/(x)sm nxdx开、口o?余寇级数:纥=E,久=|cosxa x:,s 附五+3性 sin.x)%,皿=X。+nx任思网,|、不同项的乘积在-;工河:开=H(相加)=Hc相减)12产2-1,2,3/(玲一二外加,,直克幽数n-0,1,2-/(x)=等+=外cqs福x是偶函数周期为2?的周期球的傅立叶融6/=咂+亡dcos至+九例 W),周期=2/2 H?I5=0,1,2)伽二123)微分方程的相关概念:,一阶微分方程:yf=fM 或 产(尽力心+0冗力的=0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为g)的=/4的形式,解法:冢力的=|/。岫 得:GJ)=F。)+耶为隐式通解。齐次方程:
18、一阶微分方程可以写成半=A)=奴),即写成2的函数,解法:a x x设辽=匕 则空=我+工在,口+玄=浓),二生=3分离变量,积分后将2代替 x dx dx dx x 飙口)一以 x即得齐次方程通解。二系数齐在线性微分方程及其解法:+公=0,其中p弓为常数;求解步骤:L写出特征方程必)M+尹+0=0,其中户,尸的系数及常数项恰好是切式中的系数,2、求出(A)式的两个根尸 1,6M根据勺另的不同情况,按下表写出(专式的通解rv的形式,(*)式的通解口两个不相等实根(M _4孑 0)。y=crx+c2&rJC两个相等实根 3-4弓=0)Qy=91+c/)U一对共钝复根5*-4弓 0)41r l=a
19、+i r2=Cdi匕上曲士2 2y-ec4X 0 cos 自+勺 sin/)Qnjr常系毒日际火线性微分方程+/+郎+跤=无),为常数/=/与5)型,兄为常数;j(x)=/*月(兀)cos的r+只(兀)sin侬理概率公式整理1.随机事件及其概率j4lj Q=G吸收律:A u0=AA u A B)=ACl=AHc0=0A ri(AjB)=AA-B=A B=A-(A B)1反演律:A uB=A B A B=A uB IJa=八4(4=U W i-L j-1 2-1 2-12.概率的定义及其计算产(m=1-尸(4)8 若以uB=尸(3工)二尸伊)F(4),对任意两个事件A,及有P(B-A)=PB-P
20、(A B).加法公式:对任意两个事件从B,有P(A u B)=尸(工)+P0-P(A B)JF(工 工 F(j)+F)“H M fQJa)=ef二产也4)+二尸(为44)+(-1尸产口出jj 2-1;/M 圮空4.随机变量及其分布“分布函数计算P(a Xb)=P(Xb)-P(X 0尸w闫 XT 9 依 口=0,1,2,.(3)Poisson分布 产(7P(X=k)=e-A,上=0,1,2,/6.连续型随机变量“(1)均匀分布Ua,b)-,a x b f x)=b-a0,其他0,1指数分布下(,初一./w=0 其他F%0,x 0(3)止合分布N3,0-2 _*一3f(x)=-2 -co X -K
21、O 11 rF(x)=j w 加 d,2;Tb-F*N(cu)标准正态分布1-=G:x)=-i-w J-co x 4-od4-爽1/_匚(#=1rz_|g 2 a-8 X 凡旧乐/-9、“一g边缘分布函数与边统密度函数4F X*+co&o)=l|_9,,讶的厘”He*fxX)=/(AV)V s-g7(y)=Ir/i,的晶冰加。-T0 -9fy)=i R/Q,r)而 q-CD8.连续型二维随机变量4(1)区域G上的均匀分布,U(GA士/、,(x,y)e G0,其他(2)二维正态分布“2啊 b?J 1 一,q3丁/,=_ I*X-4 q 津一冲尸一林)+(*W 2(1/a)iF F F r co
22、x -Ko,co y 0,=fy O)及式上)为)0*1*-Kd-Ko IAW=口/(工)分=L及“虫)入8的”,-tof-Ko*+o?I/y(y)=_f(.xfy)dx=LJy/jkX/xO)dx*-,_4闺3工)/晨才)为GO力区卜)_八2)AWA|y(工附Ktx)=AWX.Y的二阶混合中心矩 X,Y的协方差舁(X-E(X)(Y-豆Q O)、,工的相关系数+,E3-f物)/5/cox的方差一Dg=E&X-%)2)+,D(X)=E(X-E2(X).协方差qcov(r)=,(X-JO)(K-E(Y y)3=E(XY)-E(X)E(Y)=1 的(X 土 F)-D(X)-D(Y)i相关系数Qcov
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