2022年必修四平面向量数量积的物理背景及其含义.pdf
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1、平面对量数量积的物理背景及其含义学习目标1.明白平面对量数量积的物理背景,即物体在力 F的作用下产生位移s所做的功2把握平面对量数量积的定义和运算律,懂得其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判定两个向量是否垂直.知以梳理 自主学习学问点一平面对量数量积的定义(1)定义:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a|b|c o s 9叫做a与b的数量积或内积),记作a b,即a b=|a|b|c o s 9,其中9是a与b的夹角.(2)规定:零向量与任一-向量的数量积为0.学问点二 向量数量积的几何意义1.投影的概念如下列图:O A=a,O B=b,过B作BBi垂直于直线O A,垂
2、足为Bi,就O Bi=|b|c o s8|b|c o s9叫做向量b在a方向上的投影,|a|c o s6叫做向量a在b方向上的投影.2.数量积的几何意义:a b的几何意义是数量积 a b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|c o s 9的乘积.摸索|a|=1,|b|=2,a与b的夹角9=120。,就a在b方向上的投影为,b在a 方向上的投影为.1答案 一一121解析 a在b方向上的投影|a|c o s 9=1 X c o s 120;2b 在 a 方向上的投影|b|c o s0=2X c o s 120 1.学问点三平面对量数量积的性质依据向量数量积的定义,补充完整数量积的性质.设a与
3、b都是非零向量,9为a与b的夹角.1)当a,b)=0 时,a b=|a|b|;当(a,b)=tt时,a b=|a|b|;-_当a,b=2时,a b=lC(2)或|a|=a2;a 分(3)0=(4)|A|S|a|b|.5)1 a+b 2=a2+2a b+b2;(a b)2=a2-2a b+F;(a+b)n 6 b)=a2 b2.学问点四 向量数量积的运算律(1)a feb 去换律);(2)Aa)b=人a)b a 入 5)1 结合律);(3)(a+b)e=a 七b(夜排律).摸索某同学由实数乘法的三条性质:ab=O.a=0 或 b=0;ab=bc,0.a=c;(3)(ab)c=a(be);类比得到
4、向量数量积的三条结论:ab=0.a=0 或 b=0;ab=bc,bWO.a=c;(abc=a(be),这三条结论成立吗?请简要说明.不成立,由于(a b)c表示一个与 c共线避罂(b N表示一个与-a决线的向鲁W c呜a不肯定共线,所以(a b)ca(be),一般情形下不会成立.题型一求两向量的数量积例 1 已知|a|=4,|b|=5,当(1)ab:(2)al b:(3)a 与 b 的夹角为 30时,分别求a与b的数量积.解(1)a b,如a与b同向,就 0=0,a b=|a|b|,c o s 仔4X 5=20;如 a 与 b 反向,就 9=180,Aa b=|a|b|do s 180 d4X
5、 5X(-1)=-20.当 a_Lb 时,0=90,.-.ab=|a|b|c|o s 90=?0.当a与b的夹角为 30时,a b=|a|do s 30=4X 5Xe=10产跟踪训练1 已知|a|=4,|b|=7,且向量a与b的夹角为120,求(2a+3b)囿一 2b).解2a+3b)一2b)=6a2 4a b+9b a 6b2=6|a+5a b-6|b|2=6X 42+5X 4X 7 c o s 120-6X 72=-268.题型二求向量的模例2 已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为1T求|a十b|,|ab|.3,1 25解 a,t o|a|b|c o s9=5X 5X=.2 2|a+
6、b|=/a+b 2=j|a|2H-2a-Ht r|b|2二广h寸|a-b|=ra一t r2=Jaf22a.划评I-25-=A/25-2X y+25=5.跟踪训练2 已知向量a与b的夹角为120,且|a|=4,|b|=2,求:(1)|a+b|;|(a+b)-a-2b)|.解 由已知 a b=|a|b|c o s 9=4X 2X c o s 120 4,a2=|a|2=16,b2=|b|2=4.(1)V|a+b|2=(a+b)2=a2+2a b+b2=16+2X(-4)+4=12,,|a+b|=2 3.(2)aHb)a 62b)=a2-a t -2b2=16-(-4)-2X4=12,(a+b)-a
7、 J2b)|=12.题型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量,其夹角是 60,求向量a=2m+n与b=2n 3m的夹 角.解:|n|=|m|=1且m与n夹角是60,1 1nr it|m|n|c o s 60 1 X 1 X=2 2,|a|=|2m+n|=2m+n 2=4X 1+1+4m n=4X1+1+4X_=V7,|b|=|2n 3ml=2n 3m 2=J4X 1+9X 1-12m n=y4X 1+9X 1-12X,=/,a fe(2m+n)n(2-3m)=m rr 6m2+2n21 7=:-6X 1+2X 1=-_.2 2设a与b的夹角为9,就_7a b 2 _ 1c o s 9=t.
8、=-廊1 2又ew 0,n 2:.6=2,故a与b的夹角为纪3 于跟踪训练3已知|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60,就当k为何值时,向量ka b与a+2b垂直?解要想(ka b)_L(a+2b),就需(ka b)a%2b)=0,即 k|a|2+(2k-1)a-b21bl2=0,-52k+(2k-1)X 5X 4X c o s 60-2 X 42=0,解得k=羽,即当k=W时,向量kab与a+2b垂直.15 15疑难解析平面对量数量积安排律的证明例4下面是证明安排律 a+b)c=ac+bc的过程,请你补充完整.证明:当 a+b与向量c夹角为直角时,如图(1)所示,向量a+b在向量c方向
9、上的投影|a+b|c o s(a+b,c)=0;向量a在向量c方向上的投影为|a|c o s(a,c)=O Ai,向量b在c方向上的投影为|b|c o s(b,c)=O Bi,易知O Ai与O Bi互为相反数,即 O Ai+O Bi=0.所以|a|c o s a,c)+|b|c o s(b,c)=|a+b|c o s(a+b,c).两边乘以|c|得:|a|c|c o s a,c)+|b|c|c o s b,c=|a+b|c|c o s a+b,c),;.a c+b c=(a+b)e,即(a+b)a a c+b c.当a+b与向量c夹角为锐角时,如图(2)所示,向量a+b在向量c方向上的投影为|
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