高一数学棱柱检测试题.doc
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4、命题的个数是( )A1 B2 C3 D4分析:命题是假命题因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体底面是矩形,侧棱不垂直于底面,这样的四棱柱仍是斜平行六面体;命题是假命题底面是菱形,底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体;命题是假命题因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直命题是真命题,如图所示,平行六面体中所有对角线相等,对角面是平行四边形,对角线,所以四边形是矩形,即,同理四边形是矩形,所以,由知底面,即该平行六面体是直平行六面体故选A说明:解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别,要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的
5、“类比”,由此,我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的见表表平行四边形平行六面体对边平行且相等相对的侧面平行且全等对角线交于一点,且在这一点互相平分对角线交于一点且在这一点互相平分四条边的平方和等于两条对角线的平方和十二条棱的平方和等于四条对角线的平方和典型例题二例2 如图,正四棱柱中,对角线,与侧面所成角为,求:(1)与底面所成角;(2)异面直线与所成角;(3)正四棱柱的全面积分析:正四棱柱是一种特殊的长方体,它的两底面、是正方形,长方体中有比较多的线面垂直关系,而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件题中无论是已知线面成角,还是求线面成角,都要把它们转化为具体的角,落
6、实线面成角,先要找线面垂直关系异面直线与所成角通过,落实为具体的正四棱柱各个面都是矩形,求面积只要用矩形面积公式解:(1)在正四棱柱中,面,是与侧面所成角,即 , , 是正方形,平面, 是与底面所成角,在中,即与底面所成角为(2),是与所成角(或补角)平面, ,中,即异面直线与所成角为(3)中, , 说明:长方体是一种特殊的棱柱,充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键,各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件典型例题三例3 如图,已知长方体中,棱长,求直线与平面的距离分析:求直线到平面的距离,首先要找直线上的点到平面的垂线,而找平面的垂线的一个很有用的思路是,找平面内
7、一条直线与某一平面垂直,这里我们不难看出,长方体中有平面,这样,只要作,又有,得到平面解:长方体中,有平面,过作于,又有, 平,即是到平面的距离在中,由已知可得, ,即是到平面的距离为说明:长方体中有棱与面的线面垂直关系,正方体除此之外,还有对角线与对角面的线面垂直关系,比如,求正方体中,与面所成角这里,要找与所成角,必须找到平面的垂线,因为面,在对角面内,过作于,则,所以面,可以得到为与面所成角,在对角面中可计算典型例题四例4 如图,已知直三棱柱中,为侧棱上一点,(1)若为的中点,为上不同于、的任一点,求证:;(2)若,求与平面所成角的大小分析:点在上变化,为平面内变化的一组相交直线(都过定
8、点),要证明与垂直,必有平面求与平面所成角的关键是找到面的垂线,从而落实线面成角,直三棱柱中,侧棱平面给找点到面的垂线创造了方便的条件解:(1),且是的中点,又 直三棱柱中平面, 平面,在矩形中,即,平面,(2)过作于,平面,平面,连接,是与平面所成角在等腰中,在等腰中,由面积相等可得,又,在中,即与平面所成角为说明:由于点在上变化,给思考增加了难度,但仔细思考,它又提供了解题的突破口,使得线线垂直成为了与一组直线垂直本题的证明还有一个可行的思路,虽然在上变化,但是由于平面,所以点在平面上的射影是定点,在平面上射影为定直线,使用三垂线定理,可由,直接证明三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线
9、垂直的一个有力工具,再看一个例子,正方体中,是底面的中心,是上动点,是中点,求与所成角我们取中点,虽然点变化,但在面上射影为定直线,在正方形中,易证,所以,即与所成角为典型例题五例5 如图,正三棱柱的底面边长为4,侧棱长为,过的截面与底面成的二面角,分别就(1);(2)计算截面的面积分析:要求出截面的面积,首先必须确定截面的形状,截面与底面成的二面角,如果较大,此时截面是三角形;但是如果较小,此时截面与侧棱不交,而与上底面相交,截面为梯形解:截面与侧棱所在直线交于点,取中点,连、,是等边三角形,平面,为截面与底面所成二面角的平面角,等边边长为4,在中,(1)当时,点在侧棱上,截面为,在中,(2
10、)当时,点在延长线上,截面为梯形,是的中位线,说明:涉及多面体的截面问题,都要经过先确定截面形状,再解决问题的过程,本例通过改变侧棱长而改变了截面形状,我们也可以通过确定侧棱长,改变截面与底面成角而改变截面形状典型例题六例6 斜三棱柱中,平面底面,且(1)求与平面所成角;(2)求平面与平面所成二面角的大小;(3)求侧棱到侧面的距离分析:按照一般思路,首先转化条件中的面面垂直关系,由,取的中点,连,则有,从而有平面,在此基础上,与底面所成角以及平面与底面所成二面角都能方便地找到,同时底面也为寻找点到面的垂线创造了条件解:(1)取的中点,连接,平面底面,底面,为与底面所成角且,(2)取中点,则,连
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